Array processing based on time-frequency analysis and higher-order statistics

Ph.DDOCTOR OF PHILOSOPH

Nested Arrays: A Novel Approach to Array Processing With Enhanced Degrees of Freedom

A new array geometry, which is capable of significantly increasing the degrees of freedom of linear arrays, is proposed. This structure is obtained by systematically nesting two or more uniform linear arrays and can provide O(N^2) degrees of freedom using only physical sensors when the second-order statistics of the received data is used. The concept of nesting is shown to be easily extensible to multiple stages and the structure of the optimally nested array is found analytically. It is possible to provide closed form expressions for the sensor locations and the exact degrees of freedom obtainable from the proposed array as a function of the total number of sensors. This cannot be done for existing classes of arrays like minimum redundancy arrays which have been used earlier for detecting more sources than the number of physical sensors. In minimum-input–minimum-output (MIMO) radar, the degrees of freedom are increased by constructing a longer virtual array through active sensing. The method proposed here, however, does not require active sensing and is capable of providing increased degrees of freedom in a completely passive setting. To utilize the degrees of freedom of the nested co-array, a novel spatial smoothing based approach to DOA estimation is also proposed, which does not require the inherent assumptions of the traditional techniques based on fourth-order cumulants or quasi stationary signals. As another potential application of the nested array, a new approach to beamforming based on a nonlinear preprocessing is also introduced, which can effectively utilize the degrees of freedom offered by the nested arrays. The usefulness of all the proposed methods is verified through extensive computer simulations

Applied stochastic eigen-analysis

Submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy at the Massachusetts Institute of Technology and the Woods Hole Oceanographic Institution February 2007The first part of the dissertation investigates the application of the theory of large random matrices to high-dimensional inference problems when the samples are drawn from a multivariate normal distribution. A longstanding problem in sensor array processing is addressed by designing an estimator for the number of signals in white noise that dramatically outperforms that proposed by Wax and Kailath. This methodology is extended to develop new parametric techniques for testing and estimation. Unlike techniques found in the literature, these exhibit robustness to high-dimensionality, sample size constraints and eigenvector misspecification. By interpreting the eigenvalues of the sample covariance matrix as an interacting particle system, the existence of a phase transition phenomenon in the largest (“signal”) eigenvalue is derived using heuristic arguments. This exposes a fundamental limit on the identifiability of low-level signals due to sample size constraints when using the sample eigenvalues alone. The analysis is extended to address a problem in sensor array processing, posed by Baggeroer and Cox, on the distribution of the outputs of the Capon-MVDR beamformer when the sample covariance matrix is diagonally loaded. The second part of the dissertation investigates the limiting distribution of the eigenvalues and eigenvectors of a broader class of random matrices. A powerful method is proposed that expands the reach of the theory beyond the special cases of matrices with Gaussian entries; this simultaneously establishes a framework for computational (non-commutative) “free probability” theory. The class of “algebraic” random matrices is defined and the generators of this class are specified. Algebraicity of a random matrix sequence is shown to act as a certificate of the computability of the limiting eigenvalue distribution and, for a subclass, the limiting conditional “eigenvector distribution.” The limiting moments of algebraic random matrix sequences, when they exist, are shown to satisfy a finite depth linear recursion so that they may often be efficiently enumerated in closed form. The method is applied to predict the deterioration in the quality of the sample eigenvectors of large algebraic empirical covariance matrices due to sample size constraints.I am grateful to the National Science Foundation for supporting this work via grant DMS-0411962 and the Office of Naval Research Graduate Traineeship awar

Advanced Algebraic Concepts for Efficient Multi-Channel Signal Processing

Unsere moderne Gesellschaft ist Zeuge eines fundamentalen Wandels in der Art und Weise wie wir mit Technologie interagieren. Geräte werden zunehmend intelligenter - sie verfügen über mehr und mehr Rechenleistung und häufiger über eigene Kommunikationsschnittstellen. Das beginnt bei einfachen Haushaltsgeräten und reicht über Transportmittel bis zu großen überregionalen Systemen wie etwa dem Stromnetz. Die Erfassung, die Verarbeitung und der Austausch digitaler Informationen gewinnt daher immer mehr an Bedeutung. Die Tatsache, dass ein wachsender Anteil der Geräte heutzutage mobil und deshalb batteriebetrieben ist, begründet den Anspruch, digitale Signalverarbeitungsalgorithmen besonders effizient zu gestalten. Dies kommt auch dem Wunsch nach einer Echtzeitverarbeitung der großen anfallenden Datenmengen zugute. Die vorliegende Arbeit demonstriert Methoden zum Finden effizienter algebraischer Lösungen für eine Vielzahl von Anwendungen mehrkanaliger digitaler Signalverarbeitung. Solche Ansätze liefern nicht immer unbedingt die bestmögliche Lösung, kommen dieser jedoch häufig recht nahe und sind gleichzeitig bedeutend einfacher zu beschreiben und umzusetzen. Die einfache Beschreibungsform ermöglicht eine tiefgehende Analyse ihrer Leistungsfähigkeit, was für den Entwurf eines robusten und zuverlässigen Systems unabdingbar ist. Die Tatsache, dass sie nur gebräuchliche algebraische Hilfsmittel benötigen, erlaubt ihre direkte und zügige Umsetzung und den Test unter realen Bedingungen. Diese Grundidee wird anhand von drei verschiedenen Anwendungsgebieten demonstriert. Zunächst wird ein semi-algebraisches Framework zur Berechnung der kanonisch polyadischen (CP) Zerlegung mehrdimensionaler Signale vorgestellt. Dabei handelt es sich um ein sehr grundlegendes Werkzeug der multilinearen Algebra mit einem breiten Anwendungsspektrum von Mobilkommunikation über Chemie bis zur Bildverarbeitung. Verglichen mit existierenden iterativen Lösungsverfahren bietet das neue Framework die Möglichkeit, den Rechenaufwand und damit die Güte der erzielten Lösung zu steuern. Es ist außerdem weniger anfällig gegen eine schlechte Konditionierung der Ausgangsdaten. Das zweite Gebiet, das in der Arbeit besprochen wird, ist die unterraumbasierte hochauflösende Parameterschätzung für mehrdimensionale Signale, mit Anwendungsgebieten im RADAR, der Modellierung von Wellenausbreitung, oder bildgebenden Verfahren in der Medizin. Es wird gezeigt, dass sich derartige mehrdimensionale Signale mit Tensoren darstellen lassen. Dies erlaubt eine natürlichere Beschreibung und eine bessere Ausnutzung ihrer Struktur als das mit Matrizen möglich ist. Basierend auf dieser Idee entwickeln wir eine tensor-basierte Schätzung des Signalraums, welche genutzt werden kann um beliebige existierende Matrix-basierte Verfahren zu verbessern. Dies wird im Anschluss exemplarisch am Beispiel der ESPRIT-artigen Verfahren gezeigt, für die verbesserte Versionen vorgeschlagen werden, die die mehrdimensionale Struktur der Daten (Tensor-ESPRIT), nichzirkuläre Quellsymbole (NC ESPRIT), sowie beides gleichzeitig (NC Tensor-ESPRIT) ausnutzen. Um die endgültige Schätzgenauigkeit objektiv einschätzen zu können wird dann ein Framework für die analytische Beschreibung der Leistungsfähigkeit beliebiger ESPRIT-artiger Algorithmen diskutiert. Verglichen mit existierenden analytischen Ausdrücken ist unser Ansatz allgemeiner, da keine Annahmen über die statistische Verteilung von Nutzsignal und Rauschen benötigt werden und die Anzahl der zur Verfügung stehenden Schnappschüsse beliebig klein sein kann. Dies führt auf vereinfachte Ausdrücke für den mittleren quadratischen Schätzfehler, die Schlussfolgerungen über die Effizienz der Verfahren unter verschiedenen Bedingungen zulassen. Das dritte Anwendungsgebiet ist der bidirektionale Datenaustausch mit Hilfe von Relay-Stationen. Insbesondere liegt hier der Fokus auf Zwei-Wege-Relaying mit Hilfe von Amplify-and-Forward-Relays mit mehreren Antennen, da dieser Ansatz ein besonders gutes Kosten-Nutzen-Verhältnis verspricht. Es wird gezeigt, dass sich die nötige Kanalkenntnis mit einem einfachen algebraischen Tensor-basierten Schätzverfahren gewinnen lässt. Außerdem werden Verfahren zum Finden einer günstigen Relay-Verstärkungs-Strategie diskutiert. Bestehende Ansätze basieren entweder auf komplexen numerischen Optimierungsverfahren oder auf Ad-Hoc-Ansätzen die keine zufriedenstellende Bitfehlerrate oder Summenrate liefern. Deshalb schlagen wir algebraische Ansätze zum Finden der Relayverstärkungsmatrix vor, die von relevanten Systemmetriken inspiriert sind und doch einfach zu berechnen sind. Wir zeigen das algebraische ANOMAX-Verfahren zum Erreichen einer niedrigen Bitfehlerrate und seine Modifikation RR-ANOMAX zum Erreichen einer hohen Summenrate. Für den Spezialfall, in dem die Endgeräte nur eine Antenne verwenden, leiten wir eine semi-algebraische Lösung zum Finden der Summenraten-optimalen Strategie (RAGES) her. Anhand von numerischen Simulationen wird die Leistungsfähigkeit dieser Verfahren bezüglich Bitfehlerrate und erreichbarer Datenrate bewertet und ihre Effektivität gezeigt.Modern society is undergoing a fundamental change in the way we interact with technology. More and more devices are becoming "smart" by gaining advanced computation capabilities and communication interfaces, from household appliances over transportation systems to large-scale networks like the power grid. Recording, processing, and exchanging digital information is thus becoming increasingly important. As a growing share of devices is nowadays mobile and hence battery-powered, a particular interest in efficient digital signal processing techniques emerges. This thesis contributes to this goal by demonstrating methods for finding efficient algebraic solutions to various applications of multi-channel digital signal processing. These may not always result in the best possible system performance. However, they often come close while being significantly simpler to describe and to implement. The simpler description facilitates a thorough analysis of their performance which is crucial to design robust and reliable systems. The fact that they rely on standard algebraic methods only allows their rapid implementation and test under real-world conditions. We demonstrate this concept in three different application areas. First, we present a semi-algebraic framework to compute the Canonical Polyadic (CP) decompositions of multidimensional signals, a very fundamental tool in multilinear algebra with applications ranging from chemistry over communications to image compression. Compared to state-of-the art iterative solutions, our framework offers a flexible control of the complexity-accuracy trade-off and is less sensitive to badly conditioned data. The second application area is multidimensional subspace-based high-resolution parameter estimation with applications in RADAR, wave propagation modeling, or biomedical imaging. We demonstrate that multidimensional signals can be represented by tensors, providing a convenient description and allowing to exploit the multidimensional structure in a better way than using matrices only. Based on this idea, we introduce the tensor-based subspace estimate which can be applied to enhance existing matrix-based parameter estimation schemes significantly. We demonstrate the enhancements by choosing the family of ESPRIT-type algorithms as an example and introducing enhanced versions that exploit the multidimensional structure (Tensor-ESPRIT), non-circular source amplitudes (NC ESPRIT), and both jointly (NC Tensor-ESPRIT). To objectively judge the resulting estimation accuracy, we derive a framework for the analytical performance assessment of arbitrary ESPRIT-type algorithms by virtue of an asymptotical first order perturbation expansion. Our results are more general than existing analytical results since we do not need any assumptions about the distribution of the desired signal and the noise and we do not require the number of samples to be large. At the end, we obtain simplified expressions for the mean square estimation error that provide insights into efficiency of the methods under various conditions. The third application area is bidirectional relay-assisted communications. Due to its particularly low complexity and its efficient use of the radio resources we choose two-way relaying with a MIMO amplify and forward relay. We demonstrate that the required channel knowledge can be obtained by a simple algebraic tensor-based channel estimation scheme. We also discuss the design of the relay amplification matrix in such a setting. Existing approaches are either based on complicated numerical optimization procedures or on ad-hoc solutions that to not perform well in terms of the bit error rate or the sum-rate. Therefore, we propose algebraic solutions that are inspired by these performance metrics and therefore perform well while being easy to compute. For the MIMO case, we introduce the algebraic norm maximizing (ANOMAX) scheme, which achieves a very low bit error rate, and its extension Rank-Restored ANOMAX (RR-ANOMAX) that achieves a sum-rate close to an upper bound. Moreover, for the special case of single antenna terminals we derive the semi-algebraic RAGES scheme which finds the sum-rate optimal relay amplification matrix based on generalized eigenvectors. Numerical simulations evaluate the resulting system performance in terms of bit error rate and system sum rate which demonstrates the effectiveness of the proposed algebraic solutions