A direct method for the numerical solution of optimization problems with time-periodic PDE constraints

In der vorliegenden Dissertation entwickeln wir auf der Basis der Direkten Mehrzielmethode eine neue numerische Methode für Optimalsteuerungsprobleme (OCPs) mit zeitperiodischen partiellen Differentialgleichungen (PDEs). Die vorgeschlagene Methode zeichnet sich durch asymptotisch optimale Skalierung des numerischen Aufwandes in der Zahl der örtlichen Diskretisierungspunkte aus. Sie besteht aus einem Linearen Iterativen Splitting Ansatz (LISA) innerhalb einer Newton-Typ Iteration zusammen mit einer Globalisierungsstrategie, die auf natürlichen Niveaufunktionen basiert. Wir untersuchen die LISA-Newton Methode im Rahmen von Bocks kappa-Theorie und entwickeln zuverlässige a-posteriori kappa-Schätzer. Im Folgenden erweitern wir die LISA-Newton Methode auf den Fall von inexakter Sequentieller Quadratischer Programmierung (SQP) für ungleichungsbeschränke Probleme und untersuchen das lokale Konvergenzverhalten. Zusätzlich entwickeln wir klassische und Zweigitter Newton-Picard Vorkonditionierer für LISA und beweisen gitterunabhängige Konvergenz der klassischen Variante auf einem Modellproblem. Anhand numerischer Ergebnisse können wir belegen, dass im Vergleich zur klassichen Variante die Zweigittervariante sogar noch effizienter ist für typische Anwendungsprobleme. Des Weiteren entwickeln wir eine Zweigitterapproximation der Lagrange-Hessematrix, welche gut in den Rahmen des Zweigitter Newton-Picard Ansatzes passt und die im Vergleich zur exakten Hessematrix zu einer Laufzeitreduktion von 68% auf einem nichtlinearen Benchmarkproblem führt. Wir zeigen weiterhin, dass die Qualität des Feingitters die Genauigkeit der Lösung bestimmt, während die Qualität des Grobgitters die asymptotische lineare Konvergenzrate, d.h., das Bocksche kappa, festlegt. Zuverlässige kappa-Schätzer ermöglichen die automatische Steuerung der Grobgitterverfeinerung für schnelle Konvergenz. Für die Lösung der auftretenden, großen Probleme der Quadratischen Programmierung (QPs) wählen wir einen strukturausnutzenden zweistufigen Ansatz. In der ersten Stufe nutzen wir die durch den Mehrzielansatz und die Newton-Picard Vorkonditionierer bedingten Strukturen aus, um die großen QPs auf äquivalente QPs zu reduzieren, deren Größe von der Zahl der örtlichen Diskretisierungspunkte unabhängig ist. Für die zweite Stufe entwickeln wir Erweiterungen für eine Parametrische Aktive Mengen Methode (PASM), die zu einem zuverlässigen und effizienten Löser für die resultierenden, möglicherweise nichtkonvexen QPs führen. Weiterhin konstruieren wir drei anschauliche, contra-intuitive Probleme, die aufzeigen, dass die Konvergenz einer one-shot one-step Optimierungsmethode weder notwendig noch hinreichend für die Konvergenz der entsprechenden Methode für das Vorwärtsproblem ist. Unsere Analyse von drei Regularisierungsansätzen zeigt, dass de-facto Verlust von Konvergenz selbst mit diesen Ansätzen nicht verhindert werden kann. Des Weiteren haben wir die vorgestellten Methoden in einem Computercode mit Namen MUSCOP implementiert, der automatische Ableitungserzeugung erster und zweiter Ordnung von Modellfunktionen und Lösungen der dynamischen Systeme, Parallelisierung auf der Mehrzielstruktur und ein Hybrid Language Programming Paradigma zur Verfügung stellt, um die benötigte Zeit für das Aufstellen und Lösen neuer Anwendungsprobleme zu minimieren. Wir demonstrieren die Anwendbarkeit, Zuverlässigkeit und Effektivität von MUSCOP und damit der vorgeschlagenen numerischen Methoden anhand einer Reihe von PDE OCPs von steigender Schwierigkeit, angefangen bei linearen akademischen Problemen über hochgradig nichtlineare akademische Probleme der mathematischen Biologie bis hin zu einem hochgradig nichtlinearen Anwendungsproblem der chemischen Verfahrenstechnik im Bereich der präparativen Chromatographie auf Basis realer Daten: Dem Simulated Moving Bed (SMB) Prozess

Numerical Methods for PDE Constrained Optimization with Uncertain Data

Optimization problems governed by partial differential equations (PDEs) arise in many applications in the form of optimal control, optimal design, or parameter identification problems. In most applications, parameters in the governing PDEs are not deterministic, but rather have to be modeled as random variables or, more generally, as random fields. It is crucial to capture and quantify the uncertainty in such problems rather than to simply replace the uncertain coefficients with their mean values. However, treating the uncertainty adequately and in a computationally tractable manner poses many mathematical challenges. The numerical solution of optimization problems governed by stochastic PDEs builds on mathematical subareas, which so far have been largely investigated in separate communities: Stochastic Programming, Numerical Solution of Stochastic PDEs, and PDE Constrained Optimization. The workshop achieved an impulse towards cross-fertilization of those disciplines which also was the subject of several scientific discussions. It is to be expected that future exchange of ideas between these areas will give rise to new insights and powerful new numerical methods

Matrix-based techniques for (flow-)transition studies

In this thesis, numerical techniques for the computation of flow transitions was introduced and studied. The numerical experiments on a variety of two- and three- dimensional multi-physics problems show that continuation approach is a practical and efficient way to solve series of steady states as a function of parameters and to do bifurcation analysis. Starting with a proper initial guess, Newton’s method converges in a few steps. Since solving the linear systems arising from the discretization takes most of the computational work, efficiency is determined by how fast the linear systems can be solved. Our home-made preconditioner Hybrid Multilevel Linear Solver(HYMLS) can compute three-dimensional solutions at higher Reynolds numbers and shows its robustness both in the computation of solutions as well as eigenpairs, due to the iteration in the divergence-free space. To test the efficiency of linear solvers for non-flow problems, we studied a well-known reaction-diffusion system, i.e., the BVAM model of the Turing problem. The application to the Turing system not only proved our program’s ability in doing nonlinear bifurcation analysis efficiently but also provided insightful information on two- and three- dimensional pattern formation