312 research outputs found

    Spectral Analysis of High Order Continuous FEM for Hyperbolic PDEs on Triangular Meshes: Influence of Approximation, Stabilization, and Time-Stepping

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    In this work we study various continuous finite element discretization for two dimensional hyperbolic partial differential equations, varying the polynomial space (Lagrangian on equispaced, Lagrangian on quadrature points (Cubature) and Bernstein), the stabilization techniques (streamline-upwind Petrov–Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale stabilization) and the time discretization (Runge–Kutta (RK), strong stability preserving RK and deferred correction). This is an extension of the one dimensional study by Michel et al. (J Sci Comput 89(2):31, 2021. https://doi.org/10.1007/s10915-021-01632-7), whose results do not hold in multi-dimensional frameworks. The study ranks these schemes based on efficiency (most of them are mass-matrix free), stability and dispersion error, providing the best CFL and stabilization coefficients. The challenges in two-dimensions are related to the Fourier analysis. Here, we perform it on two types of periodic triangular meshes varying the angle of the advection, and we combine all the results for a general stability analysis. Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities, in order to show how to use these methods for tests of practical interest. All the theoretical results are thoroughly validated numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Our final conclusions suggest that Cubature elements combined with SSPRK and OSS stabilization is the most promising combination

    A semi implicit, semi-Lagrangian p-adaptive discontinuous Galerkin method for the rotating shallow water equations: analysis and numerical experiments

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    2009/2010Questa tesi ha come obiettivo la scrittura e l'analisi di un nuovo metodo semi-implicito semi-Lagrangiano discontinuous Galerkin (SISLDG nel seguito) per la risoluzione numerica delle equazioni delle acque basse, inteso come primo passo nella direzione di un progetto piu' ambizioso riguardante lo sviluppo di un dynamical-core non idrostatico di nuova generazione per la modellistica atmosferica regionale. In particolare il codice prodotto dovrebbe servire a migliorare la discretizzazione attualmente impiegata nel modello RegCM ( F. Giorgi, J. Climate, 1990). Le equazioni delle acque basse di fatto contengono tutti gli operatori orizzontali presenti in un modello atmosferico tridimensionale, pertanto rappresentano tipicamente il primo test necessario per ogni nuovo schema numerico pensato per applicazioni atmosferiche. Le tecniche proposte nella tesi sono non-standard nel contesto dei metodi Discontinuous Galerkin (DG) per problemi dipendenti dal tempo. Effettivamente dynamical-cores basati su DG sono molto promettenti per la loro accuratezza e flessibilità, tuttavia nella loro applicabilità alla risoluzione numerica di problemi di fluidodinamica a bassi numeri di Froude/Mach essi presentano un punto critico, costituito dalla limitazione imposta dalla stabilità sul massimo time step utilizzabile in calcoli di interesse pratico. Per esempio, in schemi di tipo Runge-Kutta-DG, la stabilità è stata dimostrata in (Cockburn e Shu, Math. Comp., 1991) purchè sia soddisfatta la seguente condizione CFL ∣c∣Δth<12k+1,|c|\frac{\Delta t}{h} < \frac{1}{2k+1}, dove kk è il grado polinomiale e cc è la celerità delle onde che si propagano piu' velocemente. Pertanto, al fine di evitare che la scelta del massimo time step ammissibile fosse governata da considerazioni di stabilità anzichè di accuratezza, specialmente pensando a metodi di ordine elevato, si è deciso di non seguire la maniera standard di applicare DG a problemi dipendenti dal tempo come proposto, per esempio, in molti articoli di Cockburn e Shu. Piuttosto è stato seguito un approccio già sperimentato con successo nel contesto delle differenze finite (per esempio in Robert, J. Meteor. Soc. Japan, 1982, o Casulli J. Comput. Phys., 1990) e degli elementi finiti ( per esempio in Staniforth e Temperton, Mon. Weather Rev., 1986, o in Miglio, Quarteroni e Saleri, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 1999, o in Giraldo Q. J. R. Meteorol. Soc. 05) ma, non ancora pienamente esplorato nell'ambito DG. L'idea innovativa consiste nell'associare la semidiscretizzazione DG in spazio con la combinazione di una tecnica semi-implicita (SI) e una semi-Lagrangiana (SL) in tempo. Questo approccio e' stato suggerito dai risultati incoraggianti ottenuti da altri autori combinando DG separatamente con la tecnica semi-implicita (per esempio Restelli, Giraldo, SIAM J. Sci. Comput. 2009 ) oppure con quella semi-Lagrangiana (e.g. Restelli, Bonaventura, Sacco, J. Comput. Phys., 2006 ). I principali risultati originali di questo lavoro di tesi possono essere così riassunti: \begin{itemize} \item gli effetti sulla stabilità della soluzione approssimata di differenti scelte per gli spazi di velocità e pressione sono stati esaminati attraverso esperimenti numerici, dai quali è emerso che coppie velocità-pressione di grado diverso Qk−Qk−1Q_k - Q_{k-1} (rispettivamente) funzionano meglio di coppie velocità-pressione dello stesso grado, per le quali si sviluppano delle evidenti instabilità. Del resto benefici sulla stabilità derivanti dall'uso di spazi DG di ordine misto per velocità e pressione sono stati dimostrati per il poroblema di Stokes (Toselli, M3AS, 2002 and Sch\"otzau, M3AS, 2003), ed il fatto che i tipici regimi atmosferici siano caratterizzati da bassi numeri di Froude/Mach ha suggerito l'estensione della stessa strategia alle equazioni delle acque basse. \item Un semplice criterio di p-adattività è stato implementato per adattare dinamicamente il numero di gradi di libertà locali alla struttura della soluzione in ciascun singolo elemento. Ciò è stato ottenuto grazie alla flessibilità tipica delle discretizzazioni DG e grazie alla proprietà di ortogonalità delle basi di polinomi di Legendre utilizzate. Come dimostrato negli esperimenti numerici in una e due dimensioni la strategia di p-adattività utilizzata è abbastanza efficiente nel ridurre il costo computazionele, rivelandosi nel contempo sufficientemente semplice e robusta per poter essere applicata con successo anche in modelli climatici completi dove le numerose parametrizzazioni fisiche presenti nei termini di sorgente rendono difficoltoso eseguire rigorose analisi a posteriore dell'errore. \item La scelta di spazi per velocità e pressione con buone proprietà di stabilità ha reso possibile l'utilizzo di flussi numerici centrati per l'approssimazione delle tracce della soluzione sui bordi tra gli elementi, (come in Bassi e Rebay, J. Comput. Phys., 1997 ) termini questi che nascono dalla proiezione L2L^2 delle equazioni sullo spazio delle funzioni test (scelte uguali alle funzioni di base come nel Direct Characteristic Galerkin scheme di Morton, Priestley, S\"uli, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 1988 ) e dalla successiva integrazione per parti ove necessario. Inoltre la dimensione del problema discreto è stata ulteriormentre ridotta ricavando dalle equazioni della quantità di moto le componenti discrete della velocità in termini dell'elevazione discreta della superficie libera e sostituendo nell'equazione di continuità le espressioni risultanti, ottenendo così una singola equazione di Helmoltz discreta nella sola elevazione della superficie libera, che assume la forma di un sistema lineare nonsimmetrico, ma sparso che è stato risolto con uno schema GMRES. \item Per sfruttare a pieno le potenzialità dell'approccio semi-Lagrangiano usato, il solutore SISLDG proposto per le equazioni delle acque basse è stato associato a uno schema di advezione in forma di flusso per il trasporto di traccianti passivi (che è l'estensione dello schema di M. Restelli, L. Bonaventura, R. Sacco, J. Comput. Phys., 2006) di cui sono state esaminate le proprietà di preservazione delle costanti e di compatibilità con l'equazione di continuità . Il trattamento p-adattivo è stato esteso in maniera indipendente a ogni tracciante passivo. Di conseguenza variazioni del numero di gradi di libertà locali sono completamente indipendenti per ogni specie, permettendo così un raffinamento selettivo per talune variabili di interesse, lasciando inalterato il costo computazionale per le altre. \item Infine l'algoritmo proposto è stato implementato in un codice modulare Fortran95. L'implementazione monodimensionale è stata usata come modello per quella bidimensionale su mesh cartesiane. Il codice è stato usato per eseguire un certo numero di test per analizzare le proprietà di accuratezza e stabilità del nuovo metodo SISLDG. Risultati numerici ottenuti nell'ambito di casi test monodimensionali dimostrano che il metodo proposto cattura in maniera accurata e efficiente le principali caratteristiche delle onde di gravità lineari e inerziali e nonchè delle correnti in canali aperti con batimetria non costante e anche della soluzione di rarefazione del problema di Riemann. L'efficienza del metodo SISLDG è inoltre dimostrata dai risultati ottenuti ad alto numero di Courant e con scelta automatica dei gradi di approssimazione locale. Risultati numerici nell'ambito di casi test bidimensionali mostrano l'efficacia della stategia di p-adattività utilizzata anche nel caso di correnti non semplici (corrente di Smolarkiewicz) e l'accuratezza nella riproduzione di onde di gravità. \end{itemize}XXIII Cicl

    Numerical simulation of focused wave impact on a 2-D floating structure

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    Freak (Extreme, rogue) waves are extremely large water waves in ocean and may occur all over the world sea area. Such a wave may lead to damage of coastal and offshore structures. Accurate prediction of extreme wave-induced forces and motions is of importance and necessaries for researchers and engineers for the purpose of structure design and disaster prevention. Due to the complexity of nonlinear wave-structure interactions related with distorted free surface and relatively large amplitude of structure response, a great deal of effort is required to investigate the physics. Here, a Computational Fluid Dynamics (CFD) model has been developed to study focused wave impact on a floating structure and validated by a newly designed experiment. Focused waves are generated based on the mechanism of wave focusing in a two-dimensional wave tank. In the experiment, a model of a box-shaped floating body with a small freeboard is adopted in order to easily obtain green water phenomena. The computations are performed by a Constrained Interpolation Profile (CIP)-based Cartesian grid method. The CIP algorithm is adopted as the base scheme to obtain a robust flow solver of the Navier-stokes equation with free surface boundary. An improved THINC scheme (THINC, tangent of hyperbola for interface capturing), the more accurate THINC/SW scheme (THINC with Slope Weighting), is applied as the free surface/ interface capturing method. Main attentions are paid to the three degrees of freedom (3-DOF) body motions, pressure domain around the structure and nonlinear phenomena, such as water on deck. The highly nonlinear wave-structure interactions, including significant body motion and water on deck, are modeled successfully in comparison with experimental measurements. It is concluded that the present model with the aid of the CIP technique can provide with acceptably accurate numerical results on the route to practical purposes

    Spectral analysis of high order continuous FEM for hyperbolic PDEs on triangular meshes: influence of approximation, stabilization, and time-stepping

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    arXiv admin note: text overlap with arXiv:2103.16158International audienceIn this work we study various continuous finite element discretization for two dimensional hyperbolic partial differential equations, varying the polynomial space (Lagrangian on equispaced, Lagrangian on quadrature points (Cubature) and Bernstein), the stabilization techniques (streamline-upwind Petrov-Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale stabilization) and the time discretization (Runge-Kutta (RK), strong stability preserving RK and deferred correction). This is an extension of the one dimensional study by Michel S. et al J. Sci. Comput. (2021), whose results do not hold in multi-dimensional frameworks. The study ranks these schemes based on efficiency (most of them are mass-matrix free), stability and dispersion error, providing the best CFL and stabilization coefficients. The challenges in two-dimensions are related to the Fourier analysis. Here, we perform it on two types of periodic triangular meshes varying the angle of the advection, and we combine all the results for a general stability analysis. Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities, in order to show how to use these methods for tests of practical interest. All the theoretical results are thoroughly validated numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Our final conclusions suggest that Cubature elements combined with SSPRK and OSS stabilization is the most promising combination

    Derivative Particles for Simulating Detailed Movements of Fluids

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    Multi-moment advection schemes for Cartesian grids and cut cells

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    Computational fluid dynamics has progressed to the point where it is now possible to simulate flows with large eddy turbulence, free surfaces and other complex features. However, the success of these models often depends on the accuracy of the advection scheme supporting them. Two such schemes are the constrained interpolation profile method (CIP) and the interpolated differential operator method (IDO). They share the same space discretisation but differ in their respectively semi-Lagrangian and Eulerian formulations. They both belong to a family of high-order, compact methods referred to as the multi-moment methods. In the absence of sufficient information in the literature, this thesis begins by taxonomising various multi-moment space discretisations and appraising their linear advective properties. In one dimension it is found that the CIP/IDO with order (2N -1) has an identical spectrum and memory cost to the Nth order discontinuous Galerkin method. Tests confirm that convergence rates are consistent with nominal orders of accuracy, suggesting that CIP/IDO is a better choice for smooth propagation problems. In two dimensions, six Cartesian multi-moment schemes of third order are compared using both spectral analysis and time-domain testing. Three of these schemes economise on the number of moments that need to be stored, with one CIP/IDO variant showing improved isotropy, another failing to maintain its nominal order of accuracy, and one of the conservative variants having eigenvalues with positive real parts: it is stable only in a semi-Lagrangian formulation. These findings should help researchers who are interested in using multi-moment schemes in their solvers but are unsure as to which are suitable. The thesis then addresses the question as to whether a multi-moment method could be implemented on a Cartesian cut cell grid. Such grids are attractive for supporting arbitrary, possibly moving boundaries with minimal grid regeneration. A pair of novel conservative fourth order schemes is proposed. The first scheme, occupying the Cartesian interior, has unprecedented low memory cost and is proven to be conditionally stable. The second, occupying the cut cells, involves a profile reconstruction that is guaranteed to be well-behaved for any shape of cell. However, analysis of the second scheme in a simple grid arrangement reveals positive real parts, so it is not stable in an Eulerian formulation. Stability in a hybrid formulation remains open to question

    Spectral Analysis of Continuous FEM for Hyperbolic PDEs: Influence of Approximation, Stabilization, and Time-Stepping

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    International audienceWe study continuous finite element dicretizations for one dimensional hyperbolic partial differential equations. The main contribution of the paper is to provide a fully discrete spectral analysis, which is used to suggest optimal values of the CFL number and of the stabilization parameters involved in different types of stabilization operators. In particular, we analyze the streamline-upwind Petrov-Galerkin (SUPG) stabilization technique, the continuous interior penalty (CIP) stabilization method and the local projection stabilization (LPS). Three different choices for the continuous finite element space are compared: Bernstein polynomials, Lagrangian polynomials on equispaced nodes, and Lagrangian polynomials on Gauss-Lobatto cubature nodes. For the last choice, we only consider inexact quadrature based on the formulas corresponding to the degrees of freedom of the element, which allows to obtain a fully diagonal mass matrix. We also compare different time stepping strategies, namely Runge-Kutta (RK), strong stability preserving RK (SSPRK) and deferred correction time integration methods. The latter allows to alleviate the computational cost as the mass matrix inversion is replaced by the high order correction iterations. To understand the effects of these choices, both time-continuous and fully discrete Fourier analysis are performed. These allow to compare all the different combinations in terms of accuracy and stability, as well as to provide suggestions for optimal values discretization parameters involved. The results are thoroughly verified numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Our final conclusions suggest that cubature elements combined with SSPRK and CIP or LPS stabilization are the most promising combinations

    Integrated 2D-3D free surface hydro-environmental modelling

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    An integrated horizontally two- and fully three-dimensional numerical model system has been developed based on a combined unstructured and σ-coordinate grid to simulate the flow and water quality process in large water bodies with a focus on the three dimensional behaviours at specific areas. The model is based on the time dependent Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations with a non-hydrostatic pressure distribution and a baroclinic force being incorporated in the three dimensional (3D) model. The two sub models interact dynamically during the solution procedure with no time-step restriction due to integration. The main idea is to use a fractional step algorithm for each model and then integrate the two models fraction by fraction. Hybrid 2D-3D finite volume cells have been introduced for the link nodes which are partly in the 2D domain and partly in the 3D domain. Thus an interpolation/averaging procedure at the interface and domain overlapping is no longer needed. The 3D model uses the projection method for pressure calculation. The advection equation is solved by the semi-Lagrangian method. Other components are solved via the finite element - finite volume (FV) method. The water surface is determined implicitly through a global matrix equation created by assembling the domain's matrices. The cell integrals are calculated analytically to eliminate a common source of numerical diffusion due to the use of approximation techniques for the FV integrals. The horizontal gradients of the density and shear stresses are calculated on true horizontal planes, in order to avoid artificial velocity and diffusion in highly stratified flows. Neumann interpolation elements with virtual nodes have been introduced at Neumann type of boundaries for more accuracy. The integrated model has been verified using analytical solutions and benchmark test cases, including the Ekman velocity distribution, wind driven circulation, lock exchange and integrated 2D-3D flows in basin. The results show the model is capable of the model for accurate simulation and implicit 2D-3D integration. Keywords: integrated modelling, hydrodynamic numerical model, non-hydrostatic, unstructured mesh, hybrid finite element finite volume method.EThOS - Electronic Theses Online ServiceGBUnited Kingdo
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