On a multilattice analogue of a hypersequent S5 calculus

In this paper, we present a logic MMLS5n which is a combination of multilattice logic and modal logic S5. MMLS5n is an extension of Kamide and Shramko’s modal multilattice logic which is a multilattice analogue of S4. We present a cut-free hypersequent calculus for MMLS5n in the spirit of Restall’s one for S5 and develop a Kripke semantics for MMLS5n, following Kamide and Shramko’s approach. Moreover, we prove theorems for embedding MMLS5n into S5 and vice versa. As a result, we obtain completeness, cut elimination, decidability, and interpolation theorems for MMLS5n. Besides, we show the duality principle for MMLS5n. Additionally, we introduce a modification of Kamide and Shramko’s sequent calculus for their multilattice version of S4 which (in contrast to Kamide and Shramko’s original one) proves the interdefinability of necessity and possibility operators. Last, but not least, we present Hilbert-style calculi for all the logics in question as well as for a larger class of modal multilattice logics

Modal multilattice logics with Tarski, Kuratowski, and Halmos operators

In this paper, we consider modal multilattices with Tarski, Kuratowski, and Halmos closure and interior operators as well as the corresponding logics which are multilattice versions of the modal logics MNT4, S4, and S5, respectively. The former modal multilattice logic is a new one. The latter two modal multilattice logics have been already mentioned in the literature, but algebraic completeness results have not been established for them before. We present a multilattice version of MNT4 in a form of a sequent calculus and prove the algebraic and neighbourhood completeness theorems for it. We extend the algebraic completeness result for the multilattice versions of S4 and S5 as well

S5-Style Non-Standard Modalities in a Hypersequent Framework

The aim of the paper is to present some non-standard modalities (such as non-contingency, contingency, essence and accident) based on S5-models in a framework of cut-free hypersequent calculi. We also study negated modalities, i.e. negated necessity and negated possibility, which produce paraconsistent and paracomplete negations respectively. As a basis for our calculi, we use Restall's cut-free hypersequent calculus for S5. We modify its rules for the above-mentioned modalities and prove strong soundness and completeness theorems by a Hintikka-style argument. As a consequence, we obtain a cut admissibility theorem. Finally, we present a constructive syntactic proof of cut elimination theorem

Basic Four-Valued Systems of Cyclic Negations

We consider an example of four valued semantics partially inspired by quantum computations and negation-like operations occurred therein. In particular we consider a representation of so called square root of negation within this four valued semantics as an operation which acts like a cycling negation. We define two variants of logical matrices performing different orders over the set of truth values. Purely formal logical result of our study consists in axiomatizing the logics of defined matrices as the systems of binary consequence relation and proving correctness and completeness theorems for these deductive systems

Notions of Galois connections for Bilattices

Τα διπλέγματα (bilattices) είναι αλγεβρικές δομές προερχόμενες από τα πεδία της αναπαράστασης γνώσης και της μη μονοτονικής λογικής· αποτελούνται από ένα σύνολο εφοδιασμένο με δύο πλέγματα (lattices), όπου το ένα μοντελοποιεί το βαθμό αλήθειας και το δεύτερο την ποσότητα πληροφορίας. Οι αντιστοιχίες Galois είναι πολύ χρήσιμες στα μαθηματικά, διότι αποτελούν μία ενοποιητική αφαίρεση διάφορων αντιστοιχιών μεταξύ διατεταγμένων συνόλων, καθώς και διότι σχετίζονται στενά με τους τελεστές κλειστότητας. Σε αυτή την εργασία, εισάγουμε κάποιες έννοιες δι-αντιστοιχιών Galois, που αποσκοπούν στο να αποτελέσουν το ανάλογο των αντιστοιχιών Galois για διπλέγματα. Η πρώτη διάκριση που κάνουμε είναι ανάμεσα σε διαντιστοιχίες Galois μονής και διπλής κατεύθυνσης. Οι διαντιστοιχίες διπλής κατεύθυνσης αποτελούνται από ένα ζεύγος (συμβατών μεταξύ τους) αντιστοιχιών Galois ανάμεσα στις διατάξεις αλήθειας και πληροφορίας, ενώ οι διαντιστοιχίες μονής κατεύθυνσης είναι αντιστοιχίες Galois εφοδιασμένες με επιπλέον ιδιότητες που επιχειρούν να συλλάβουν τη διπλεγματική δομή. Μια περαιτέρω διάκριση γίνεται μεταξύ συνήθων και ισχυρών διαντιστοιχιών Galois· στις πρώτες, οι συναρτήσεις που παίρνουν μέρος έχουν ισόμορφες εικόνες ως διατάξεις, ενώ στις δεύτερες οι εικόνες είναι ισόμορφα διπλέγματα. Εξετάζουμε τα τέσσερα είδη διαντιστοιχιών Galois που προκύπτον από τις παραπάνω διχοτομήσεις, τόσο σε διπλέγματα με τελεστές άρνησης όσο και σε διπλέγματα χωρίς τέτοιους τελεστές. Διερευνούμε την γενικευσιμότητα των κομψών ιδιοτήτων των αντιστοιχιών Galois (συνθεσιμότητα, αντιστρεψιμότητα, διατήρηση άνω και κάτω φραγμάτων κλπ), καθώς και την συμπεριφορά των εικόνων όσον αφορά ενδιαφέρουσες ιδιότητες των διπλεγμάτων. Τέλος, αναφερόμαστε στους αντίστοιχους τελεστές κλειστότητας που προκύπτουν από τις διαντιστοιχίες και κάνουμε μια νύξη του πώς οι έννοιες που παρουσιάζουμε μπορούν να γενικευτούν σε σύνολα εφοδιασμένα με περισσότερες από δύο διατάξεις.Bilattices are algebraic structures, stemming from the research on knowledge representation and non-monotonic reasoning; they comprise a set equipped with two lattice orders, one modelling degree of truth and one modelling amount of information. Galois connections are very useful throughout mathematics, providing a unifying abstraction for various correspondences between ordered sets, and being in close correspondence with closure operators. We introduce notions of Galois biconnections, intended to be the bilattice analogue of classical Galois connections between lattices. The first distinction we make is between bidirectional and unidirectional Galois biconnections. A bidirectional Galois biconnection is a (compatible) pair of Galois connections between the truth orderings and the knowledge orderings of bilattices, while a unidirectional Galois biconnection is actually a Galois connection equipped with extra properties that seek to capture the bilattice structure. A further distinction is between regular Galois biconnections, which induce order-isomorphic images of the maps, strong Galois biconnections, which furnish bilattice-isomorphic images. We investigate all four species of Galois biconnections on pre-bilattices and on bilattices with negation and conflation. We examine both the survival of elegant properties of Galois connections (composability, invertibility, preservation of joins and meets, etc.) and the preservation of interesting bilattice properties (distributivity, boundedness, interlacing) for the images of the bilattices under the Galois biconnection. Finally, we discuss the naturally emerging biclosure operators on bilattices and hint on the generalisation of these concepts to sets equipped with more than two lattices

Foundations of Quantum Theory: From Classical Concepts to Operator Algebras

Quantum physics; Mathematical physics; Matrix theory; Algebr