123 research outputs found

    Extensions of transversal matroids

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    En aquest treball s'introdueixen les principals nocions de teoria de matroides, matroides transversals i extensions d'un sol element. El nostre primer objectiu és estudiar quines extensions d'una matroide transversal són també transversals. En particular, centrem el nostre estudi en la família de matroides uniformes. El conjunt d'extensions d'una matroide és un reticle sota l'anomenat weak order. Intentem respondre a la pregunta de si el conjunt d'extensions transversals d'una matroide uniforme és també un reticle o no. També dissenyem un algoritme per catalogar i contar matroides transversals fins a una certa mida del ground set. Per fer-ho, les construim a partir de la més petita, a base de iterativament extendre presentacions minimals, fent servir les eines que hem desenvolupat anteriorment. En vista que l'estratègia no troba realment totes les matroides transversals, també estudiem com són les matroides que no es poden construir amb aquesta estratègia i quines propietats satisfan.En este trabajo introducimos las nociones básicas de teoría de matroides, matroides transversales y extensiones de un solo elemento. Nuestro primer objetivo es estudiar las extensiones de matroides transversales que también son transversales. En particular, centramos nuestro estudio en la familia de las matroides uniformes. El conjunto de extensiones de una matroide es un retículo bajo el llamado weak order. Intentamos responder a la pregunta de si el conjunto de extensiones transversales de un matroide uniforme es también un retículo o no. También diseñamos un algoritmo que cataloga y cuenta matroides transversales hasta un tamaño fijo del ground set. Para ello, las construimos desde cero extendiendo iterativamente presentaciones minimales utilizando las herramientas que hemos visto anteriormente. Dado que la estrategia no cuenta realmente todas las matroides transversales, estudiamos también qué matroides no son alcanzables utilizando esta estrategia y qué propiedades satisfacen.In this work we introduce the basic notions of matroid theory, transversal matroids and single-element extensions. Our first objective is to study which extensions of a given transversal matroid are also transversal. In particular, we focus our study on the family of uniform matroids. The set of single-element extensions of a matroid is a lattice under the so-called weak order. We try to answer the question of whether the set of transversal extensions of a uniform matroid is also a lattice or not. We also design an algorithm that catalogs and counts transversal matroids up to a fixed size of the ground set. To do so, we build them from scratch by iteratively extending minimal presentations using the tools that we have previously seen. In view that the strategy does not actually count all transversal matroids, we also study which matroids are not reachable using this strategy and what properties do they satisfy

    El teorema dels menors per grafs i matroides

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    En aquest treball s'investigarà sobre el teorema dels menors de Robertson i Seyomur, considerat un dels resultats més importants de la combinatòria. Aquest teorema afirma que qualsevol conjunt infinit de grafs està quasi ben ordenat per la relació de menor. Una de les conseqüències més importants és que qualsevol classe de grafs tancada per la relació de menor, té un nombre finit de menors exclosos. Es començarà amb un resum de la demostració clàssica de Robertson i Seymour. Més endavant es farà una introducció sobre què són els matroides i algunes operacions i famílies importants d'aquests. Es finalitzarà mostrant un teorema similar al de Robertson i Seymour però per a matroides, comparant-ne els resultats

    El problema de la intersección de matroides

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    En este trabajo, se estudia la dependencia de forma abstracta a través de los matroides, centrándose más en la intersección de dos matroides. En primer lugar, se empieza con una introducción sobre el concepto de matroide. A continuación, se trata el tema central del trabajo, que es encontrar un conjunto independiente de máxima cardinalidad común a dos matroides, así como un conjunto independiente de máximo peso común a dos matroides, respecto a una función de coste. Primero, se estudia la búsqueda de un conjunto independiente de máximo peso respecto a una función de coste en un matroide, lo cual se lleva a cabo a través del algoritmo voraz. Después se introduce una relación entre matroides y politopos que permite obtener resultados importantes en la intersección de dos matroides. También se incluye un algoritmo a través del cual se obtiene tal conjunto deseado común a dos matroides. Por último, se añaden algunas aplicaciones de intersección de dos matroides y se expone un poco la intersección de más matroides.Grado en Matemática

    El gran teorema de la combinatòria moderna

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    Si pregunteu a un expert quin és el resultat estrella de la combinatòria de les últimes dècades, és probable que contesti: el teorema dels menors de Robertson i Seymour. Aquest resultat, una de les grans fites de la matemàtica del segle passat, afirma el següent: si G és una classe de grafs tancada per menors, llavors hi ha un nombre finit d'obstruccions que determinen si un graf és a G. L'exemple clàssic és el teorema de Kuratowski: si G és la classe dels grafs planaris, les obstruccions són els grafs K5 i K3,3. La prova ocupa uns vint articles, amb un total de més de cinc-centes pàgines. En aquest treball expliquem el contingut del teorema i donem una idea de les seves implicacions, de les relacions amb l'algorísmia i amb la lògica, de les eines fonamentals a què ha donat lloc i de la seva demostració.The great theorem of modern combinatorics. If you ask an expert which is the star result in combinatorics in the last decades, it is likely that the answer is Robertson and Seymour’s Minor Theorem. This result, one of the greatest achievements from last century mathematics, claims the following: if G is a class of graphs closed under taking minors, then there is a finite number of obstructions determining if a graph is in G. The classical example is Kuratowski’s theorem: if G is the class of planar graphs, the obstructions are the graphs K5 and K3,3. The proof spans about twenty papers with a total of more than 500 pages. In this article we explain the content of the theorem and give an idea of its implications, its relations with algorithmics and logic, the fundamental tools it has given rise to, and its proof

    Modelo de representación del espacio geográfico mediante matroides orientados

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    En el contexto de los Sistemas de Información Geográfica (SIG) se emplea una noción clásica del espacio que abarca, entre otros, dos conceptos: la continuidad y la externalidad. Estas nociones se encuentran presentes en las dos formas de representación basadas en campo y en objeto. Ya que cualquiera de estas dos formas conlleva básicamente un ejercicio de muestreo, el modelo de la realidad espacial así obtenido carece de exactitud y precisión, además de posición real, en muchas ocasiones. Dadas las deficiencias que tiene la representación de un modelo continuo (basado en los números reales ) implementado en un entorno de computación el cual es finito y no continuo (basado en un subconjunto de los números enteros ), han aparecido propuestas alternativas que pretenden subsanar dichas deficiencias. Una de las más prometedoras son los matroides orientados, esta propuesta está basada en estructuras combinatoriales complementadas con el concepto de convexidad. A lo largo de la presente revisión temática se exponen los conceptos básicos que subyacen a los matroides orientados y se relacionan algunas áreas de aplicación potencial en la representación de conceptos espaciales

    Arbres minimaux d'un graphe preordonne

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    AbstractWe study the minimal spanning trees of a connected graph G = (X,U) where U is partially preordered (or quasi-ordered). We characterize several kinds of optimal spanning trees and give conditions for existence of strongly optimal trees. Generalizations to bases of matroids (binary matroïds in part 2) are immediate. Sone of our results are given in terms of Krugdahl's dependence graphs. They imply previous results of Rosenstiehl and Gale in the case of linear orders or preorders.RésuméOn étudie les arbres minimaux d'un graphe connexe G = (X,U), où U est partiellement préordonné. On caractérise diverses sortes d'arbes optimaux et on donne des conditions d'existence des arbres fortement optimaux. Des généralisations aux bases de matroides (matroides binaires dans la partie 2) sont immédiates. Certains de nos résultats utilisent les graphes de déviance de Krogdahl. Its impliquent des résultats de Rosenstiehl et de Gale dans les cas dependances et de préorders totaux

    A união de matroides: sobre dois artigos base desta operação

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    Tese de mestrado em Matemática, apresentada à Universidade de Lisboa, através da Faculdade de Ciências, 2008This Master thesis focus on two papers on the sum of matroids, chosen for their relevance on the subject. On one hand, for showing interesting results on the subject, using almost nothing but the basic concepts of the topic. On the other hand, for bringing comprehension to the importance and centrality of the other theory concepts and propositions. In practice, having that on mind, we start presenting the fundamentals of Matroids Theory and of the sum of matroids operation; also presenting integer partitions, since they are used on the first paper. With this background, we then exhibit both papers in the most simple and clear way found. Namely, in the first paper, on the µ-colorings of a matroid, we present an easier proof of each of the three main results involved. In the second one, on the notion of transversals of the sum of matroids, we also try to exhibit it in a clear way, showing in detail all the computation required, but above all, highlighting the important steps involved. Finally, we analyse the understanding brought by the two papers to the field of the sum of matroids, studying the consequences of their results, the questions they rise and steps taken forward towards their resolution. Along the way, we also approach one or two different Mathematics fields that this work naturally led us into. This is the case of the Linear Algebra conclusions obtained, as well as of one or two remarks on computation capacity.A tese aqui apresentada incide em dois artigos sobre a união de matroides, nos quais se debruça pela sua relevância no tema. Num sentido, por apresentarem resultados interessantes neste área, partindo quase exclusivamente dos conhecimentos mais elementares do tópico. No sentido inverso, por esses resultados permitirem uma melhor compreensão da importância e centralidade dos restantes conceitos e proposições da teoria. Concretamente, tendo presente a ideia acima, começa por se apresentar os fundamentos da teoria de matroides e a operação de união de matroides. Introduz-se também o tópico de partições de inteiros, utilizado no primeiro dos artigos apresentados. Partindo destes conhecimentos básicos, expõe-se de seguida cada um dos artigos, da forma mais simples e clara encontrada. Nomeadamente, no primeiro artigo, sobre colorações de um matroide, apresenta-se uma demonstração mais simples de cada um dos três resultados fundamentais envolvidos. No segundo artigo sobre transversais da união de matroides, faz-se também uma apresentação que se espera mais clara, expondo detalhadamente todos os cálculo que justificam os raciocínios, mas realçando sempre as ideias realmente importantes envolvidas. Por fim faz-se uma análise da compreensão que os artigos trazem ao tema da união de matroides, estudando consequências dos seus resultados, questões que levantam e avanços na sua resolução. Aborda-se ainda uma ou outra área diferente da matemática que os desenvolvimentos apresentados naturalmente interpelem. Tal é o caso de conclusões de Álgebra Linear obtidas, ou de uma ou outra referência de ordem computacional

    Problemas de Programación Lineal en Redes de Información y Operadores de Clausura usando Particiones

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    A network is an acyclic directed graph in which there are sources that have some messages and want to transmit to receivers through the combination of messages in intermediate nodes. The goal is to find a collection of functions that allow to combine messages in order to satisfy the demand of the receivers. In this paper, we study the fractional solvability problem of a network using an extension of the solvability problem in closure operators given by Gadouleau in 2013. We define linear programming problems via the desired extension in order to study capacities; using some information inequalities and characteristic-dependent linear rank inequalities, we obtain upper bounds on linear capacity of some networks and closure operators over some fields.Una red de información es un grafo dirigido acíclico en el cual ciertos nodos llamados fuentes tienen mensajes que desean transmitir a otros nodos llamados receptores a través de la combinación de mensajes en nodos intermedios.El problema de solubilidad consiste en encontrar una colección adecuada de funciones que permita combinar los mensajes en los nodos intermedios para que puedan ser decodificados donde son requeridos. En esta trabajo se estudia el problema de solubilidad fraccional de una red a través de una extensión del problema de solubilidad de un operador de clausura definido por Gadouleau en el 2013. Se definen problemas de programación lineal mediante dicha conexión con operadores de clausura para estudiar la capacidad de una red; usando algunas desigualdades de la información y desigualdades rango lineales dependientes de la característica se obtienen cotas superiores sobre la capacidad lineal de algunas redes y operadores de clausura sobre un cuerpo dado

    Positively oriented matroids are realizable

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    We prove da Silva's 1987 conjecture that any positively oriented matroid is a positroid; that is, it can be realized by a set of vectors in a real vector space. It follows from this result and a result of the third author that the positive matroid Grassmannian (or positive MacPhersonian) is homeomorphic to a closed ball.Comment: 20 pages, 3 figures, references adde

    Pesos de Hamming generalizados y números de Betti

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    Los pesos de Hamming generalizados de un código C son un conjunto de parámetros del código, que generalizan su distancia mínima. Dada una matroide M, podemos definir también sus pesos generalizados. En caso de que M sea la matroide asociada a una matriz de control H del código C, los pesos de la matroide coinciden con los pesos de Hamming del código. El objetivo de este trabajo es, siguiendo [JV13], demostrar la relación que existe entre los pesos generalizados de una matroide M, y los números de Betti Ngraduados del anillo de Stanley-Reisner asociado al complejo simplicial Δ de conjuntos independientes de M. Dichos números de Betti pueden calcularse a través de la resolución graduada minimal del anillo de Stanley-Reisner del complejo.Generalized Hamming weights of a code C are a set of parameters that generalize its minimum distance. One may also define generalized weights for any matroid M. If M is the matroid associated to a parity check matrix of the code, both definitions coincide. The set of independent sets of a matroid is a simplicial complex, Δ. The aim of this project is, using [JV13] as main reference, to show the relation between the N-graded Betti numbers of the Stanley-Reisner ring of the simplicial complex Δ and the generalized weights of a matroid M. Such Betti numbers can be computed with the graded minimal resolution of the Stanley-Reisner ring associated to Δ.Departamento de Algebra, Geometría y TopologíaGrado en Matemática
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