261 research outputs found

    Local Cliques in ER-Perturbed Random Geometric Graphs

    Get PDF
    Random graphs are mathematical models that have applications in a wide range of domains. We study the following model where one adds Erd\H{o}s--R\'enyi (ER) type perturbation to a random geometric graph. More precisely, assume GXG_\mathcal{X}^{*} is a random geometric graph sampled from a nice measure on a metric space X=(X,d)\mathcal{X} = (X,d). The input observed graph G^(p,q)\widehat{G}(p,q) is generated by removing each existing edge from GXG_\mathcal{X}^* with probability pp, while inserting each non-existent edge to GXG_\mathcal{X}^{*} with probability qq. We refer to such random pp-deletion and qq-insertion as ER-perturbation. Although these graphs are related to the objects in the continuum percolation theory, our understanding of them is still rather limited. In this paper we consider a localized version of the classical notion of clique number for the aforementioned ER-perturbed random geometric graphs: Specifically, we study the edge clique number for each edge in a graph, defined as the size of the largest clique(s) in the graph containing that edge. The clique number of the graph is simply the largest edge clique number. Interestingly, given a ER-perturbed random geometric graph, we show that the edge clique number presents two fundamentally different types of behaviors, depending on which "type" of randomness it is generated from. As an application of the above results, we show that by using a filtering process based on the edge clique number, we can recover the shortest-path metric of the random geometric graph GXG_\mathcal{X}^* within a multiplicative factor of 33, from an ER-perturbed observed graph G^(p,q)\widehat{G}(p,q), for a significantly wider range of insertion probability qq than in previous work

    Graph matching using position coordinates and local features for image analysis

    Get PDF
    Encontrar las correspondencias entre dos imágenes es un problema crucial en el campo de la visión por ordenador i el reconocimiento de patrones. Es relevante para un amplio rango de propósitos des de aplicaciones de reconocimiento de objetos en las áreas de biometría, análisis de documentos i análisis de formas hasta aplicaciones relacionadas con la geometría desde múltiples puntos de vista tales cómo la recuperación de la pose, estructura desde el movimiento y localización y mapeo. La mayoría de las técnicas existentes enfocan este problema o bien usando características locales en la imagen o bien usando métodos de registro de conjuntos de puntos (o bien una mezcla de ambos). En las primeras, un conjunto disperso de características es primeramente extraído de las imágenes y luego caracterizado en la forma de vectores descriptores usando evidencias locales de la imagen. Las características son asociadas según la similitud entre sus descriptores. En las segundas, los conjuntos de características son considerados cómo conjuntos de puntos los cuales son asociados usando técnicas de optimización no lineal. Estos son procedimientos iterativos que estiman los parámetros de correspondencia y de alineamiento en pasos alternados. Los grafos son representaciones que contemplan relaciones binarias entre las características. Tener en cuenta relaciones binarias al problema de la correspondencia a menudo lleva al llamado problema del emparejamiento de grafos. Existe cierta cantidad de métodos en la literatura destinados a encontrar soluciones aproximadas a diferentes instancias del problema de emparejamiento de grafos, que en la mayoría de casos es del tipo "NP-hard". El cuerpo de trabajo principal de esta tesis está dedicado a formular ambos problemas de asociación de características de imagen y registro de conjunto de puntos como instancias del problema de emparejamiento de grafos. En todos los casos proponemos algoritmos aproximados para solucionar estos problemas y nos comparamos con un número de métodos existentes pertenecientes a diferentes áreas como eliminadores de "outliers", métodos de registro de conjuntos de puntos y otros métodos de emparejamiento de grafos. Los experimentos muestran que en la mayoría de casos los métodos propuestos superan al resto. En ocasiones los métodos propuestos o bien comparten el mejor rendimiento con algún método competidor o bien obtienen resultados ligeramente peores. En estos casos, los métodos propuestos normalmente presentan tiempos computacionales inferiores.Trobar les correspondències entre dues imatges és un problema crucial en el camp de la visió per ordinador i el reconeixement de patrons. És rellevant per un ampli ventall de propòsits des d’aplicacions de reconeixement d’objectes en les àrees de biometria, anàlisi de documents i anàlisi de formes fins aplicacions relacionades amb geometria des de múltiples punts de vista tals com recuperació de pose, estructura des del moviment i localització i mapeig. La majoria de les tècniques existents enfoquen aquest problema o bé usant característiques locals a la imatge o bé usant mètodes de registre de conjunts de punts (o bé una mescla d’ambdós). En les primeres, un conjunt dispers de característiques és primerament extret de les imatges i després caracteritzat en la forma de vectors descriptors usant evidències locals de la imatge. Les característiques son associades segons la similitud entre els seus descriptors. En les segones, els conjunts de característiques son considerats com conjunts de punts els quals son associats usant tècniques d’optimització no lineal. Aquests son procediments iteratius que estimen els paràmetres de correspondència i d’alineament en passos alternats. Els grafs son representacions que contemplen relacions binaries entre les característiques. Tenir en compte relacions binàries al problema de la correspondència sovint porta a l’anomenat problema de l’emparellament de grafs. Existeix certa quantitat de mètodes a la literatura destinats a trobar solucions aproximades a diferents instàncies del problema d’emparellament de grafs, el qual en la majoria de casos és del tipus “NP-hard”. Una part del nostre treball està dedicat a investigar els beneficis de les mesures de ``bins'' creuats per a la comparació de característiques locals de les imatges. La resta està dedicat a formular ambdós problemes d’associació de característiques d’imatge i registre de conjunt de punts com a instàncies del problema d’emparellament de grafs. En tots els casos proposem algoritmes aproximats per solucionar aquests problemes i ens comparem amb un nombre de mètodes existents pertanyents a diferents àrees com eliminadors d’“outliers”, mètodes de registre de conjunts de punts i altres mètodes d’emparellament de grafs. Els experiments mostren que en la majoria de casos els mètodes proposats superen a la resta. En ocasions els mètodes proposats o bé comparteixen el millor rendiment amb algun mètode competidor o bé obtenen resultats lleugerament pitjors. En aquests casos, els mètodes proposats normalment presenten temps computacionals inferiors

    Curvature Filtrations for Graph Generative Model Evaluation

    Full text link
    Graph generative model evaluation necessitates understanding differences between graphs on the distributional level. This entails being able to harness salient attributes of graphs in an efficient manner. Curvature constitutes one such property of graphs, and has recently started to prove useful in characterising graphs. Its expressive properties, stability, and practical utility in model evaluation remain largely unexplored, however. We combine graph curvature descriptors with emerging methods from topological data analysis to obtain robust, expressive descriptors for evaluating graph generative models

    Hochschild homology, and a persistent approach via connectivity digraphs

    Full text link
    We introduce a persistent Hochschild homology framework for directed graphs. Hochschild homology groups of (path algebras of) directed graphs vanish in degree i2i\geq 2. To extend them to higher degrees, we introduce the notion of connectivity digraphs and analyse two main examples; the first, arising from Atkin's qq-connectivity, and the second, here called nn-path digraphs, generalising the classical notion of line graphs. Based on a categorical setting for persistent homology, we propose a stable pipeline for computing persistent Hochschild homology groups. This pipeline is also amenable to other homology theories; for this reason, we complement our work with a survey on homology theories of digraphs.Comment: Comments are welcome
    corecore