Strong ensemble nonequivalence in systems with local constraints

The asymptotic equivalence of canonical and microcanonical ensembles is a central concept in statistical physics, with important consequences for both theoretical research and practical applications. However, this property breaks down under certain circumstances. The most studied violation of ensemble equivalence requires phase transitions, in which case it has a `restricted' (i.e. confined to a certain region in parameter space) but `strong' (i.e. characterized by a difference between the entropies of the two ensembles that is of the same order as the entropies themselves) form. However, recent research on networks has shown that the presence of an extensive number of local constraints can lead to ensemble nonequivalence even in the absence of phase transitions. This occurs in a `weak' (i.e. leading to a subleading entropy difference) but remarkably `unrestricted' (i.e. valid in the entire parameter space) form. Here we look for more general manifestations of ensemble nonequivalence in arbitrary ensembles of matrices with given margins. These models have widespread applications in the study of spatially heterogeneous and/or temporally nonstationary systems, with consequences for the analysis of multivariate financial and neural time-series, multi-platform social activity, gene expression profiles and other Big Data. We confirm that ensemble nonequivalence appears in `unrestricted' form throughout the entire parameter space due to the extensivity of local constraints. Surprisingly, at the same time it can also exhibit the `strong' form. This novel, simultaneously `strong and unrestricted' form of nonequivalence is very robust and imposes a principled choice of the ensemble. We calculate the proper mathematical quantities to be used in real-world applications

A selective overview of nonparametric methods in financial econometrics

This paper gives a brief overview on the nonparametric techniques that are useful for financial econometric problems. The problems include estimation and inferences of instantaneous returns and volatility functions of time-homogeneous and time-dependent diffusion processes, and estimation of transition densities and state price densities. We first briefly describe the problems and then outline main techniques and main results. Some useful probabilistic aspects of diffusion processes are also briefly summarized to facilitate our presentation and applications.Comment: 32 pages include 7 figure

Die Berechnung der induzierten Ladung

One of the main aspects of statistical mechanics is that the properties of a thermodynamics state point do not depend on the choice of the statistical ensemble. It breaks down for small systems e.g. single molecules. Hence, the choice of the statistical ensemble is crucial for the interpretation of single molecule experiments, where the outcome of measurements depends on which variables or control parameters, are held fixed and which ones are allowed to fluctuate. Following this principle, this thesis investigates the thermodynamics of a single polymer pulling experiments within two different statistical ensembles. The scaling of the conjugate chain ensembles, the fixed end-to-end vector (Helmholtz) and the fixed applied force (Gibbs), are studied in depth. This thesis further investigates the ensemble equivalence for different force regimes and polymer-chain contour lengths. Using coarse-grained molecular dynamic simulations, i.e. Langevin dynamics, the simulations were found to complement the theoretical predictions for the scaling of ensemble difference of Gaussian chains in different force-regimes, giving special attention to the zero force regime. After constructing Helmholtz and Gibbs conjugate ensembles for a Gaussian chain, two different data sets of thermodynamic states on the force-extension plane, i.e. force-extension curves, were generated. The ensemble difference is computed for different polymer-chain lengths by using force-extension curves. The scaling of the ensemble difference versus relative polymer-chain length under different force regimes has been derived from the simulation data and compared to theoretical predictions. The results demonstrate that the Gaussian chain in the zero force limit generates nonequivalent ensembles, regardless of its equilibrium bond length and polymer-chain contour length. Moreover, if polymers are charged in confinement, coarse-graining is problematic, owing to dielectric interfaces. Hence, the effect of dielectric interfaces must be taken into account when describing physical systems such as ionic channels or biopolymers inside nanopores. It is shown that the effect of dielectrics is crucial for the dynamics of a biopolymer or an ion inside a nanopore. In the simulations, the feasibility of an efficient and accurate computation of electrostatic interactions in the presence of an arbitrarily shaped dielectric domain is challenging. Several solutions for this problem have been previously proposed in the literature such as a density functional approach, or transforming problem at hand into an algebraic problem ( Induced Charge Computation (ICC) ) and boundary element methods. Even though the essential concept is the same, which is to replace the dielectric interface with a polarization charge density, these approaches have been analyzed and the ICC algorithm has been implemented. A new superior boundary element method has been devised utilizing the force computation via the Particle-Particle Particle-Mesh (P3M) method for periodic geometries (ICCP3M). This method has been compared to the ICC algorithm, the algebraic solutions, and to density functional approaches. Extensive numerical tests against analytically tractable geometries have confirmed the correctness and applicability of developed and implemented algorithms, demonstrating that the ICCP3M is the fastest and the most versatile algorithm. Further optimization issues are also discussed in obtaining accurate induced charge densities. The potential of mean force (PMF) of DNA modelled on a coarsed-grain level inside a nanopore is investigated with and without the inclusion of dielectric effects. Despite the simplicity of the model, the dramatic effect of dielectric inclusions is clearly seen in the observed force profile.Eines der wichtigsten Ergebnisse der statistischen Mechanik ist, dass unterschiedliche statistische Ensembles dieselben thermodynamischen Zustände erzeugen. Dieses Prinzip gilt nicht notwendigerweise für kleine Systeme, wie zum Beispiel einzelne Moleküle oder ein einzelnes Polymer. Deshalb ist die Wahl des statistischen Ensembles von entscheidender Bedeutung für die Interpretation von Einzelmolekülexperimenten ( im Englischen "Single Molecule Experiment" (SME) ), denn das Ergebnis der Messung hängt davon ab, welche Variablen oder Kontrollparameter festgehalten werden und welche fluktuieren können. Ausgehend von diesem Problem haben wir Zugexperimente an einem einzigen Polymer in zwei verschiedenen Ensembles durchgeführt und den thermodynamischen Limes (Anzahl der Polymersegmente wächst gegen unendlich) untersucht. Wir haben zwei konjugierte Ensembles, nämlich das, in dem der End-zu-End Abstand (Helmholtz) festgehalten wurde, mit dem, wo wir die Kraft (Gibbs) festgehalten haben, gründlich und auf verschiedene Arten verglichen. Wir haben den Ensemble-Unterschied als Funktion der Anzahl der Polymersegmente in unterschiedlichen Zugkraftbereichen mittels Molekulardynamik Simulationen untersucht, wobei wir eine Langevin Dynamik benutzt haben. Die untersuchten Messgrössen waren die Bestimmung von sogenannten Kraft-Dehnungskurven, wie sie auch in AFM Experimenten gemessen werden. Diese Kurven wurden für zwei verschieden Gauss Ketten verschiedenster Polymerlänge durchgeführt, einmal mit verschwindender Bondlänge und einmal mit Bondlänge eins. Aufgrund unserer Simulationen konnten wir zeigen, das sowohl Gauss-Ketten mit endlicher, wie auch verschwindender Bondlänge für den Bereich verschwindender Zugkraft einen endlichen Ensembleunterschied besitzen, der nicht von der Kettenlänge abhängt. Dieses Phänomen wurde bereits vor 20 Jahren von R. Neumann beschrieben. Trotz der relativ einfachen Argumente von Neumann gibt es bis heute noch Arbeiten, die diesen Sachverhalt entweder anzweifeln oder verkehrt darstellen. Wir hoffen, durch diesen Teil der Arbeit den Sachverhalt zufriedenstellend aufgeklärt zu haben. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir geladen Polymere unter einem räumlichen Einschluss. Dies können zum Beispiel Ionen in schmalen Kanälen sein (Ionenkanäle), oder DNA in Nanoporen. In vergröberten Simulationen werden geladene Polymere immer in einem dielektrischen Kontinuum dargestellt. Wasser hat eine relative dielektrische Konstante von 80 bei Raumtemperatur, die dann in dieses Model als Parameter gesteckt wird. Wenn feste Grenzflächen vorhanden sind, haben diese meist niedrige dielektrische Konstanten ($\approx 2$). Diese Grenzflächen haben grosse Auswirkungen auf die elektrostatischen Wechselwirkungen. In den Simulationen ist es wichtig, diese Effekte korrekt *und schnell* zu berechnen. Deshalb haben wir einen effizienten und präzisen Algorithmus entwickelt, der genau dies bewerkstelligt. In der Literatur wurden mehrere Möglichkeiten vorgeschlagen, wie dieses Problem für Simulationen lösbar sein sollte, wie zum Beispiel Dichtefunktionalmethoden, Umwandlung des Problems in ein algebraisches Problem (Induced Charge Computation, ICC) oder die Randelement Methode. Das wesentliche Konzept besteht darin, die Polarisationsladung auf dem dielektrischen Rand so zu bestimmen, dass die dielektrischen Randbedingungen erfüllt werden. Wir haben den ICCP3M Algorithmus entwickelt, dessen Kernstück darin besteht, den P3M Algorithmus zur Bestimmung der induzierten Ladung auf den Randelementen zu benutzen. Durch diesen Trick lässt sich die Ladungsberechnung in CPU Zeit $\mathscr{O}(Nlog N)$, wobei $\mathscr{O}(N)$ die Anzahl der Ladungen im System ist, durchführen. Wir haben den Algorithmus innerhalb des Espresso Programmpakets implementiert und optimiert. Im letzten Teil der Arbeit wurde das Potential der mittleren Kraft einer vergröberten DNA innerhalb einer Nanopore untersucht, wobei wir die Unterschiede zwischen korrekter Behandung der dielektrischen Ränder und der Ignorierung derselben quantifiziert haben. Trotz seiner Einfachheit zeigt unser Modell den dramatischen Einfluss, den die dielektrischen Ränder auf die gemessene efffektive Kraft und das Potential der mittleren Kraft ausüben