Dynamique des applications holomorphes propres de domaines reguliers et probleme de l'injectivite

This paper deals with proper holomorphic self-maps of smoothly bounded pseudoconvex domains in \C^2. We study the dynamical properties of their extension to the boundary and show that their non-wandering sets are always contained in the weakly pseudoconvex part of the boundary. In the case of complete circular domains, we combine this fact with an entropy/degree argument to show that the maps are automorphisms. Some of our results remain true in \C^n.Comment: 25 pages, 3 figure

Dynamique des automorphismes des groupes libres

Dynamics of free groups automorphismsCette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique de l'homéomorphisme $\partial\phi$ induit par un automorphisme $\phi$ du groupe libre $F_N$ sur son bord $\partial F_N$.Je m'intéresse aux automorphismes $\phi$ de $F_N$ tels que les points périodiques de $\phi$ et $\partial\phi$ sont en fait des points fixes (tout automorphisme possède une puissance qui vérifie cette propriété). Je montre que l'ensemble $L_\phi^+$ des pointsd'accumulation des suites $\partial\phi^k(X)$ (où $X$ décrit les points de $\partial F_N$ non fixés par $\partial\phi$) est fini modulo l'action du sous-groupe fixe \Fix\phi par translation à gauche. De plus, lorsqu'un tel point est dans le bord du sous-groupe fixe, j'obtiens qu'il est rationnel. La preuve repose sur une étude minutieuse d'un arbre réel $\phi$-invariant (au sens de Levitt-Lustig), et demande un travail technique préalable sur les train-tracks relatifs améliorés de Bestvina-Feighn-Handel.Ce résultat me permet de construire un nouvel invariant pour un automorphisme $\phi$ de $F_N$ (dont les points périodiques sont fixes): son graphe dynamique $\Gamma_\phi$. Je donne une description des graphes dynamiques que l'on obtient pour des automorphismes induits par des homéomorphismes pseudo-Anosov de surfaces à bord. J'étudie en détail la dynamique des automorphismes de $F_2$. Je donne aussi un exemple d'automorphisme $\phi$ de $F_4$ possédant une orbite parabolique, ie pour lequel il existe un point $X$ du bord tel que $\lim_{k\rightarrow+\infty} \partial\phi^k(X) = \lim_{k\rightarrow +\infty}\partial\phi^{-k}(X)$.Par ailleurs, je démontre que le stabilisateur dans \Aut(F_N) d'un point fixe attractif d'un automorphisme à puissances irréductibles est infini cyclique. J'en déduis que le stabilisateur dans \Aut(F_2) d'un point $X\in\partial F_2$ non rationnel est soit trivial, soit infini cyclique; et je donne, à isomorphisme près, la liste des sous-groupes de \Aut(F_2) obtenus comme stabilisateurs d'un point de $\partial F_2$