Characterization of the Oblique Projector U(VU)+VU(VU)^+V with Application to Constrained Least Squares

We provide a full characterization of the oblique projector $U(VU)^+V$ in the general case where the range of $U$ and the null space of $V$ are not complementary subspaces. We discuss the new result in the context of constrained least squares minimization.Comment: v1: 6 pages v2: 7 pages. Minor changes (formatting, references) in sections 1-2. Extra statement in Theorem 3.1. Substantial revision of section 4 v3: 7 pages. A minor change (more explicit formula for \Xi) in Corollary 4.2. Changed + to direct sum at the bottom of p.5 v4: 7 pages. Removed typo in eq. (17) which was present in v2 and v

The generalized inverses of tensors and an application to linear models

[EN] In this paper, we recall and extend some tensor operations. Then, the generalized inverse of tensors is established by using tensor equations. Moreover, we investigate the leastsquares solutions of tensor equations. An algorithm to compute the Moore Penrose inverse of an arbitrary tensor is constructed. Finally, we apply the obtained results to higher order Gauss Markov theoremThe fourth author was supported by the National Science Foundation of China [grant number 11361009] and Grant from the High level innovation teams and distinguished scholars in Guangxi Universities [grant number 20160001].Jin, H.; Bai, M.; Benítez López, J.; Liu, X. (2017). The generalized inverses of tensors and an application to linear models. Computers & Mathematics with Applications. 74(3):385-397. doi:10.1016/j.camwa.2017.04.017S38539774

Toward Solution of Matrix Equation X=Af(X)B+C

This paper studies the solvability, existence of unique solution, closed-form solution and numerical solution of matrix equation $X=Af(X) B+C$ with $f(X) =X^{\mathrm{T}},$ $f(X) =\bar{X}$ and $f(X) =X^{\mathrm{H}},$ where $X$ is the unknown. It is proven that the solvability of these equations is equivalent to the solvability of some auxiliary standard Stein equations in the form of $W=\mathcal{A}W\mathcal{B}+\mathcal{C}$ where the dimensions of the coefficient matrices $\mathcal{A},\mathcal{B}$ and $\mathcal{C}$ are the same as those of the original equation. Closed-form solutions of equation $X=Af(X) B+C$ can then be obtained by utilizing standard results on the standard Stein equation. On the other hand, some generalized Stein iterations and accelerated Stein iterations are proposed to obtain numerical solutions of equation equation $X=Af(X) B+C$. Necessary and sufficient conditions are established to guarantee the convergence of the iterations

Krylov subspace methods and their generalizations for solving singular linear operator equations with applications to continuous time Markov chains

Viele Resultate über MR- und OR-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme bleiben (in leicht modifizierter Form) gültig, wenn der betrachtete Operator nicht invertierbar ist. Neben dem für reguläre Probleme charakteristischen Abbruchverhalten, kann bei einem singulären Gleichungssystem auch ein so genannter singulärer Zusammenbruch auftreten. Für beide Fälle werden verschiedene Charakterisierungen angegeben. Die Unterrauminverse, eine spezielle verallgemeinerte Inverse, beschreibt die Näherungen eines MR-Unterraumkorrektur-Verfahrens. Für Krylov-Unterräume spielt die Drazin-Inverse eine Schlüsselrolle. Bei Krylov-Unterraum-Verfahren kann a-priori entschieden werden, ob ein regulärer oder ein singulärer Abbruch auftritt. Wir können zeigen, dass ein Krylov-Verfahren genau dann für beliebige Startwerte eine Lösung des linearen Gleichungssystems liefert, wenn der Index der Matrix nicht größer als eins und das Gleichungssystem konsistent ist. Die Berechnung stationärer Zustandsverteilungen zeitstetiger Markov-Ketten mit endlichem Zustandsraum stellt eine praktische Aufgabe dar, welche die Lösung eines singulären linearen Gleichungssystems erfordert. Die Eigenschaften der Übergangs-Halbgruppe folgen aus einfachen Annahmen auf rein analytischem und matrixalgebrischen Wege. Insbesondere ist die erzeugende Matrix eine singuläre M-Matrix mit Index 1. Ist die Markov-Kette irreduzibel, so ist die stationäre Zustandsverteilung eindeutig bestimmt