Applications de la topologie algébrique en théorie des graphes

Depuis que ses fondements ont été exposés, voilà environ un siècle, la topologie algébrique confirme sa grande efficacité dans des champs d'application sans cesse croissants. Parmi les concepts les plus importants, développés dans ce domaine, figure en bonne place la théorie de l'homologie. Dans le présent mémoire, nous exploiterons tout particulièrement le fait que le cacul du premier groupe d'homologie d'un graphe nous permet d'obtenir un ensemble de générateurs des cycles du graphe. Grâce à cette remarque et aux techniques que nous exposerons ultérieurement, nous serons alors à même de détecter des ensembles d'articulation, de démontrer beaucoup plus aisément et esthétiquement des résultats de la théorie des graphes et enfin, d'associer à des graphes des équations diophantiennes et quadratiques. L'étude de ces dernières nous permettra d'ailleurs de mettre en évidence d'étonnantes conditions nécessaires à l'existence d'un cycle hamiltonien ou d'un isomorphisme de graphes. [Résumé abrégé par UMI]

Contribution en appariement de graphes pour la recherche d'images par le contenu

Cette thèse s’inscrit dans le cadre général de la reconnaissance de formes structurelles. Elle s’intéresse plus particulièrement à la modélisation des formes par les graphes. L’utilisation de graphes est motivée par le double intérêt qu’apportent ces derniers pour modéliser tous les objets d’une forme donnée et toutes les relations inter objets nécessaires pour la reconnaissance. Un exemple typique utilisé dans cette thèse est celui de la recherche d’images par le contenu (RIPC). Cependant, les techniques présentées dans cette thèse ont un champ plus vaste que la RIPC. La représentation des images par des graphes implique le recours à des algorithmes d’appariement de graphes afin de comparer et de détecter la similarité entre les images. Par ailleurs la recherche dans une base de données d’image nécessite une réorganisation préalable de la base afin de faciliter la recherche, ce qui nous conduit à faire appel à des techniques de classification des images représentées par des graphes. Dans un premier temps, nous proposons un nouvel algorithme pour mettre en correspondance un graphe requête et un graphe modèle. L’idée de base est de diviser le processus de recherche des correspondances en plusieurs phases (K). À l’issue de chaque phase, l’ensemble des correspondances est extrait, évalué et finalement comparé à celui dont le coût de correspondance est minimal. Dans un deuxième temps, nous proposons un nouvel algorithme pour identifier un représentant appelé Graphe Médian, parmi un ensemble de graphes. Le rôle du graphe médian est capital pour la classification et la réorganisation d’une base de données image utilisant les graphes pour représenter son contenu. Finalement, nous proposons un système de recherche d’images par le contenu utilisant les graphes pour représenter leur contenu et les deux algorithmes précédemment décrits. D’une manière générale, les résultats présentés dans cette thèse montrent l’intérêt potentiel d’utiliser les graphes pour représenter les formes. Ces résultats semblent valider le choix judicieux des graphes comme une solution de remplacement aux structures de données classiques à savoir les vecteurs. De plus, on voit clairement à travers les résultats obtenus que les algorithmes, développés dans cette thèse, pourront jouer un rôle primordial comme un outil de mesure de similarité dans un espace aussi complexe que les graphes

Mathématiques et programmation analyse des besoins et inventaire de ressources au collégial /

"Ce projet constitue le troisième volet d'une recherche portant sur les applications de l'ordinateur dans l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques au collégial"Également disponible en version papierTitre de l'écran-titre (visionné le 5 déc. 2009)Bibliogr

Une approche non-simplement lacée aux structures amassées et aux potentiels

La théorie des algèbres amassées ainsi que leurs catégorifications par les catégories amassées et par les catégories 2-Calabi-Yau apportent à la théorie des représentations des algèbres de nouvelles techniques et de nouveaux outils dont l'intérêt ne cesse de croître. Dans cette thèse, nous proposons une approche non-simplement lacée à quelques-uns des aspects importants de ces nouvelles techniques et de ces nouveaux outils. De prime abord, nous nous intéressons aux structures amassées pour les catégories 2-Calabi-Yau étudiées par Buan, Iyama, Reiten et Scott dans [10], et nous en proposons une version non-simplement lacée lorsque le corps de base n'est plus nécessairement algébriquement clos, généralisant ainsi la version simplement lacée sur les corps algébriquement clos. Comme généralisation du théorème [10, 1.1.6], nous obtenons alors que les catégories 2-Calabi-Yau possèdent la version non-simplement lacée des structures amassées dès que l'existence d'une structure amassée faible est garantie. Et en guise d'une première application de l'existence de structures amassées non-simplement lacées, à l'aide des fonctions d'amas (généralisant les caractères d'amas) nous pouvons réaliser directement une large classe d'algèbres (et de sous-algèbres) amassées non-simplement lacées (encore dites anti-symétrisables) de type géométrique, avec la possibilité qu'un amas puisse avoir un nombre dénombrable de variables. En particulier, sur des corps non-algébriquement clos, il devient alors clair que les catégories amassées telles que définies dans [12] possèdent toujours une structure amassée non-simplement lacée induite par les objets inclinants amassés. Ce qui nous amène à notre second objectif lequel s'articule autour de deux principaux volets: le premier étant de proposer une notion adéquate de potentiel pour les carquois modulés et le second étant de généraliser les mutations de carquois avec potentiels aux carquois modulés avec potentiels. Les carquois avec potentiels ainsi que leurs mutations et leurs représentations sont introduits et étudiés par Derksen, Weyman et Zelevinsky dans [24]. Ici, nous commençons l'étude des carquois modulés avec potentiels et de leurs mutations, nous obtenons alors des versions généralisées de deux principaux résultats de [24]: notamment, au moins lorsque le corps de base est parfait, à une équivalence droite faible près nous montrons que la réduction des carquois modulés avec potentiels est toujours possible. Dans [11] Buan, Iyama, Reiten et Smith montrent que la mutation des carquois avec potentiels et la mutation des objets inclinants amassés dans une catégorie 2-Calabi-Yau sont compatibles et il existe un lien fort intéressant entre les algèbres inclinées 2-Calabi-Yau et les algèbres jacobiennes associées aux carquois avec potentiels; en particulier les algèbres inclinées amassées apparaissent comme algèbres jacobiennes des carquois avec potentiels. Ici, nous nous intéressons également à la généralisation des résultats principaux de [11]. Une conséquence qu'on peut tirer de notre étude est que, sur des corps parfaits, les algèbres inclinées amassées apparaissent aussi comme algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels. Dans le cas particulier des algèbres de représentation finie, nous obtenons une caractérisation complète et explicite des algèbres inclinées amassées de types A[indice inférieur n], B[indice inférieur n] et C[indice inférieur n], en termes d'algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels. Par ailleurs, pour un carquois avec potentiel Jacobi-fini (Q, W), Claire Amiot a construit dans sa thèse ([1], 2008) une catégorie amassée C[indice inférieur qw] généralisant la construction originelle de [12]. Nous proposons une version non-simplement lacée de la catégorie C[indice inférieur qw] en construisant pour chaque carquois modulé avec potentiel Jacobi-fini ([Special characters omitted.] ) une catégorie amassée [Special characters omitted.] . Et sous-réserve qu'un certain résultat de Bernhard Keller se généralise au contexte des carquois modulés, il suit que le résultat de Claire Amiot [1, 7.9, 7.10] admet une généralisation immediate comme suit: la catégorie amassée (non-simplement lacée) [Special characters omitted.] est aussi Hom-finie 2-Calabi-Yau et les algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels apparaissent elles-aussi comme algèbres inclinées 2-Calabi-Yau