Etude des propriétés du calcul de réécriture: du rho calcul au rhoEpsilon calcul

Stage du Magistere Informatique et Modelisation. Rapport de stage.Le \roCal\ intégre dans un cadre uniforme et simple la réécriture du premier ordre et le lambda-calcul tout en permettant d'exprimer le non-déterminisme. Nous introduisons ici un nouveau calcul dans lequel l'échec est distingué de l'ensemble vide et dans lequel le test de l'échec est possible. Si nous munissons ce calcul de l'appel par valeur, nous obtenons un calcul confluent et dans lequel le first est exprimable (et par conséquent les stratégies d'évaluation le sont aussi). Nous concluons sur un bref aperçu des perspectives et des questions restant ouvertes. || The rho-calculus integrates in a uniform and simple setting first-order rewriting, lambda-calculus and non-deterministic computations. In the calculus here introduced, the empty set is not an overloading term i.e. failure is distinguished from the empty

Réécriture de graphes de dépendances pour l'interface syntaxe-sémantique

International audienceNous définissons le β-calcul, un calcul de réécriture de graphes, que nous proposons d'utiliser pour étudier les liens entre différentes représentations linguistiques. Nous montrons comment transformer une analyse syntaxique en une représentation sémantique par la composition de deux jeux de règles de β-calcul. Le premier souligne l'importance de certaines informations syntaxiques pour le calcul de la sémantique et explicite le lien entre syntaxe et sémantique sous-spécifiée. Le second décompose la recherche de modèles pour les représentations sémantiques sous-spécifiées

PORGY : réécriture et visualisation de graphes dynamiques

International audienceCet article présente les premiers résultats sur la visualisation et la manipulation interactive d'un système de réécriture de graphes. Nous sommes amenés à nous pencher sur la visualisation de graphes dont la topologie évolue au cours du temps selon des modifications dictées par des règles de réécriture. Le système doit non seulement de montrer le graphe qui évolue au cours du temps, mais il apparaît ici comme un atelier complet permettant d'étudier le système de réécriture lui-même. Il s'agit d'amener la visualisation en appui à l'étude du système de réécriture pour permettre de comprendre son comportement et d'identifier ses propriétés comme par exemple la convergence des calculs ou les configurations bloquantes. Outre les questions relatives au dessin des graphes qui font encore l'objet de travaux, le système se penche sur les problèmes d'identification de motifs et d'historique des réécritures. Nous abordons aussi les questions plus techniques relatives à la structure interne du système

Systèmes Canoniques Abstraits : Application à la Déduction Naturelle et à la Complétion

Canonical Systems and Inference (ACSI) were introduced by N. Dershowitz and C. Kirchner to formalize the intuitive notion of good proof and good inference appearing typically in first-order logic or in Knuth-Bendix like completion procedures. Since this abstract framework, based on proof orderings, is intended to be generic, it is of fundamental interest to show its adequacy to represent the main systems of interest. It is here done for minimal propositional natural deduction, and for the standard (Knuth-Bendix) completion, closing an open question. For the first proof system, a generalisation of the ACSI is needed. We provide here a conservative one, in the sense that all results of the original framework still hold. For the second one, two proof representations, proof terms and proofs by replacement, are compared to built a proof ordering that provides an instantiation adapted to the ACSI framework

Un cadre de définition de logiques calculatoires d’ordre supérieur

The main aim of this thesis is to make formal proofs more universal by expressing them in a common logical framework. More specifically, we use the lambda-Pi-calculus modulo rewriting, a lambda calculus equipped with dependent types and term rewriting, as a language for defining logics and expressing proofs in those logics. By representing propositions as types and proofs as programs in this language, we design translations of various systems in a way that is efficient and that preserves their meaning. These translations can then be used for independent proof checking and proof interoperability. In this work, we focus on the translation of logics based on type theory that allow both computation and higher-order quantification as steps of reasoning.Pure type systems are a well-known example of such computational higher-order systems, and form the basis of many modern proof assistants. We design a translation of functional pure type systems to the lambda-Pi-calculus modulo rewriting based on previous work by Cousineau and Dowek. The translation preserves typing, and in particular it therefore also preserves computation. We show that the translation is adequate by proving that it is conservative with respect to the original systems.We also adapt the translation to support universe cumulativity, a feature that is present in modern systems such as intuitionistic type theory and the calculus of inductive constructions. We propose to use explicit coercions to handle the implicit subtyping that is present in cumulativity, bridging the gap between pure type systems and type theory with universes à la Tarski. We also show how to preserve the expressivity of the original systems by adding equations to guarantee that types have a unique term representation, thus maintaining the completeness of the translation.The results of this thesis have been applied in automated proof translation tools. We implemented programs that automatically translate the proofs of HOL, Coq, and Matita, to Dedukti, a type-checker for the lambda-Pi-calculus modulo rewriting. These proofs can then be re-checked and combined together to form new theories in Dedukti, which thus serves as an independent proof checker and a platform for proof interoperability. We tested our tools on a variety of libraries. Experimental results confirm that our translations are correct and that they are efficient compared to the state of the art.L'objectif de cette thèse est de rendre les preuves formelles plus universelles en les exprimant dans un cadre logique commun. Plus précisément nous utilisons le lambda-Pi-calcul modulo réécriture, un lambda calcul équipé de types dépendants et de réécriture, comme langage pour définir des logiques et exprimer des preuves dans ces logiques. En représentant les propositions comme des types et les preuves comme des programmes dans ce langage, nous concevons des traductions de différents systèmes qui sont efficaces et qui préservent leur sens. Ces traductions peuvent ensuite être utilisées pour la vérification indépendante de preuves et l'interopérabilité de preuves. Dans ce travail, nous nous intéressons à la traduction de logiques basées sur la théorie des types qui permettent à la fois le calcul et la quantification d'ordre supérieur comme étapes de raisonnement.Les systèmes de types purs sont un exemple notoire de tels systèmes calculatoires d'ordre supérieur, et forment la base de plusieurs assistants de preuve modernes. Nous concevons une traduction des systèmes de types purs en lambda-Pi calcul modulo réécriture basée sur les travaux de Cousineau et Dowek. La traduction préserve le typage et en particulier préserve donc aussi l'évaluation et le calcul. Nous montrons que la traduction est adéquate en prouvant qu'elle est conservative par rapport au système original.Nous adaptons également la traduction pour inclure la cumulativité d'univers, qui est une caractéristique présente dans les systèmes modernes comme la théorie des types intuitionniste et le calcul des constructions inductives. Nous proposons d'utiliser des coercitions explicites pour traiter le sous-typage implicite présent dans la cumulativité, réconciliant ainsi les systèmes de types purs et la théorie des types avec univers à la Tarski. Nous montrons comment préserver l'expressivité des systèmes d'origine en ajoutant des équations pour garantir que les types ont une représentation unique en tant que termes, conservant ainsi la complétude de la traduction.Les résultats de cette thèse ont été appliqués dans des outils de traduction automatique de preuve. Nous avons implémenté des programmes qui traduisent automatiquement les preuves de HOL, Coq, et Matita, en Dedukti, un vérificateur de types pour le lambda-Pi-calcul modulo réécriture. Ces preuves peuvent ensuite être revérifiées et combinées ensemble pour former de nouvelles théories dans Dedukti, qui joue ainsi le rôle de vérificateur de preuves indépendant et de plateforme pour l'interopérabilité de preuves. Nous avons testé ces outils sur plusieurs bibliothèques. Les résultats expérimentaux confirment que nos traductions sont correctes et qu'elles sont efficaces comparées à l'état des outils actuels

Conception d'un noyau de vérification de preuves pour le λΠ-calcul modulo

In recent years, the emergence of feature rich and mature interactive proof assistants has enabled large formalization efforts of high-profile conjectures and results previously established only by pen and paper. A medley of incompatible and philosophically diverging logics are at the core of all these proof assistants. Cousineau and Dowek (2007) have proposed the λΠ-calculus modulo as a universal target framework for other front-end proof languages and environments. We explain in this thesis how this particularly simple formalism allows for a small, modular and efficient proof checker upon which the consistency of entire systems can be made to rely upon. Proofs increasingly rely on computation both in the large, as exemplified by the proof of the four colour theorem by Gonthier (2007), and in the small following the SSReflect methodoly and supporting tools. Encoding proofs from other systems in the λΠ-calculus modulo bakes yet more computation into the proof terms. We show how to make the proof checking problem manageable by turning entire proof terms into functional programs and compiling them in one go using off-the-shelf compilers for standard programming languages. We use untyped normalization by evaluation (NbE) as an enabling technology and show how to optimize previous instances of it found in the literature. Through a single change to the interpretation of proof terms, we arrive at a representation of proof terms using higher order abstract syntax (HOAS) allowing for a proof checking algorithm devoid of any explicit typing context for all Pure Type Systems (PTS). We observe that this novel algorithm is a generalization to dependent types of a type checking algorithm found in the HOL proof assistants enabling on-the-fly checking of proofs. We thus arrive at a purely functional system with no explicit state, where all proofs are checked by construction. We formally verify in Coq the correspondence of the type system on higher order terms lying behind this algorithm with respect to the standard typing rules for PTS. This line of work can be seen as connecting two historic strands of proof assistants: LCF and its descendents, where proofs of untyped or simply typed formulae are checked by construction, versus Automath and its descendents, where proofs of dependently typed terms are checked a posteriori. The algorithms presented in this thesis are at the core of a new proof checker called Dedukti and in some cases have been transferred to the more mature platform that is Coq. In joint work with Denes, we show how to extend the untyped NbE algorithm to the syntax and reduction rules of the Calculus of Inductive Constructions (CIC). In joint work with Burel, we generalize previous work by Cousineau and Dowek (2007) on the embedding into the λΠ-calculus modulo of a large class of PTS to inductive types, pattern matching and fixpoint operators.Ces dernières années ont vu l'émergence d'assistants interactifs de preuves riches en fonctionnalités et d'une grande maturité d'implémentation, ce qui a permis l'essor des grosses formalisations de résultats papier et la résolution de conjectures célèbres. Mais autant d'assistants de preuves reposent sur presque autant de logiques comme fondements théoriques. Cousineau et Dowek (2007) proposent le λΠ-calcul modulo comme un cadre universel cible pour tous ces environnement de démonstration. Nous montrons dans cette thèse comment ce formalisme particulièrement simple admet une implémentation d'un vérificateur de taille modeste mais pour autant modulaire et efficace, à la correction de laquelle on peut réduire la cohérence de systèmes tout entiers. Un nombre croissant de preuves dépendent de calculs intensifs comme dans la preuve du théorème des quatre couleurs de Gonthier (2007). Les méthodologies telles que SSReflect et les outils attenants privilégient les preuves contenant de nombreux petits calculs plutôt que les preuves purement déductives. L'encodage de preuves provenant d'autres systèmes dans le λΠ-calcul modulo introduit d'autres calculs encore. Nous montrons comment gérer la taille de ces calculs en interprétant les preuves tout entières comme des programmes fonctionnels, que l'on peut compiler vers du code machine à l'aide de compilateurs standards et clé-en-main. Nous employons pour cela une variante non typée de la normalisation par évaluation (NbE), et montrons comment optimiser de précédentes formulation de celle-ci. Au travers d'une seule petite modification à l'interprétation des termes de preuves, nous arrivons aussi à une représentation des preuves en syntaxe abstraite d'ordre supérieur (HOAS), qui admet naturellement un algorithme de typage sans aucun contexte de typage explicite. Nous généralisons cet algorithme à tous les systèmes de types purs (PTS). Nous observons que cet algorithme est une extension à un cadre avec types dépendants de l'algorithme de typage des assistants de preuves de la famille HOL. Cette observation nous amène à développer une architecture à la LCF pour une large classe de PTS, c'est à dire une architecture où tous les termes de preuves sont corrects par construction, a priori donc, et n'ont ainsi pas besoin d'être vérifié a posteriori. Nous prouvons formellement en Coq un théorème de correspondance entre les système de types sans contexte et leur pendant standard avec contexte explicite. Ces travaux jettent un pont entre deux lignées historiques d'assistants de preuves : la lignée issue de LCF à qui nous empruntons l'architecture du noyau, et celle issue de Automath, dont nous héritons la notion de types dépendants. Les algorithmes présentés dans cette thèse sont au coeur d'un nouveau vérificateur de preuves appelé Dedukti et ont aussi été transférés vers un système plus mature : Coq. En collaboration avec Dénès, nous montrons comment étendre la NbE non typée pour gérer la syntaxe et les règles de réduction du calcul des constructions inductives (CIC). En collaboration avec Burel, nous généralisons des travaux précédents de Cousineau et Dowek (2007) sur l'encodage dans le λΠ-calcul modulo d'une large classe de PTS à des PTS avec types inductifs, motifs de filtrage et opérateurs de point fixe

Automatic Decidability for Theories Modulo Integer Offsets

Many verification problems can be reduced to a satisfiability problem modulo theories. For building satisfiability procedures the rewriting-based approach uses a general calculus for equational reasoning named superposition. Schematic superposition, in turn, provides a mean to reason on the derivations computed by superposition. Until now, schematic superposition was only studied for standard superposition. We present a schematic superposition calculus modulo a fragment of arithmetics, namely the theory of Integer Offsets. This new schematic calculus is used to prove the decidability of the satisfiability problem for some theories extending Integer Offsets. We illustrate our theoretical contribution on theories representing extensions of classical data structures, e.g., lists and records. An implementation in the rewriting-based Maude system constitutes a practical contribution. It enables automatic decidability proofs for theories of practical use

Tactiques de preuve dans Dedukti

International audienc