Réseaux de tenseurs et solutionneurs d’impureté pour la théorie du champ moyen dynamique

Cette thèse porte sur l'obtention de solutions au problème d'impureté de la théorie du champ moyen dynamique sur amas. Le problème d'impureté consiste en des sites en interaction submergées dans un bain d'électrons sans interaction. Ce bain est déterminé par la condition d'autocohérence du champ moyen dynamique. Dans le contexte du champ moyen dynamique, la solution prend la forme d'une fonction de Green, une observable dynamique. La fonction de Green est riche en information: elle encode la densité d'état à une particule, l'énergie potentielle ainsi que les valeurs moyennes de toute observable à un corps. Plusieurs classes de solutionneurs existent pour ce problème d'impureté; on se concentre sur ceux usant du formalisme hamiltonien. Dans ce formalisme, la qualité des résultats est limitée par la représentation hamiltonienne du bain. Dans le formalisme hamiltonien, le bain du champ moyen dynamique a une grande liberté de jauge: il existe de nombreuses façons de le représenter. Cette liberté crée certaines difficultés: bien que toutes les représentations soient formellement équivalentes, elles ne sont pas toutes également faciles à traiter numériquement. Il faut donc choisir judicieusement. Historiquement, on obtenait une paramétrisation pratique en imposant des contraintes heuristiques au bain. On montre qu'en utilisant les symétries du réseau on peut créer une paramétrisation complète qui se prête au traitement numérique. Avec cette paramétrisation et un solutionneur par diagonalisation exacte, on a revisité le problème de la compétition entre l'antiferromagnétisme et la supraconductivité dans le modèle de Hubbard pour les cuprates. Cette étude montre que la coexistence homogène est possible avec un dopage en électrons, mais impossible avec un dopage aux trous, contrairement aux résultats déjà publiés. La taille du bain est aussi limitée avec un solutionneur hamiltonien: il doit être discret et fini. Avec un solutionneur par diagonalisation exacte, la difficulté du problème croît exponentiellement avec le nombre d'orbitales. On est limité à moins de vingt orbitales au total avec cette méthode. En utilisant les méthodes sur réseaux de tenseurs, la difficulté numérique des problèmes hamiltoniens croît plutôt de façon polynomiale. Avec les réseaux de tenseurs, calculer la fonction de Green demeure ardu. On pallie cette difficulté en extrapolant la représentation en fractions continues de la fonction de Green. Contrairement aux méthodes par diagonalisation exacte, cette méthode donne une densité d'état qui peut être continue. On démontre le potentiel de cette méthode en l'applicant au modèle de Hubbard sur le réseau de Bethe

La résilience des réseaux complexes

Les systèmes réels subissant des perturbations par l’interaction avec leur environnement sont susceptibles d’être entraînés vers des transitions irréversibles de leur principal état d’activité. Avec la croissance de l’empreinte humaine mondiale sur les écosystèmes, la caractérisation de la résilience de ces systèmes complexes est un enjeu majeur du 21e siècle. Cette thèse s’intéresse aux systèmes complexes pour lesquels il existe un réseau d’interactions et où les composantes sont des variables dynamiques. L’étude de leur résilience exige la description de leurs états dynamiques qui peuvent avoir jusqu’à plusieurs milliers de dimensions. Cette thèse propose trois nouvelles méthodes permettant de faire des mesures de la dynamique en fonction de la structure du réseau. L’originalité de ce travail vient de la diversité des approches présentées pour traiter la résilience, en débutant avec des outils basés sur des modèles dynamiques définis et en terminant avec d’autres n’exploitant que des données récoltées. D’abord, une solution exacte à une dynamique de cascade (modèle de feu de forêt) est développée et accompagnée d’un algorithme optimisé. Comme sa portée pratique s’arrête aux petits réseaux, cette méthode signale les limitations d’une approche avec un grand nombre de dimensions. Ensuite, une méthode de réduction dimensionnelle est introduite pour établir les bifurcations dynamiques d’un système. Cette contribution renforce les fondements théoriques et élargit le domaine d’applications de méthodes existantes. Enfin, le problème de retracer l’origine structurelle d’une perturbation est traité au moyen de l’apprentissage automatique. La validité de l’outil est supportée par une analyse numérique sur des dynamiques de propagation, de populations d’espèces et de neurones. Les principaux résultats indiquent que de fines anomalies observées dans la dynamique d’un système peuvent être détectées et suffisent pour retracer la cause de la perturbation. L’analyse témoigne également du rôle que l’apprentissage automatique pourrait jouer dans l’étude de la résilience de systèmes réels.Real complex systems are often driven by external perturbations toward irreversible transitions of their dynamical state. With the rise of the human footprint on ecosystems, these perturbations will likely become more persistent so that characterizing resilience of complex systems has become a major issue of the 21st century. This thesis focuses on complex systems that exhibit networked interactions where the components present dynamical states. Studying the resilience of these networks demands depicting their dynamical portraits which may feature thousands of dimensions. In this thesis, three contrasting methods are introduced for studying the dynamical properties as a function of the network structure. Apart from the methods themselves, the originality of the thesis lies in the wide vision of resilience analysis, opening with model-based approaches and concluding with data-driven tools. We begin by developing an exact solution to binary cascades on networks (forest fire type) and follow with an optimized algorithm. Because its practical range is restricted to small networks, this method highlights the limitations of using model-based and highly dimensional tools. Wethen introduce a dimension reduction method to predict dynamical bifurcations of networked systems. This contribution builds up on theoretical foundations and expands possible applications of existing frameworks. Finally, we examine the task of extracting the structural causesof perturbations using machine learning. The validity of the developed tool is supported by an extended numerical analysis of spreading, population, and neural dynamics. The results indicate that subtle dynamical anomalies may suffice to infer the causes of perturbations. It also shows the leading role that machine learning may have to play in the future of resilience of real complex systems

Efficient simulation tools for real-time monitoring and control using model order reduction and data-driven techniques

Numerical simulation, the use of computers to run a program which implements a mathematical model for a physical system, is an important part of today technological world. It is required in many scientific and engineering fields to study the behaviour of systems whose mathematical models are too complex to provide analytical solutions and it makes virtual evaluation of systems responses possible (virtual twins). This drastically reduces the number of experimental tests for accurate designs of the real system that the numerical model represents. However these virtual twins, based on classical methods which make use of a rich representations of the system (ex. finite element method), rarely allows real-time feedback, even when considering high performance computing, operating on powerful platforms. In these circumstances, the real-time performance required in some applications are compromised. Indeed the virtual twins are static, that is, they are used in the design of complex systems and their components, but they are not expected to accommodate or assimilate data so as to define dynamic data-driven application systems. Moreover significant deviations between the observed response and the one predicted by the model are usually noticed due to inaccuracy in the employed models, in the determination of the model parameters or in their time evolution. In this thesis we propose different methods to solve these handicaps in order to perform real-time monitoring and control. In the first part Model Order Reduction (MOR) techniques are used to accommodate real-time constraints; they compute a good approximation of the solution by simplifying the solution procedure instead of the model. The accuracy of the predicted solution is not compromised and efficient simulations can be performed (digital twins). In the second part Data-Driven modelling are employed to fill the gap between the parametric solution computed by using non-intrusive MOR techniques and the measured fields, in order to make dynamic data-driven application systems, DDDAS, possible (Hybrid Twins).La simulación numérica, el uso de ordenadores para ejecutar un programa que implementa un modelo matemático de un sistema físico, es una parte importante del mundo tecnológico actual. En muchos campos de la ciencia y la ingeniería es necesario estudiar el comportamiento de sistemas cuyos modelos matemáticos son demasiado complejos para proporcionar soluciones analíticas, haciendo posible la evaluación virtual de las respuestas de los sistemas (gemelos virtuales). Esto reduce drásticamente el número de pruebas experimentales para los diseños precisos del sistema real que el modelo numérico representa. Sin embargo, estos gemelos virtuales, basados en métodos clásicos que hacen uso de una rica representación del sistema (por ejemplo, el método de elementos finitos), rara vez permiten la retroalimentación en tiempo real, incluso cuando se considera la computación en plataformas de alto rendimiento. En estas circunstancias, el rendimiento en tiempo real requerido en algunas aplicaciones se ve comprometido. En efecto, los gemelos virtuales son estáticos, es decir, se utilizan en el diseño de sistemas complejos y sus componentes, pero no se espera que acomoden o asimilen los datos para definir sistemas de aplicación dinámicos basados en datos. Además, se suelen apreciar desviaciones significativas entre la respuesta observada y la predicha por el modelo, debido a inexactitudes en los modelos empleados, en la determinación de los parámetros del modelo o en su evolución temporal. En esta tesis se proponen diferentes métodos para resolver estas limitaciones con el fin de realizar un seguimiento y un control en tiempo real. En la primera parte se utilizan técnicas de Reducción de Modelos para satisfacer las restricciones en tiempo real; estas técnicas calculan una buena aproximación de la solución simplificando el procedimiento de resolución en lugar del modelo. La precisión de la solución no se ve comprometida y se pueden realizar simulaciones efficientes (gemelos digitales). En la segunda parte se emplea la modelización basada en datos para llenar el vacío entre la solución paramétrica, calculada utilizando técnicas de reducción de modelos no intrusivas, y los campos medidos, con el fin de hacer posibles los sistemas de aplicación dinámicos basados en datos (gemelos híbridos).La simulation numérique, c'est-à-dire l'utilisation des ordinateurs pour exécuter un programme qui met en oeuvre un modèle mathématique d'un système physique, est une partie importante du monde technologique actuel. Elle est nécessaire dans de nombreux domaines scientifiques et techniques pour étudier le comportement de systèmes dont les modèles mathématiques sont trop complexes pour fournir des solutions analytiques et elle rend possible l'évaluation virtuelle des réponses des systèmes (jumeaux virtuels). Cela réduit considérablement le nombre de tests expérimentaux nécessaires à la conception précise du système réel que le modèle numérique représente. Cependant, ces jumeaux virtuels, basés sur des méthodes classiques qui utilisent une représentation fine du système (ex. méthode des éléments finis), permettent rarement une rétroaction en temps réel, même dans un contexte de calcul haute performance, fonctionnant sur des plates-formes puissantes. Dans ces circonstances, les performances en temps réel requises dans certaines applications sont compromises. En effet, les jumeaux virtuels sont statiques, c'est-à-dire qu'ils sont utilisés dans la conception de systèmes complexes et de leurs composants, mais on ne s'attend pas à ce qu'ils prennent en compte ou assimilent des données afin de définir des systèmes d'application dynamiques pilotés par les données. De plus, des écarts significatifs entre la réponse observée et celle prévue par le modèle sont généralement constatés en raison de l'imprécision des modèles employés, de la détermination des paramètres du modèle ou de leur évolution dans le temps. Dans cette thèse, nous proposons di érentes méthodes pour résoudre ces handicaps afin d'effectuer une surveillance et un contrôle en temps réel. Dans la première partie, les techniques de Réduction de Modèles sont utilisées pour tenir compte des contraintes en temps réel ; elles calculent une bonne approximation de la solution en simplifiant la procédure de résolution plutôt que le modèle. La précision de la solution n'est pas compromise et des simulations e caces peuvent être réalisées (jumeaux numériquex). Dans la deuxième partie, la modélisation pilotée par les données est utilisée pour combler l'écart entre la solution paramétrique calculée, en utilisant des techniques de réduction de modèles non intrusives, et les champs mesurés, afin de rendre possibles des systèmes d'application dynamiques basés sur les données (jumeaux hybrides)

Etude de modèles dynamiques pour la transition vitreuse

Cette thèse présente l'étude de la dynamique de modèles, dans le cadre de la transition vitreuse dont une compréhension complète échappe encore à la physique moderne. Nous avons donc, à l'aide de modèles jouets, étudié certaines de ses propriétés caractéristiques. Par exemple, lorsque l'on s'approche de la transition, la dynamique de relaxation du système va dramatiquement ralentir. Pour étudier ces systémes intrinséquement hors-quilibre, le principal éparadigme utilisé dans cette thèse, est celui des milieux désordonnés. Sous certaines conditions, il va exister une analogie entre le modèle désordonné et le systéme réel, qui possède une vraie transition vitreuse structurelle. Si les interactions sont à courte portée, la dynamique de relaxation peut être reliée la constante de diffusion du milieu. Si celle-ci s'annule, on passe alors d'un régime de diffusion dit normal, à un régime dit anormal. Cette transition dynamique est alors analogue à la transition vitreuse. Dans cette optique, nous nous sommes int´eress´es à la diffusion de dipôles dans un champ électrique. Le désordre se présente alors sous la forme d'un potentiel électrique aléatoire et le choix le plus naturel est de prendre une statistique Gaussienne. Dans une limite adiabatique, ou les dipôles s'adaptent instantanément aux variations locales du champ, ce modèle se réduit à une particule diffusant dans un potentiel effectif aléatoire Gaussien, au carré. Nous montrons alors, exactement en une dimension, et par un calcul de groupe de renormalisation en dimension supérieure, que la constante de diffusion du système va s'annuler pour une température critique non nulle, en dessous de laquelle, le systéme devient sous-diffusif. La dynamique se gèle alors, à la manière d'une transition vitreuse. Nous montrons enfin que, au-delà de l'approximation adiabatique, la transition survit à la même température critique en dimension une.This thesis details the study of dynamical models in the framework of the glass transition. A full understanding of this phenomenon is still eluding modern physics. By means of toy model's, we thus study some properties which are typical of this transition. For example, when you come close to the transition, the relaxation dynamic of the system slows down dramatically. In order to study those systems, truly out of equilibrium, the main paradigm we use in this thesis is the disordered systems. Indeed, under some circumstances, an analogie exists between a model with disorder, and a real system which exhibit a true structural glass transition. If the interaction is short ranged, the relaxation time can be linked to the diffusion constant of the medium. If it vanishes, we have then a crossover between a diffusive and a sub-diffusive regime. This dynamical transition is then similar to the glass transition. In this spirit, we focused on the study of dipoles diffusing in a random electrical field. In this model, the disorder is given by the random electrical potential which gives birth to the field, and the most natural choice is then to take a Gaussian statistic for the potential. In an adiabatique limit, where the dipole adapt instantaneously to the local field, the model just reduces to a particle diffusing in a squared Gaussian effective potential. we show here, exactly in one dimension, and through a renormalization group analysis in higher dimension, that the diffusion constant vanishes for a critical non-zero temperature where the dynamic get frozen like in real glass. We show also that beyond this adiabatique approximation, the transition remain at the same critical temperature in one dimension

Advanced physics-based and data-driven strategies

Simulation Based Engineering Science (SBES) has brought major improvements in optimization, control and inverse analysis, all leading to a deeper understanding in many processes occuring in the real world. These noticeable breakthroughts are present in a vast variety of sectors such as aeronautic or automotive industries, mobile telecommunications or healthcare among many other fields. Nevertheless, SBES is currently confronting several difficulties to provide accurate results in complex industrial problems. Apart from the high computational costs associated with industrial applications, the errors introduced by constitutive modeling become more and more important when dealing with new materials. Concurrently, an unceasingly growing interest in concepts such as Big-Data, Machine Learning or Data-Analytics has been experienced. Indeed, this interest is intrinsically motivated by an exhaustive development in both data-acquisition and data-storage systems. For instance, an aircraft may produce over 500 GB of data during a single flight. This panorama brings a perfect opportunity to the so-called Dynamic Data Driven Application Systems (DDDAS), whose main objective is to merge classical simulation algorithms with data coming from experimental measures in a dynamic way. Within this scenario, data and simulations would no longer be uncoupled but rather a symbiosis that is to be exploited would achieve milestones which were inconceivable until these days. Indeed, data will no longer be understood as a static calibration of a given constitutive model but rather the model will be corrected dynamicly as soon as experimental data and simulations tend to diverge. Several numerical algorithms will be presented throughout this manuscript whose main objective is to strengthen the link between data and computational mechanics. The first part of the thesis is mainly focused on parameter identification, data-driven and data completion techniques. The second part is focused on Model Order Reduction (MOR) techniques, since they constitute a fundamental ally to achieve real time constraints arising from DDDAS framework.La Ciencia de la Ingeniería Basada en la Simulación (SBES) ha aportado importantes mejoras en la optimización, el control y el análisis inverso, todo lo cual ha llevado a una comprensión más profunda de muchos de los procesos que ocurren en el mundo real. Estos notables avances están presentes en una gran variedad de sectores como la industria aeronáutica o automotriz, las telecomunicaciones móviles o la salud, entre muchos otros campos. Sin embargo, SBES se enfrenta actualmente a varias dificultades para proporcionar resultados precisos en problemas industriales complejos. Aparte de los altos costes computacionales asociados a las aplicaciones industriales, los errores introducidos por el modelado constitutivo son cada vez más importantes a la hora de tratar con nuevos materiales. Al mismo tiempo, se ha experimentado un interés cada vez mayor en conceptos como Big-Data, Machine Learning o Data-Analytics. Ciertamente, este interés está intrínsecamente motivado por un desarrollo exhaustivo de los sistemas de adquisición y almacenamiento de datos. Por ejemplo, una aeronave puede producir más de 500 GB de datos durante un solo vuelo. Este panorama brinda una oportunidad perfecta a los denominados Sistemas de Aplicación Dinámicos Impulsados por Datos (DDDAS), cuyo objetivo principal es fusionar de forma dinámica los algoritmos clásicos de simulación con los datos procedentes de medidas experimentales. En este escenario, los datos y las simulaciones ya no se desacoplarían, sino que aprovechando una simbiosis se alcanzaría hitos que hasta ahora eran inconcebibles. Mas en detalle, los datos ya no se entenderán como una calibración estática de un modelo constitutivo dado, sino que el modelo se corregirá dinámicamente tan pronto como los datos experimentales y las simulaciones tiendan a diverger. A lo largo de este manuscrito se presentarán varios algoritmos numéricos cuyo objetivo principal es fortalecer el vínculo entre los datos y la mecánica computacional. La primera parte de la tesis se centra principalmente en técnicas de identificación de parámetros, basadas en datos y de compleción de datos. La segunda parte se centra en las técnicas de Reducción de Modelo (MOR), ya que constituyen un aliado fundamental para conseguir las restricciones de tiempo real derivadas del marco DDDAS.Les sciences de l'ingénieur basées sur la simulation (Simulation Based Engineering Science, SBES) ont apporté des améliorations majeures dans l'optimisation, le contrôle et l'analyse inverse, menant toutes à une meilleure compréhension de nombreux processus se produisant dans le monde réel. Ces percées notables sont présentes dans une grande variété de secteurs tels que l'aéronautique ou l'automobile, les télécommunications mobiles ou la santé, entre autres. Néanmoins, les SBES sont actuellement confrontées à plusieurs dificultés pour fournir des résultats précis dans des problèmes industriels complexes. Outre les coûts de calcul élevés associés aux applications industrielles, les erreurs introduites par la modélisation constitutive deviennent de plus en plus importantes lorsqu'il s'agit de nouveaux matériaux. Parallèlement, un intérêt sans cesse croissant pour des concepts tels que les données massives (big data), l'apprentissage machine ou l'analyse de données a été constaté. En effet, cet intérêt est intrinsèquement motivé par un développement exhaustif des systèmes d'acquisition et de stockage de données. Par exemple, un avion peut produire plus de 500 Go de données au cours d'un seul vol. Ce panorama apporte une opportunité parfaite aux systèmes d'application dynamiques pilotés par les données (Dynamic Data Driven Application Systems, DDDAS), dont l'objectif principal est de fusionner de manière dynamique des algorithmes de simulation classiques avec des données provenant de mesures expérimentales. Dans ce scénario, les données et les simulations ne seraient plus découplées, mais une symbiose à exploiter permettrait d'envisager des situations jusqu'alors inconcevables. En effet, les données ne seront plus comprises comme un étalonnage statique d'un modèle constitutif donné mais plutôt comme une correction dynamique du modèle dès que les données expérimentales et les simulations auront tendance à diverger. Plusieurs algorithmes numériques seront présentés tout au long de ce manuscrit dont l'objectif principal est de renforcer le lien entre les données et la mécanique computationnelle. La première partie de la thèse est principalement axée sur l'identification des paramètres, les techniques d'analyse des données et les techniques de complétion de données. La deuxième partie est axée sur les techniques de réduction de modèle (MOR), car elles constituent un allié fondamental pour satisfaire les contraintes temps réel découlant du cadre DDDAS

Vers une compréhension du principe de maximisation de production d'entropie

In this thesis we try to understand why the maximum entropy production principlegives really good results in a wide range of Physics fields and notably in climatology. Thus we study this principle on classical toy models which mimic the behaviour of climat models. In particular we worked on the Asymmetric Simple Exclusion Process(ASEP) and on the Zero Range Process (ZRP). This enabled us first to connect MEP to an other principle which is the maximum Kolmogorov-Sinaï entropy principle (MKS). Moreover the application of MEP on these systems gives results that are physically coherent. We then wanted to extend this link between MEP and MKS in more complicated systems, before showing that, for Markov Chains, maximise the KS entropy is the same as minimise the time the system takes to reach its stationnary state (mixing time). Thus, we applied MEP to the atmospheric convection.Dans cette thèse nous essayons de comprendre pourquoi le Principe de Maximisation de Production d'Entropie (MEP) donne de très bons résultats dans de nombreux domaines de la physique hors équilibre et notamment en climatologie. Pour ce faire nous étudions ce principe sur des systèmes jouets de la physique statistique qui reproduisent les comportements des modèles climatiques. Nous avons notamment travaillé sur l'Asymmetric Simple Exclusion Process (ASEP) et le Zero Range Process (ZRP). Ceci nous a permis tout d'abord de relier MEP à un autre principe qui est le principe de maximisation d'entropie de Kolmogorov-Sinai (MKS). De plus, l'application de MEP à ces systèmes jouets donne des résultats physiquement cohérents. Nous avons ensuite voulu étendre le lien entre MEP et MKS dans des systèmes plus compliqués avant de montrer que, pour les chaines de Markov, maximiser l'entropie de KS revenait à minimiser le temps que le système prend pour atteindre son état stationnaire (mixing time). En fin nous avons appliqué MEP à la convection atmosphérique

Réduction de modèles de procédés biotechnologiques :Applications à l'ADM1

This thesis deals with the reduction of a mathematical model of bioprocesses in order to obtain a samplereduced dimension from which it is possible to synthesize regulators and observers that guaranteeperformance, stability and robustness. The model in question is an anaerobic digestion model (The ADM1) verycomplete and based on a phenomenological model to simulate anaerobic reactors. In a firstPart I, we give an overview on modeling of anaerobic digestion and describe moreparticularly ADM1. We offer subsequently, different methods of reduction. The first methodnamed "Homotopy" was chosen because it was considered a systematic method to quantifer interactionsbetween the state variables and their dynamics. This method with certain limitations, we propose,in the second part, a method based on the balanced achievement of which the key idea is to neglect the statesless controllable and observable. Although this method provides satisfactory results, the reduced modelobtained is a linear model, which leads us, in the final part, to propose a reduction method basedvariables on the association that allows us not only to obtain a nonlinear reduced model but which,Moreover, we can offer an interface between the variables and those ADM1 the model.Cette thèse traite de la réduction d'un modèle mathématique de bioprocédés dans le but d'obtenir un modèle dedimension réduite à partir duquel il est possible de synthétiser des régulateurs ou observateurs qui puissent garantirperformance, stabilité et robustesse. Le modèle en question est un modèle de digestion anaérobie (L'ADM1) trèscomplet et basé sur un modèle phénoménologique permettant de simuler les réacteurs anaérobies. Dans une première partie, nous donnons un aperçu général sur la modélisation de la digestion anaérobie et nous décrivons plusparticulièrement l'ADM1. Nous proposons, par la suite, différentes méthodes de réduction. La première méthodenommée "Homotopie" a été choisie car considérée comme une méthode systématique pour quantifer les interactionsentre les variables d'état et leurs dynamiques. Cette méthode présentant certaines limites, nous proposons,en seconde partie, une méthode basée sur les réalisations équilibrées dont l'idée clé est de négliger les états lesmoins commandables et observables. Bien que cette méthode procure des résultats satisfaisants, le modèle réduitobtenu est un modèle linéaire, ce qui nous amène, en dernière partie, à proposer une méthode de réduction baséesur l'association de variables qui nous permet non seulement d'obtenir un modèle réduit non linéaire mais qui, enplus, nous permet de proposer une interface entre les variables de l'ADM1 et celles du modèle réduit

Parameterization using Generative Adversarial Networks for Control Space Reduction in Data Assimilation.

This thesis examines the use of generative adversarial networks (GANs) as a parameterization tool for inverse problems solved with ensemble-based data assimilation methods. Ensemble methods often rely on the assumption of Gaussian distributed parameters in cases where this assumption is not valid, the parameter estimation can be invalid. Parameterization methods allow the transformation of these non-Gaussian parameters into a better suited distribution, and optimally reduce their dimension. Another limitation of ensemble methods is the injection of prior information of the physical relation as a constraint between parameters such as spatial coherence or physical balances. Optimal parameterization should encompass these different properties to facilitate the estimation. The novel approach presented in this work relies on GANs to achieve these objectives. Two application domains are tackled through the present work. In a first application, subsurface reservoir characterization, the objective is to determine geological properties of a numerical reservoir model from the observation of the reservoir dynamical response by the way of data assimilation. Rock facies, that describe the type of rock present in each cell of the numerical model, have to be determined due to their strong influence on the dynamical response. The rock facies spatial distribution is ruled by geological phenomena such as sedimentation and forms well known patterns, like channels, called heterogeneities. The noncontinuous property and their spatial coherence make their characterization by ensemble-based data assimilation algorithms difficult, and requires parameterization. Parameterization is a challenge for numerous heterogeneities, notably channels, due to the numerical cost or the statistical representation of their spatial distribution. A Second application domain is the atmospheric balance in the context of numerical weather prediction. When new observations are available, correction of the atmospheric state is done using ensemblebased data assimilation methods. This correction step can introduce imbalance in the physical state and cause numerical instability during the integration in time of the atmosphere, deteriorating the information brought by the previous observations. The importance of generating or correcting balanced climate, also called initialized atmospheric state, during data assimilation is then a key step in numerical weather prediction. This work aims at presenting the performance of GAN parameterization and its multi-disciplinary applicability to researchers who are not familiar with the domain of deep learning. GAN is an unsupervised deep learning method belonging to the deep generative network family, able to learn a dataset distribution and generate new samples from the learned distribution in an unsupervised way. These synthetic samples are encoded in a low-dimensional latent space that can be sampled from a Gaussian distribution that is suited to perform ensemble data assimilation. Their recent ability to generate complex images led us to consider them as a good candidate for parameterization method. The unsupervised property of this type of parameterization makes it applicable to several diverse domains such as learning the pattern of geological heterogeneities or learning the physical constraints that makes an atmospheric state balanced. This study shows how to train GANs for two different applications : subsurface reservoir and climate data. The use of the parameterization in an ensemble based data assimilation such as ensemble smoother with multiple data assimilation (ES-MDA) is demonstrated for subsurface reservoir. Finally, a posteriori conditioning of the GAN function is examined using derivative free optimization