Investigation of Laplace-Stieltjes transform for the ergodic distribution of the semi-markov random process with positive tendency, negative jumps and delaying boundary at zero.

One of the important problems of stochastic processes theory is to define the Laplace-Stieltjes transform for the ergodic distribution of semi-markov random process. With this purpose, we will investigate the semi-markov random processes with positive tendency, negative jumps and delaying boundary at zero in this article. The Laplace transform on time, Laplace-Stieltjes transform on phase of the conditional and unconditional  distributions and Laplace-Stieltjes transform  of the ergodic distribution are defined. The characteristics of the ergodic distribution will be calculated on the basis of the final results.&nbsp

Quantum Environments: Spin Baths, Oscillator Baths, and applications to Quantum Magnetism

The low-energy physics of systems coupled to their surroundings is understood by truncating to effective Hamiltonians; these tend to reduce to a few canonical forms, involving coupling to "baths" of oscillators or spins. The method for doing this is demonstrated using examples from magnetism, superconductivity, and measurement theory, as is the way one then solves for the low-energy dynamics. Finally, detailed application is given to the exciting recent Quantum relaxation and tunneling work in naomagnets.Comment: Chapter in "Tunneling in Complex Systems" (World Sci., edited T. Tomsovic); 97 pages. Published in June 199

New approaches in statistical modeling

Diese kumulative Dissertation befasst sich mit der statistischen Modellierung von räumlichen Netzwerkdaten, sowie von Daten zur Pandemie des SARS-CoV-2-Virus. Statistische Modellierung kann im übertragenden Sinne als ein großer "Werkzeugkasten'' verstanden werden, mit dem man Phänomene der realen Welt durch eine geeignete mathematische Formalisierung approximiert. Die in dieser Arbeit verwendeten Modelle beruhen in erster Linie auf Regression, wobei die Schwerpunkte auf der Glättung mit penalisierten Splines unter Einbeziehung von zufälligen Effekten liegen. Im Allgemeinen bestehen die Vorteile von Regressions- und statistischen Modellen darin, dass sie interpretierbare Modellergebnisse liefern und Vorhersagen über unbeobachtete Zustände erlauben. Gleichzeitig ist eine Beurteilung der zugrunde liegenden Unsicherheit der Schätzungen möglich. Diese drei Schlüsselaspekte des statistischen Modellierens spielen eine entscheidende Rolle in den fünf Beiträgen dieser kumulativen Dissertation. Die ersten drei Artikel befassen sich mit statistischen Modellen und ihrer Anwendung auf Daten, die auf Netzwerken beobachtet werden. Netzwerke sind Strukturen, die aus durch Kanten verbundene Knoten bestehen. Während Netzwerke in natürlicher Weise abstrakte Beziehungen wie soziale Netzwerke oder ein Netzwerk von Geschäftspartnern darstellen können, liegt der Schwerpunkt in dieser Arbeit auf Netzwerken mit einer räumlichen Interpretation. Im ersten Artikel wird ein neues Modell entwickelt, welches erlaubt, statistische Rückschlüsse auf unbeobachtete Fahrten in Bike-Sharing-Netzwerken zu ziehen. Dabei stellen die Fahrradstationen die Eckpunkte des Netzwerks dar, und die Wege zwischen den Fahrradstationen entsprechen den Kanten. Der darauf folgende Artikel behandelt räumliche Netzwerke und die Schätzung der Intensität von stochastischen Prozessen, deren Realisierungen in räumlichen Netzwerken beobachtet werden. Die Methodik erlaubt auch die Einbeziehung von Kovariablen bei der Schätzung der Intensität. Diese Art der Modellierung ist neu und mit den aktuellen, auf Kerndichteschätzung basierenden Methoden, nicht möglich. Um die Methode frei zugänglich zu machen, wurde ein \textbf{R}-Paket implementiert. Der letzte Beitrag im Bereich der Netzwerke befasst sich mit der Vorhersage der Belegung von Parkplätzen, die entlang eines Straßennetzes verteilt sind. In diesem Zusammenhang wird die Netzwerkstruktur genutzt, um räumliche Abhängigkeiten zu modellieren. Darüber hinaus basieren die Vorhersagen auf einem Semi-Markov-Modell, um die nicht-exponentielle Dauer der einzelnen Zustände zu berücksichtigen. Die Übergangsintensitäten werden mit Hilfe von Überlebenszeitmodellen geschätzt. Der zweite Teil dieser Dissertation befasst sich mit der Pandemie des SARS-CoV-2-Virus, das die Krankheit COVID-19 verursacht. Das deutsche Robert-Koch-Institut (RKI) stellt täglich Daten zu COVID-19-Infektionen und Todesfällen im Zusammenhang mit COVID-19 zur Verfügung, mit zusätzlichen Angaben zu Region, Geschlecht und Alter der Infizierten. Aus verschiedenen Gründen geben die Rohdaten keinen ausreichenden Aufschluss über den Schweregrad der Pandemie, weswegen statistische Modelle auf die Daten angewandt werden. Ein Beitrag befasst sich mit der Vorhersage tödlicher Infektionen auf regionaler Ebene unter Berücksichtigung der lokalen Bevölkerungsstruktur. Damit ist das Modell in der Lage, auch eine regionalspezifische Beurteilung der Schwere der Pandemie vorzunehmen. In einem zweiten Beitrag werden die tödlich endenden Infektionen mit der Anzahl der registrierten Infektionen zueinander in Beziehung gesetzt, um die Veränderung der Fallentdeckungsrate im Laufe der Zeit zu quantifizieren. Darüber hinaus ermöglicht die Methode, den Verlauf der tatsächlichen Zahl der Infektionen zu schätzen, während die gemeldeten Infektionszahlen durch verschiedene Teststrategien beeinflusst sind.This cumulative dissertation is concerned with statistical modeling of data observed on geometric networks and data related to the pandemic of the SARS-CoV-2 virus. Statistical modeling in its broadest sense encompasses a large "toolbox'' to approximate real-world phenomena in a mathematically formalized manner. Models used in this work are primarily regression-based, with an emphasis on penalized spline smoothing and the inclusion of random effects to control for latent heterogeneities. In general, the benefits of regression and statistical models include creating interpretable model results and making predictions about unobserved states while adequately communicating the underlying uncertainty. These three key aspects of statistical modeling play a crucial role in the five contributions of this cumulative dissertation. The first three articles cover statistical models and their application to data observed on networks, i.e. structures consisting of vertices connected by a set of edges. While networks serve as a natural device to represent abstract relationships such as social networks or a network of commercial partners, the focus here is on spatial networks. The first article develops a new model to draw statistical inference about unobserved trips in bike-sharing networks. Here, bike stations represent the network's vertices, and the paths between the bike stations correspond to the edges. The consecutive article treats spatial networks, focusing on estimating stochastic processes' intensity functions with realizations observed on spatial networks. The methodology also allows fitting the intensity with covariates, which is novel and not feasible with the current state-of-the-art methods based on kernel smoothing. To make the methodology freely available, an \textbf{R} package has been implemented. The last contribution in the field of networks covers the prediction of on-street parking occupancy, where parking lots are distributed along a street network. In this context, the network structure is utilized to model spatial dependencies. Moreover, predictions are based on a semi-Markov model to account for non-exponential duration times in each state and the transition intensities are estimated employing time to event models. The second part of this dissertation deals with the pandemic of the SARS-CoV-2 virus, which causes the disease COVID-19. The German Robert Koch Institute (RKI) daily provides data concerning COVID-19 infections and deaths related to COVID-19 with information on the infected's region, gender, and age. For several reasons, the raw data do not indicate the seriousness of the pandemic sufficiently well, which is why statistical models are used to get a clearer picture of the pandemic. One contribution is concerned with nowcasting fatal infections on a regional level while accounting for the local population structure. Thus, the model is capable of evaluating the region-specific seriousness of the pandemic. A second paper relates infections ending fatally to registered infections aiming at quantifying the change of the case detection ratio over time. Furthermore, the method allows assessing the relative course of the actual number of infections while testing strategies influence the reported numbers

Extremes of log-correlated random fields and the Riemann zeta function, and some asymptotic results for various estimators in statistics

Dans cette thèse, nous étudions les valeurs extrêmes de certains champs aléatoires log-corrélés qui sont gaussiens (le champ libre gaussien inhomogène et la marche aléatoire branchante inhomogène) ou approximativement gaussiens (le log-module de la fonction zêta de Riemann sur la ligne critique et un modèle-jouet randomisé de celui-ci), ainsi que les propriétés asymptotiques de divers estimateurs en statistique. Outre l'introduction et la conclusion, la thèse est divisée en trois parties, chacune contenant trois articles. La première partie contient trois articles sur les champs gaussiens log-corrélés. Le premier article montre le premier ordre de convergence du maximum et du nombre de hauts points pour le champ libre gaussien inhomogène sur tout son domaine. Le deuxième article utilise les résultats du premier article pour montrer que la loi limite de la mesure de Gibbs est une cascade de Ruelle avec un certain nombre d'échelles effectives (un arbre de processus de Poisson-Dirichlet). Le troisième article montre la tension du maximum recentré pour la marche aléatoire branchante inhomogène. La deuxième partie contient trois articles sur la fonction zêta de Riemann. Le premier article montre que, à basse température, la loi limite de la mesure de Gibbs d'un modèle-jouet randomisé du log-module de zêta sur la ligne critique est un processus de Poisson-Dirichlet. Le deuxième article concerne le problème ouvert de la tension du maximum recentré pour ce modèle-jouet sur un intervalle de longueur $O(1)$. Nous simplifions le problème en montrant que le maximum continue se situe à une constante près d'un maximum discret sur $O(\log T \sqrt{\log \log T})$ points. Le troisième article montre le premier ordre de convergence du maximum et de l'énergie libre pour le log-module de la fonction zêta de Riemann sur des intervalles courts de longueur $O(\log^{\theta} T)$, $\theta > -1$, de la ligne critique. La troisième partie contient trois articles traitant de sujets divers en statistique asymptotique. Le premier article montre la monotonicité complète des probabilités multinomiales et ouvre la porte sur l'étude des propriétés asymptotiques des estimateurs de Bernstein sur le simplexe. Le deuxième article prouve une loi uniforme des grands nombres pour les sommes contenant des termes qui « explosent ». Le troisième article trouve la loi limite d'une statistique de score modifiée lorsqu'on teste un membre donné de la famille des lois exponentielles de puissances contre la famille des lois de puissances asymétriques. La thèse contient neuf articles dont sept sont déjà publiés dans des journaux évalués par les pairs. Toute l'information se trouve sur mon site web personnel : https://sites.google.com/site/fouimet26/research.In this thesis, we study the extreme values of certain log-correlated random fields that are Gaussian (the scale-inhomogeneous Gaussian free field and the time-inhomogeneous branching random walk) or approximatively Gaussian (the log-modulus of the Riemann zeta function on the critical line and a randomized toy model of it), as well as asymptotic properties of various estimators in statistics. Apart from the introduction and conclusion, the thesis is divided in three parts, each containing three articles. The first part contains three articles on log-correlated Gaussian fields. The first article shows the first order convergence of the maximum and the number of high points for the scale-inhomogeneous Gaussian free field on its full domain. The second article uses the results from the first article to show that the limiting law of the Gibbs measure is a Ruelle probability cascade with a certain number of effective scales (a tree of Poisson-Dirichlet processes). The third article shows the tightness of the recentered maximum for the time-inhomogeneous branching random walk. The second part contains three articles on the Riemann zeta function. The first article shows that, at low temperature, the limiting law of the Gibbs measure for a randomized toy model of the log-modulus of zeta on the critical line is a Poisson-Dirichlet process. The second article deals with the open problem of the tightness of the recentered maximum for this toy model on an interval of length $O(1)$. We simplify the problem by showing that the continuous maximum is at the order of constant away from a discrete maximum over $O(\log T \sqrt{\log \log T})$ points. The third article shows the first order of convergence of the maximum and the free energy for the log-modulus of the Riemann zeta function on short intervals of length $O(\log^{\theta} T)$, $\theta > -1$, on the critical line. The third part contains three articles treating various topics in asymptotic statistics. The first article shows the complete monotonicity of multinomial probabilities and opens the door to the study of the asymptotic properties of Bernstein estimators on the simplex. The second article shows a uniform law of large numbers for sums containing terms that ``blow up''. The third article finds the limiting law of a modified score statistic when we test a given member of the exponential power distribution family against the family of asymmetric power distributions. The thesis contains nine articles of which seven are already published in peer-reviewed journals. All the information is gathered on my personal website : https://sites.google.com/site/fouimet26/research