Boolean Satisfiability in Electronic Design Automation

Boolean Satisfiability (SAT) is often used as the underlying model for a significant and increasing number of applications in Electronic Design Automation (EDA) as well as in many other fields of Computer Science and Engineering. In recent years, new and efficient algorithms for SAT have been developed, allowing much larger problem instances to be solved. SAT “packages” are currently expected to have an impact on EDA applications similar to that of BDD packages since their introduction more than a decade ago. This tutorial paper is aimed at introducing the EDA professional to the Boolean satisfiability problem. Specifically, we highlight the use of SAT models to formulate a number of EDA problems in such diverse areas as test pattern generation, circuit delay computation, logic optimization, combinational equivalence checking, bounded model checking and functional test vector generation, among others. In addition, we provide an overview of the algorithmic techniques commonly used for solving SAT, including those that have seen widespread use in specific EDA applications. We categorize these algorithmic techniques, indicating which have been shown to be best suited for which tasks

Conflict-driven satisfiability for theory combination: lemmas, modules, and proofs

Search-based satisfiability procedures try to build a model of the input formula by simultaneously proposing candidate models and deriving new formulae implied by the input. Conflict-driven procedures perform nontrivial inferences only when resolving conflicts between formulae and assignments representing the candidate model. CDSAT (Conflict-Driven SATisfiability) is a method for conflict-driven reasoning in unions of theories. It combines solvers for individual theories as theory modules within a solver for the union of the theories. In this article, we add lemma learning to CDSAT; we show that theory modules for several theories of practical interest fulfill the requirements for completeness and termination of CDSAT; and we present two ways to enrich CDSAT with proof generation. First, we present a proof-carrying CDSAT transition system that produces proof objects in memory accommodating multiple proof formats. Alternatively, we apply to CDSAT the LCF approach to proofs from interactive theorem proving, by defining a kernel of reasoning primitives that guarantees that CDSAT proofs are correct by construction

Combining clause learning and resolution for multimodal reasoning

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Ciência da Computação, 2019.Vários aspectos de sistemas computacionais complexos podem ser modelados utilizando linguagens lógicas, que permitem a caracterização de noções como probabilidades, pos- sibilidades, noções temporais, conhecimento e crenças [32, 37, 38, 64]. Lógicas modais, mais especificamente, têm sido amplamente estudadas em Ciência da Computação, pois possibilitam modelar de forma natural, por exemplo, noções de conhecimento e crença em sistemas multiagentes [16, 32, 64] e aspectos temporais na verificação formal de problemas relacionados a sistemas concorrentes e distribuídos [37, 38]. Apesar de sua simplicidade, linguagens modais são expressivas para raciocinar sobre relações entre diferentes contextos ou interpretações [15]. Uma vez que um sistema é especificado em uma linguagem lógica, é possível usar mé- todos de prova para verificar as propriedades desse sistema. Em geral, se I é o conjunto de fórmulas que representam a implementação e S é o conjunto que caracteriza a especi- ficação, o processo de verificação consiste em mostrar que é possível derivar os aspectos especificados em S a partir de I. Cada método de prova corresponde a um conjunto de regras de inferência acompanhado de uma metodologia de como lidar com as fórmulas. Geralmente, a literatura sobre um sistema de prova contém análises de melhor e pior casos. Também pode-se encontrar na literatura comparações entre diferentes métodos de prova para uma linguagem lógica específica. Para lógicas modais, por exemplo, uma aná- lise empírica de desempenho de quatro sistemas de prova diferentes pode ser encontrada em [42]. Ainda é possível combinar métodos de prova para se beneficiar do melhor cenário de cada método. Frequentemente, métodos de prova são projetados para serem implementados como provadores de teoremas automatizados, ou seja, aspectos relacionados à busca por uma prova também são considerados no projeto de um método de prova específico. Na lite- ratura, existem vários provadores de teoremas para lógicas modais [4, 67, 76, 77]. Neste trabalho, o foco é o provador de teoremas para a lógica multimodal básica Kn: KSP [61], que implementa o método baseado em resolução proposto em [60]. Kn é a linguagem que estende a lógica proposicional clássica com a adição dos operadores modais de necessidade, denotado por a , e de possibilidade, denotado por ♦a , ambos indexados por um agente a. v A semântica dos operatores é dada por “é necessário do ponto de vista do agente a” e “é possível do ponto de vista do agente a”, respectivamente. O KSP traduz as fórmulas de entrada para uma forma normal clausal na qual cláusulas são rotuladas pelo nível modal em que ocorrem, ajudando a restringir aplicações desneces- sários das regras de inferência do cálculo que o KSP implementa. Para reduzir o espaço de busca para uma prova, vários refinamentos e estratégias de simplificação são implemen- tadas como parte do provador KSP. Para obter o melhor desempenho para uma fórmula específica, ou classe de fórmulas, é importante escolher as estratégias e otimizações mais adequadas. De acordo com [61], o KSP apresenta um ótimo desempenho se o conjunto de símbolos proposicionais for uniformemente distribuído pelos níveis modais. No entanto, quando há um grande número de símbolos proposicionais em apenas um nível específico, a eficiência diminui. A razão é que a tradução para a forma normal usada sempre gera conjuntos satisfatíveis de cláusulas proposicionais, ou seja, cláusulas sem operadores modais. Como resolução depende da saturação do conjunto de cláusulas, isso pode custar muito tempo. Este trabalho contribui para o KSP com a implementação de uma opção adicional à lista de estratégias disponíveis do provador. O objetivo dessa nova opção é tentar reduzir o tempo que o KSP gasta saturando o conjunto de cláusulas, e, possivelmente, aumentar a velocidade na qual as regras de inferência que lidam com o raciocínio modal podem ser aplicadas. Portanto, a contribuição deste trabalho consiste, principalmente, na adição de duas novas regras ao cálculo implementado pelo KSP. Um dos resultados apresentados é a demonstração de que as regras são corretas e a adição de ambas não interfere na completude do provador. Nossa implementação utiliza um provador de satisfatibilidade booleana baseado em aprendizagem de cláusulas conduzida por análise de conflitos (CDCL SAT solver). O problema de satisfatibilidade booleana (SAT) é o problema de determinar se existe al- guma valoração para as variáveis de uma fórmula proposicional que torne esta fórmula verdadeira. Provadores para este problema (SAT solvers) são em geral conhecidos por serem muito eficientes. Esses provadores comumente são capazes de resolver problemas considerados difíceis, com mais de um milhão de variáveis e milhões de restrições [35]. Uma das principais razões para o amplo uso de SAT em muitas aplicações é que os CDCL SAT solvers são muito eficientes na prática [35]. A principal idéia por trás da aprendiza- gem de cláusulas implementada nesses solvers é adicionar as causas de um dado conflito, derivado de atribuições parciais de valores de verdade a símbolos proposicionais, como cláusulas aprendidas. Então essas informações são usadas para podar a árvore de busca por uma valoração satisfatível em diferentes partes. vi Competições anuais também influenciaram o desenvolvimento de implementações in- teligentes e eficientes dos provadores baseados em SAT, como Chaff [56], MiniSat [73] e Glucose [5]. Essas competições permitem que muitas técnicas sejam exploradas e criam uma extensa coleção de instâncias de problemas do mundo real e problemas projetados como desafiadores, formando um grande banco referência de casos de teste [35]. Além da análise de conflitos, os provadores modernos incluem técnicas como estruturas de dados com avaliação preguiçosa, reinicializações de busca, heurísticas de ramificação controlada por conflitos e estratégias de exclusão de cláusulas [14]. Em 2005, mais especificamente, Sörensson e Een desenvolveram um provador SAT com minimização de cláusulas de con- flito, chamado MiniSat [73], que permaneceu por um tempo como o SAT solver do estado da arte. O MiniSat é um provador popular, com um desempenho surpreendente, que implementa de forma sucinta muitas heurísticas conhecidas. Ele ganhou vários prêmios na competição SAT 2005 e tem a vantagem de ser código aberto. Mantém até hoje sua importância como uma ferramenta usada como parte integrada de diferentes siste- mas [26, 27, 28, 75]. Aproveitamos os esforços teóricos e práticos que foram direcionados em melhorar a eficiência de tais provadores para ajudar a acelerar o processo de saturação dentro dos procedimentos já implementados no KSP. Nossa implementação modifica o provador KSP para realizar uma chamada externa ao MiniSat. O provador modificado pode ser encontrado em [1]. A idéia principal por trás dessa combinação é criar uma consulta para o SAT solver contendo cláusulas especiais criadas a partir de cada nível modal. Se o provador baseado em CDCL aprender uma ou mais cláusulas pelo procedimento de análise de conflitos, adicionamos-as ao conjunto de cláusulas proposicionais da respectiva instância do KSP, pois sabemos que essas cláusulas aprendidas são consequências do conjunto que passamos ao MiniSat. Além disso, se o MiniSat concluir que o conjunto dado como entrada é insatisfatível, também aprendemos uma cláusula que, por construção, deve ser uma das premissas das regras de inferência que lidam com raciocínio modal. Aprendendo esta cláusula, nossa hipótese é que a aplicação dessas regras será possível sem que o KSP dependa da saturação do conjunto de cláusulas proposicionais. A combinação implementada foi testada com três grandes bancos de problemas clás- sicos, LWB [11], MQBF [43, 53] e 3CNF [53], em um Ubuntu 18.04 com um processador Intel i7 e 16 GB de memória. Assim como o KSP sozinho, nossa combinação não conseguiu resolver nenhuma instância dos problemas pertecentes ao 3CNF no limite de tempo de 20 minutos. Para os demais bancos, o limite de tempo dado foi de 100 segundos. Os resul- tados experimentais de nossa implementação executando com os bancos MQBF e LWB não apresentaram, em geral, um ganho em tempo de execução, provavelmente devido à sobrecarga que inserimos com a chamada ao MiniSat. vii Entretanto, nossa implementação foi capaz de avançar o KSP na resolução de entradas insatisfatíveis de uma das famílias mais difíceis do banco LWB. Essa família corresponde ao princípio da casa dos pombos estabelecido como fórmulas em Kn. Essas fórmulas são projetadas com um grande número de símbolos proposicionais distribuídos em um máximo de dois níveis modais, o que representa exatamente o cenário para o qual desejávamos me- lhorar a eficiência do KSP. O provador sozinho é capaz de resolver cinco instâncias dessa família, enquanto nossa combinação conseguiu resolver até a nona entrada. Outros pro- vadores na literatura também apresentam grande dificuldade em resolver instâncias dessa família [61]. Além disso, a execução do KSP combinado com o MiniSat para essas entra- das em particular mostrou que o uso do MiniSat permitiu uma diminuição significativa no número de inferências necessárias para que o KSP encontrasse uma prova. Isso é re- levante quando consideramos uso de memória como parâmetro de eficiência. Este último resultado indica que nossa combinação teve um impacto positivo na execução do KSP. Acreditamos que um refinamento nas mudanças implementadas no provador, buscando um meio termo entre a sobrecarga da chamada ao MiniSat e minimizar o número de inferências feitas, poderia levar a resultados ainda melhores.Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CAPES).Modal logics have been widely studied in Computer Science for allowing the character- isation of complex systems that express notions in terms of knowledge, belief etc. In this work, we focus on the theorem prover for the basic multimodal language Kn: KSP, which implements a clausal resolution method. Clauses are labelled by the modal level at which they occur, helping to restrict unnecessary applications of the resolution inference rules. KSP performs well if the set of propositional symbols are uniformly distributed over the modal levels. However, when there is a high number of variables in just one particular level, the performance deteriorates. One reason is that the specific normal form we use al- ways generates satisfiable sets of propositional clauses. As resolution relies on saturation, this can be very time consuming. Our work contributes to KSP with the implementation of an additional option to the list of available strategies. This option attempts to reduce the time KSP spends during saturation, or even to increase the rate in which inference rules that deal with modal reasoning can be applied. We modified KSP to externally call MiniSat, a popular SAT solver based on clause learning. The output from MiniSat, as well as the clauses it might learn in the proof search, gives us important information about the set of clauses at each modal level. Although the proposed combination did not improve KSP performance in average, it allowed KSP to solve more instances of the ph family than before. This is one of the hardest families of the LWB benchmark, which corresponds to the pigeonhole principle established as a formula in Kn

Certifying Correctness for Combinatorial Algorithms : by Using Pseudo-Boolean Reasoning

Over the last decades, dramatic improvements in combinatorialoptimisation algorithms have significantly impacted artificialintelligence, operations research, and other areas. These advances,however, are achieved through highly sophisticated algorithms that aredifficult to verify and prone to implementation errors that can causeincorrect results. A promising approach to detect wrong results is touse certifying algorithms that produce not only the desired output butalso a certificate or proof of correctness of the output. An externaltool can then verify the proof to determine that the given answer isvalid. In the Boolean satisfiability (SAT) community, this concept iswell established in the form of proof logging, which has become thestandard solution for generating trustworthy outputs. The problem isthat there are still some SAT solving techniques for which prooflogging is challenging and not yet used in practice. Additionally,there are many formalisms more expressive than SAT, such as constraintprogramming, various graph problems and maximum satisfiability(MaxSAT), for which efficient proof logging is out of reach forstate-of-the-art techniques.This work develops a new proof system building on the cutting planesproof system and operating on pseudo-Boolean constraints (0-1 linearinequalities). We explain how such machine-verifiable proofs can becreated for various problems, including parity reasoning, symmetry anddominance breaking, constraint programming, subgraph isomorphism andmaximum common subgraph problems, and pseudo-Boolean problems. Weimplement and evaluate the resulting algorithms and a verifier for theproof format, demonstrating that the approach is practical for a widerange of problems. We are optimistic that the proposed proof system issuitable for designing certifying variants of algorithms inpseudo-Boolean optimisation, MaxSAT and beyond

Symbolic reactive synthesis

In this thesis, we develop symbolic algorithms for the synthesis of reactive systems. Synthesis, that is the task of deriving correct-by-construction implementations from formal specifications, has the potential to eliminate the need for the manual—and error-prone—programming task. The synthesis problem can be formulated as an infinite two-player game, where the system player has the objective to satisfy the specification against all possible actions of the environment player. The standard synthesis algorithms represent the underlying synthesis game explicitly and, thus, they scale poorly with respect to the size of the specification. We provide an algorithmic framework to solve the synthesis problem symbolically. In contrast to the standard approaches, we use a succinct representation of the synthesis game which leads to improved scalability in terms of the symbolically represented parameters. Our algorithm reduces the synthesis game to the satisfiability problem of quantified Boolean formulas (QBF) and dependency quantified Boolean formulas (DQBF). In the encodings, we use propositional quantification to succinctly represent different parts of the implementation, such as the state space and the transition function. We develop highly optimized satisfiability algorithms for QBF and DQBF. Based on a counterexample-guided abstraction refinement (CEGAR) loop, our algorithms avoid an exponential blow-up by using the structure of the underlying symbolic encodings. Further, we extend the solving algorithms to extract certificates in the form of Boolean functions, from which we construct implementations for the synthesis problem. Our empirical evaluation shows that our symbolic approach significantly outperforms previous explicit synthesis algorithms with respect to scalability and solution quality.In dieser Dissertation werden symbolische Algorithmen für die Synthese von reaktiven Systemen entwickelt. Synthese, d.h. die Aufgabe, aus formalen Spezifikationen korrekte Implementierungen abzuleiten, hat das Potenzial, die manuelle und fehleranfällige Programmierung überflüssig zu machen. Das Syntheseproblem kann als unendliches Zweispielerspiel verstanden werden, bei dem der Systemspieler das Ziel hat, die Spezifikation gegen alle möglichen Handlungen des Umgebungsspielers zu erfüllen. Die Standardsynthesealgorithmen stellen das zugrunde liegende Synthesespiel explizit dar und skalieren daher schlecht in Bezug auf die Größe der Spezifikation. Diese Arbeit präsentiert einen algorithmischen Ansatz, der das Syntheseproblem symbolisch löst. Im Gegensatz zu den Standardansätzen wird eine kompakte Darstellung des Synthesespiels verwendet, die zu einer verbesserten Skalierbarkeit der symbolisch dargestellten Parameter führt. Der Algorithmus reduziert das Synthesespiel auf das Erfüllbarkeitsproblem von quantifizierten booleschen Formeln (QBF) und abhängigkeitsquantifizierten booleschen Formeln (DQBF). In den Kodierungen verwenden wir propositionale Quantifizierung, um verschiedene Teile der Implementierung, wie den Zustandsraum und die Übergangsfunktion, kompakt darzustellen. Wir entwickeln hochoptimierte Erfüllbarkeitsalgorithmen für QBF und DQBF. Basierend auf einer gegenbeispielgeführten Abstraktionsverfeinerungsschleife (CEGAR) vermeiden diese Algorithmen ein exponentielles Blow-up, indem sie die Struktur der zugrunde liegenden symbolischen Kodierungen verwenden. Weiterhin werden die Lösungsalgorithmen um Zertifikate in Form von booleschen Funktionen erweitert, aus denen Implementierungen für das Syntheseproblem abgeleitet werden. Unsere empirische Auswertung zeigt, dass unser symbolischer Ansatz die bisherigen expliziten Synthesealgorithmen in Bezug auf Skalierbarkeit und Lösungsqualität deutlich übertrifft