Robuste Mehrgitter-Vorkonditionierung für lineare Elastizität mit dem Finiten Element von Mardal, Tai und Winther

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The Newton method for solving the Theodorsen integral equation

AbstractThe Newton method for the solution of the Theodorsen integral equation in conformal mapping is studied. One step of this method consists of solving a linear integral equation, the solution of which is given explicitly as the result of a Riemann-Hilbert problem. Quadratic convergence of the Newton method is established under certain assumptions. Whereas in other methods a so-called ϵ-condition with ϵ < 1 is required to hold, our method converges also for ϵ ⩾ 1. We will also present a numerical implementation in which the result of one step of the Newton method is approximately by a vector in R2N which can be computed with 2N log N + O(N) multiplications. In comparison, one step of the Newton method for the discrete Theodorsen equation requires O(N3) multiplications

Algorithmische Umsetzung eines elasto-plastischen Kontakt-Materialgesetzes zur Abbildung der Rissflächen-Degradation bei kohäsiven Rissen

Entwicklung eines Algorithmus für ein nichtlineares Materialgesetz für die vollautomatische Rissentwicklungssimulation unter Verwendung der am Institut für Strukturmechanik entwickelten netzfreien Verfahren. In Anlehnung an die Kontinuumsplastizität wird unter Verwendung einer arbeitsbasierten Formulierung mit Kombination der Mode I und Mode IIa Bruchenergien für sensitive Strukturen und eines nicht-assoziierten Fließgesetzes werden die Rissweggrößen (Rissöffnungsweite und Rissgleitungen) iterativ ermittelt. Dadurch ist es möglich, den Dilatanzeffekt sowie die verzahnte Kontaktfläche und die daraus resultierenden erhöhten Schubwiderstände abzubilden. Umsetzung mit Hilfe des sehr effizienten impliziten Closest Point Projection Iterationsverfahren auf Basis einer 3-D Kontaktformulierung (Kontakt-Elemente). 2-D Implementation in die Forschungssoftware SLang des Instituts für Strukturmechanik der Bauhaus-Universität Weimar. Verifikation der Modellcharakteristik mit signifikanten Belastungszuständen. Zwei Anwendungsbeispiele zur Rissfortschrittsberechnung sind unter Verwendung des umgesetzten Materialgesetzes zum Einsatz gekommen. Untersuchungen hinsichtlich der Materialparameter wurden vorgenommen.In this documentation a general model for combined normal/shear cracking will be presented. Basically it is defined of the normal and shear stresses of a cohesive crack with the corresponding displacements in normal and tangential direction. For the load state there can be considered three cases of loading: pure tension, shear-tension and shear-compression. In the softening state of quasi-brittle materials like concrete there are be mould physical effects like dilatancy by shearing deformations, nevertheless no dilatancy under very high compression can be performed. By this way it is additionally possible to simulate extended roughness at the contact surface besides the coulomb criteria as it exists in real cracking deformations of structures characterized by sensitive material behavior. To enable this goal in context of smeared crack analysis a special feature in combined activating Mode I and Mode II fracture energies (mixed mode cracking) is used. \\ After presenting this model a direct way for implementation as a constitutive law based for interface elements will be realized. Integrating this to the stochastic FE software SLang - The Structural Language some tests for verificating the interface model (by comparing the numerical results with existing experimental data) will be performed as well as discussing the cracking model with regard to practical aspects

Solving Theodorsen&apos;s Integral Equation for Conformal Maps with the Fast Fourier Transform and Various Nonlinear Iterative Methods

. We investigate several iterative methods for the numerical solution of Theodorsen&apos;s integral equation, the discretization of which is either based on trigonometric polynomials or function families with known attenuation factors. All our methods require simultaneous evaluations of a conjugate periodic function at each step and allow us to apply the fast Fourier transform for this. In particular, we discuss the nonlinear JOR iteration, the nonlinear SOR iteration, a nonlinear second order Euler iteration, the nonlinear Chebyshev semi-iterative method, and its cyclic variant. Under special symmetry conditions for the region to be mapped onto we establish local convergence in the case of discretization by trigonometric interpolation and give simple formulas for the optimal parameters (e.g., the underrelaxation factor) and the asymptotic convergence factor. Weaker related results for the general non-symmetric case are presented too. Practically, our methods extend the range of application of Theodorsen&apos;s method and improve its effectiveness strikingly

Die Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie auf die Lösung partieller Differentialgleichungen

In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie zur Behandlung partieller Differentialgleichungen über beschränkten Gebieten unter Benutzung einer orthogonalen Zerlegung des Raumes L_2(U) verallgemeinert. Zum einen kann diese Zerlegung als direkte Zerlegung über dem Raum L_p(G),p>1, verallgemeinert werden, was die Untersuchung partieller Differentialgleichungen über allgemeinen Sobolev-Räumen W_p^k(G),p>1,k natürliche Zahl, ermöglicht. Dies wird am Beispiel des Stokes-Problems demonstriert. Zum anderen wird ein modifizierter Cauchy-Kern über unbeschränkten Gebieten eingeführt, deren Komplement eine nichtleere offene Menge enthält. Grundlegende Resultate der Cliffordanalysis über beschränkten Gebieten werden auf diese Situation verallgemeinert und eine orthogonale Zerlegung des Raumes L_2(G) bewiesen. Diese Resultate werden im weiteren dazu benutzt, das stationäre Stokes- bzw. Navier-Stokes-Problem in dem allgemeinen Fall eines unbeschränkten Gebietes zu untersuchen. Im weiteren wird gezeigt, dass sich die entwickelten Methoden auch auf partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung anwenden lassen. Dies wird am Beispiel der biharmonischen Gleichung mit Randbedingungen, die Komponenten in Normalenrichtung und tangentieller Richtung besitzen, demonstriert. Am Ende beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung der komplexen Methoden von Vekua. Dazu werden hyperkomplexe Verallgemeinerungen des komplexen Pi-Operators untersucht und auf die Lösung von hyperkomplexen Beltramigleichungen angewandt.A modified Cauchy kernel is introduced over unbounded domains whose complement contain non-empty open sets. Basic results on Clifford analysis over bounded domains are now carried over to this more general context. In the end boundary value problems, e.g. for the Stokes-system or the Navier-Stokes-system, will be studied in the case of an unbounded domain without using weighted Sobolev spaces. In the latter part of this paper we deal with hypercomplex generalizations of the complex Pi-operator which turn out to have most of the useful properties of their complex origin. Afterwards the application of this operator to the solution of hypercomplex Beltrami equations will be studied

Modellierung und Numerik zeitharmonischer Wirbelstromprobleme in 3D

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung zeitharmonischer Wirbelstromprobleme in 3D und Aspekten der mathematischen Modellierung. Ziel ist sowohl die Entwicklung eines effizienten Finite-Element-Codes unter Verwendung adaptiver Mehrgitterverfahren als auch die Entwicklung einer Randelementmethode für Impedanzrandbedingungen. Das zugrundeliegende Wirbelstrommodell ist eine Näherung der Maxwellschen Gleichungen und beschreibt niederfrequente elektromagnetische Phänomene, bei denen die magnetische Energie dominiert. Innerhalb der Arbeit wird eine Schranke für den Modellierungsfehler des Wirbelstrommodells hergeleitet. Aus der Fehlerbetrachtung folgt, daß die in der Ingenieurliteratur anerkannten Bedingungen (charakteristische Größe 0 konvergiert, falls ausschliesslich induzierte Wirbelströme existieren, ansonsten konvergiert der Fehler nur mit O(f). Weiterhin wird eine systematische Studie durchgeführt, wie externe Strom- und Spannungsquellen im Wirbelstrommodell berücksichtigt werden können. Dabei wird zwischen lokalen Anregungen an Kontakten, vorgegebenen Generatorstromverteilungen und nicht-lokalen Varianten unterschieden. Es wird gezeigt, daß letztere das Faradaysche Gesetz entlang von sogenannten Seifert-Flächen verletzen und keine Lösung für das elektrische Feld in H(rot) zulassen. Eine physikalische Interpretation wird gegeben. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt in der Entwicklung einer adaptiven Finite-Element-Software, die auf der Simulationsumgebung UG aufbaut. Als Grundlage dient eine auf dem elektrischen Feld basierende, sogenannte "ungeeichte" Variationsformulierung. Die Lösung ist bei Anwesenheit nichtleitender Gebietsteile nicht eindeutig und repräsentiert für diesen Fall eine Äquivalenzklasse von elektrischen Feldern, die alle auf dasselbe Magnetfeld führen, wobei letzteres die im Wirbelstrommodell relevante Größe darstellt. Zur Diskretisierung werden Whitney-Elemente verwendet. Die Berechnung erfolgt adaptiv mit Hilfe eines "Rot/Grün-Verfeinerungsalgorithmus" und eines residuenbasierten Fehlerschätzers. Zur Lösung der entstehenden Gleichungssysteme kommen Mehrgitterverfahren zum Einsatz. Diese besitzen eine optimale Komplexität und sind die derzeit schnellsten Lösungsverfahren. Dabei wird ein von R. Hiptmair entwickeltes Glättungsverfahren verwendet. Obwohl der (komplexe) zeitharmonische Fall bisher nicht von der Mehrgittertheorie abgedeckt wird, belegen die in der Arbeit durchgeführten numerischen Experimente, daß die Konvergenzraten des Mehrgitterverfahrens unabhängig von der Gitterweite gleichmäßig von Eins weg beschränkt sind. Aufgrund der Adaptivität wurde das Mehrgitterverfahren als lokales Mehrgitterverfahren implementiert, bei dem die Glättung sich auf verfeinerte Bereiche beschränkt. Dies ist notwendig, um auch im adaptiven Fall optimale Komplexität des Verfahrens zu gewährleisten. Implementiert wird das lokale Mehrgitterverfahren mit Hilfe von lokalen Gittern, die i.a. nicht das ganze Gebiet überdecken. Es wird gezeigt, daß das verwendete Glättungsverfahren gegenüber dem Standardfall erweiterte lokale Gitter erfordert. Die Lösbarkeit des singulären Gleichungssystems wird durch eine angemessene Berechnung der Stromquellen sichergestellt. Um die Kernanteile während des Lösungsprozesses zu kontrollieren, wird eine angenäherte Projektion auf die diskret divergenzfreien Felder eingesetzt. Das Gesamtverfahren wird auf realistische Problemstellungen angewendet. Für Wirbelstromprobleme, die auf sehr geringe Eindringtiefen führen, wird eine Randelementmethode realisiert. Hier wird der Einfluß des leitfähigen Gebietes durch Impedanzrandbedingungen repräsentiert. Daraus resultiert die Lösung einer Außenraumaufgabe statt eines Transmissionsproblems. Es wird eine auf dem Magnetfeld basierende Formulierung des Wirbelstrommodells verwendet und gezeigt, wie sich das Problem als eine skalare Integrodifferentialgleichung auf dem Rand des Leiters umformulieren läßt. Existenz und Eindeutigkeit werden bewiesen; ein Galerkin-Verfahren mit stetigen, stückweise linearen Randelementen wird zur Diskretisierung verwendet. Eine Fehlerabschätzung führt auf eine O(h^(5/2))-Konvergenz der Ohmschen Verluste. Das Ergebnis wird anhand eines numerischen Beispiels bestätigt. Anschließend werden die Grenzfälle unendlicher Leitfähigkeit und unendlicher Permeabilität betrachtet

Gemischte Least-Squares-FEM für Elastoplastizität

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Simulation von Mehrkomponenten-Strömungen bei kleinen Mach-Zahlen

Die numerische Berechnung von reaktiver Mehrkomponenten-Strömungen bei kleinen Mach-Zahlen ist von großer technischer Relevanz mit einer breiten Anwendungspalette, speziell in der Verfahrenstechnik. Strömungen bei kleinen Mach-Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass die Dichte eine Funktion der Temperatur und der Zusammensetzung ist, dabei jedoch nur schwach oder gar nicht vom Druck abhängt. Insbesondere die Strömung in chemischen Synthesereaktoren steht hier im Mittelpunkt des Interesses. Das vorgestellte Verfahren zeichnet sich durch eine hohe Robustheit und gleichzeitig durch eine Genauigkeit zweiter Ordnung im Ort und in der Zeit aus. Als Ausgangspunkt der Entwicklung diente ein Projektionsverfahren zur numerischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluides. Durch eine Neuformulierung der Divergenzbedingung für die Geschwindigkeit, beziehungsweise für den spezifischen Impuls, wurde es möglich, den Formalismus eines Druckkorrektur-Verfahrens auf Strömungen bei kleinen Mach-Zahlen und großen Dichteunterschieden anzuwenden. Im Rahmen einer ausführlichen Validierung wurde die Robustheit des vorgestellten Verfahrens für unterschiedliche Problemstellungen und die Genauigkeit im Ort und in der Zeit nachgewiesen. Die Effizienz des Verfahrens wurde unter anderem durch Vergleich mit Rechnungen mittels Lattice-BGK-Methoden überprüft. Obwohl die LBGK-Verfahren als besonders effizient gelten, konnte eine vergleichbare Leistung bei gleicher Genauigkeit erzielt werden

Numerische Simulation nichtlinearer Aeroakustik bei kleinen Machzahlen

Aeroakustische Problemstellungen und kompressible Strömungen bei kleinen Machzahlen gewinnen mehr und mehr an Bedeutung. Bei einer direkten numerischen Simulation ergibt sich für kleine Machzahlen nicht nur ein steifes Differentialgleichungssystem, sondern die Unbekannten koppeln zusätzlich auf unterschiedlichen Skalen miteinander. Diese Multiskalenkopplung wird exemplarisch an Hand der eindimensionalen Euler-Gleichungen erörtert. Ein Beispiel hierfür ist die Machzahl-abhangige Impedanz einer akustischen Welle. Über den Mechanismus strömungsmechanischer Lärmentstehung wird schließlich erklärt, wie numerische Diskretisierungs- und Iterationsfehler zu störenden akustischen Wellen führen können. Die Güte der verwendeten impliziten Runge-Kutta-Verfahren zur Zeitdiskretisierung, als auch die Güte der Finite-Volumen-Diskretisierung auf unstrukturierten Gittern werden hinsichtlich ihrer Dispersions- und Dämpfungsfehler verglichen. Zusätzlich werden nichtreflektierende Randbedingungen in die implizite Diskretisierung eingebettet, damit störende Reflektionen an künstlichen Rändern vermieden werden können. Um eine Machzahl-unabhängige Konvergenzrate zu erhalten, werden geometrische Mehrgitterverfahren zum Lösen des algebraischen Gleichungssystems analysiert und entsprechend aufgebaut. Die gefundenen Ergebnisse werden schließlich an Hand numerischer Testbeispiele verifiziert, bevor die aerodynamische Schallerzeugung an einer Plattenhinterkante untersucht wird

Large Eddy Simulation auf uniform und adaptiv verfeinerten Gittern : adaptive LES, Diskretisierungs- und Modellfehler bei der LES, Wärme- und Stofftransport, Mehrgitterverfahren, statischer Mischer

Diese Arbeit vereint die Large Eddy Simulation (LES) mit parallelen, adaptiven Methoden und schnellen Mehrgitterverfahren auf unstrukturierten Gittern. Angefangen von den verwendeten kontinuierlichen Modellen zur Beschreibung turbulenter Strömung, wird das verwendete Teilschritt-Theta-Verfahren für die Zeitintegration und die zu Grunde liegende Finite-Volumen-Methode mit linearen Ansätzen für die räumliche Diskretisierung eingeführt. Da hier die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen und die Energiegleichung voll implizit gelöst werden, spielt der für die Stabilität des Diskretisierungsverfahrens verantwortliche Stabilisierungsterm hierbei eine wichtige Rolle. Anschließend wird die Gitteradaption, wie sie in dem verwendeten Softwarepaket UG realisiert wird, dargestellt. Sie ist zunächst unabhängig von dem betrachteten Problem. Die Verbindung zur LES führt über die in Betracht gezogenen a posteriori-Indikatoren, die zur Verfeinerung bzw. Vergröberung eines Anfangsgitters verwendet werden. Die beiden wichtigsten Indikatoren sind der klassische residuenbasierte Indikator, der ursprünglich zur Bestimmung des Diskretisierungsfehlers konstruiert wurde und einen Fehlerindikator darstellt, und der heuristische Maximum-Indikator, der als Verfeinerungs- bzw. Vergröberungskriterium n.a. die turbulente Viskosität verwendet. Obgleich beide Indikatoren verschieden sind, liefern sie ähnlich gute Ergebnisse. An Hand des Jet in Crossflow-Problems im R2 und der natürlichen Konvektion in einer hohen Nische im R2 und R3 werden die Diskretisierungs- und Modellfehler bei einer LES, die typischerweise dieselbe Größenordnung besitzen, bestimmt und die adaptiven Methoden den uniformen Verfahren gegenübergestellt. Es kann gezeigt werden, dass durch Gitteradaption mit 30% der Elemente eines uniformen Gitters ähnliche Ergebnisse erzielt werden können. Abgeschlossen wird diese Arbeit mit der numerischen Simulation eines statischen Mischers, dessen Ergebnisse mit den experimentellen Daten verglichen werden. Diese Arbeit zeichnet sich insbesondere durch drei Aspekte aus. Erstens, es werden die Diskretisierungs- und Modellfehler für zwei klassische Problemstellungen bestimmt. Zweitens, verschiedenste a posteriori Indikatoren werden für LES-Rechnungen verwendet und entsprechend bewertet. Und drittens wird über das ganze Zeitintervall einer Rechnung das unstrukturierte Gitter an die instationären Strukturen entsprechend der verwendeten Indikatoren durch Verfeinerung oder Vergröberung angepasst