A Divergence Critic for Inductive Proof

Inductive theorem provers often diverge. This paper describes a simple critic, a computer program which monitors the construction of inductive proofs attempting to identify diverging proof attempts. Divergence is recognized by means of a ``difference matching'' procedure. The critic then proposes lemmas and generalizations which ``ripple'' these differences away so that the proof can go through without divergence. The critic enables the theorem prover Spike to prove many theorems completely automatically from the definitions alone.Comment: See http://www.jair.org/ for any accompanying file

Proof diagrams and term rewriting with applications to computational algebra

In this thesis lessons learned from the use of computer algebra systems and machine assisted theorem provers are developed in order to give an insight into both the problems and their solutions. Many algorithms in computational algebra and automated deduction (for example Grobner basis computations and Knuth-Bendix completion) tend to produce redundant facts and can contain more than one proof of any particular fact. This thesis introduces proof diagrams in order to compare and contrast the proofs of facts which such procedures generate. Proof diagrams make it possible to analyse the effect of heuristics which can be used to guide implementations of such algorithms. An extended version of an inference system for Knuth-Bendix completion is introduced. It is possible to see that this extension characterises the applicability of critical pair criteria, which are heuristics used in completion. We investigate a number of executions of a completion procedure by analysing the associated proof diagrams. This leads to a better understanding of the heuristics used to control these examples. Derived rales of inference are also investigated in this thesis. This is done in the formalism of proof diagrams. Rewrite rules for proof diagrams are defined: this is motivated by the notion of a transformation tactic in the Nuprl proof development system. A method to automatically extract 'useful' derived inference rales is also discussed. 'Off the shelf' theorem provers, such as the Larch Prover and Otter, are compared to specialised programs from computational group theory. This analysis makes it possible to see where methods from automated deduction can improve on the tools which group theorists currently use. Problems which can be attacked with theorem provers but not with currently used specialised programs are also indicated. Tietze transformations, from group theory, are discussed. This makes it possible to link ideas used in Knuth-Bendix completion programs and group presentation simplification programs. Tietze transformations provide heuristics for more efficient and effective implementations of these programs

Termination of term rewriting : well-foundedness, totality and transformations

Dit proefschrift gaat over eigenschappen van terminatie van herschrijfsystemen. We zullen eerst aan de hand van een voorbeeld dat gaat over optellen van de getallen de belangrijkste concepten proberen uit te leggen. Vervolgens vatten we de inhoud van het proefschrift kort samen. Een bekende eigenschap van optellen (\add") is dat optellen met het getal nul een neutrale bewerking is. We kunnen dit in een vergelijking als volgt formuleren: add(0; x) = x; add(x; 0) = x waarbij x een variabele is die een willekeurig natuurlijke getal voorstelt. Een andere optelwet gaat over de volgorde van berekeningen: add(x; add(y; 1)) kan ook worden verkregen door eerst add(x; y) te berekenen en dan bij dit resultaat 1 op te tellen. Stellen we de natuurlijke getallen voor door 0, s(0), s(s(0)), etc.(s betekent \successor") dan luidt deze wet in formulevorm: add(x; s(y)) = s(add(x; y)) Op analoge wijze vinden we ook de vergelijking: add(s(x); y) = s(add(x; y)) Nu zijn we in staat om 1 +2op formele wijze te berekenen. Daartoe schrijven we eerst 1 +2als add(s(0); s(s(0))) en proberen we vervolgens de laatste formule te vereenvoudigen door optelwetten toe te passen. Een mogelijke manier om dit te doen is als volgt: add(s(0); s(s(0))) = s(add(s(0); s(0))) = s(s(add(s(0); 0))) = s(s(s(0))) In dit voorbeeld zien we duidelijk dat de vergelijkingen voor add in een bepaalde richting werden gebruikt. Dit \gericht" gebruik van vergelijkingen heet herschrijven. In het algemeen herschrijven we termen uit een zg. termalgebra. Een termalgebra wordt verkregen uit een gegeven verzameling van variabelen, zeg X, en een verzameling van func- tiesymbolen, zeg F. Bij elk functiesymbool hoort een natuurlijke getal, de ariteit, die het aantal argumenten van het functiesymbool aangeeft. Variabelen hebben ariteit nul. Termen worden inductief opgebouwd door functiesymbolen toe te passen op andere termen. Uiteraard dient hierbij de ariteit te worden gerespecteerd. De verzameling van termen wordt 217?218 Samenvatting genoteerd door T (F; X). In het optelvoorbeeld geldt: \s" heeft ariteit 1, \add" heeft ariteit 2 en \0" heeft ariteit 0, en add(x; s(y)) is een term van de termalgebra T (fadd; s;0; g; fx; yg). Nu we weten wat de objecten zijn waarmee we herschrijven kunnen we afspreken hoe we gaan herschrijven. We gaan ervan uit dat we een aantal vergelijkingen hebben waarin we een linker- en een rechterdeel onderscheiden bestaande uit termen van een termalgebra. Een vergelijking l = r leidt tot de herschrijfregel l ! r, waarbij de pijl de richting van het gebruik van de vergelijking aangeeft. Zo'n verzameling regels heet een termherschrijfsysteem (afgekort tot TRS). Bijvoorbeeld: add(0; x) ! x (1) add(x; 0) ! x (2) add(x; s(y)) ! s(add(x; y)) (3) add(s(x); y) ! s(add(x; y)) (4) is een TRS. Een TRS induceert een herschrijfrelatie !R (of !) in de verzamelingen van termen. Een term s herschrijft tot een term t (notatie s !R t) indien we in s een deel g herkennen dat correspondeert met een linkerdeel van een regel in R en t wordt uit s verkregen door g te vervangen door het overeenkomstige rechterdeel van de gevonden regel. Veronderstel dat we de term add(s(0); s(0)) willen herschrijven. We kunnen bovenstaande regels (3) en (4) gebruiken. Natuurlijke leidt dit tot de vraag: \wanneer verschillende regels toegestaan zijn, is het uiteindelijke resultaat onafhankelijk van de gekozen regel?". Systemen waarvoor het antwoord \ja" is voldoen aan de Church-Rosser eigenschap; ze worden ook wel con uent genoemd. Niet elk TRS is echter con uent. Een andere belangrijk vraag is: \als we een willekeurige term herschrijven, kunnen we dan garanderen dat we na een eindig aantal herschrijvingen tot een term komen waarop geen regel toepasbaar is (normaal vorm)?". In het algemeen is hierop geen bevestigend antwoord te geven. Systemen die gegarandeerd leiden tot een normaalvorm heten terminerend. Terminatie is onbeslisbaar, d.w.z. er is geen procedure die uitsluitsel geeft over terminatie van een TRS. Desalniettemin bestaan er vele bruikbare methoden die behulpzaam zijn bij het geven van een bewijs van terminatie. Ruwweg kunnen we twee soorten methoden onderscheiden (beiden worden in dit proefschrift behandeld): syntactische methoden, semantische methoden. De syntactische methoden maken alleen gebruik van de syntactische structuur van termen om tot een terminatie uitspraak te komen. Voorbeeld van deze methoden zijn de zogenaamde pad ordeningen. In de semantische methoden worden termen compositioneel ge?nterpreteerd in een algebra om zo terminatie te bewijzen; dit betekent dat we een verzamelingen A, een parti?ele ordening >, en operaties fA voor elke functiesymbool f in F, moeten deni?eren. Elke term in A kan worden ge?nterpreteerd door een toekenning van waardes van A aan variabelen, De ordening > mits welgefundeerd kan worden gebruikt om terminatie van het systeem te bewijzen.?Samenvatting 219 Beiden soorten van methoden gebruiken in essentie het concept \welgefundeerde ordening". Een ordening is een binaire relatie > (lees groter dan) met de eigenschappen irre exibiliteit (s 6 > svoor elke s, d.w.z. geen element is groter dan zichzelf) en transitiviteit (als s >ten t >u dan ook s > u). Een welgefundeerde ordening is een ordening > waarin geen oneindige rijen van de vorm s0 > s1 > s2 >: : :, bestaan. Als voor een TRS R een welgefundeerde ordening > bestaat zodanig dat uit s !R t volgt s >t dan termineert R. Dus welgefundeerdheid van ordeningen is een zeer belangrijk en relevant onderwerp in de studie van terminatie. Zoals reeds eerder gezegd gaat dit proefschrift over terminatie van herschrijfsystemen. In hoofdstuk 1 beschrijven we in het kort de concepten TRS en terminatie van TRS. Hoofdstuk 2 bevat een uitvoerige samenvatting van denities, notaties and resultaten opdat het proefschrift op zichzelf staande is. In hoofdstuk 3 bestuderen we welgefundeerdheid van ordeningen gedenieerd op de verza- meling van termen. Welgefundeerdheid van ordeningen is in het algemeen moeilijk te bewijzen, het is daarom gewenst om eenvoudige criteria te hebben die de welgefundeerdheidseigenschap kunnen controleren. Zulke criteria worden in dit hoofdstuk gegeven, waardoor welgefundeerheid van bekende ordeningen zoals rpo geconcludeerd kan worden. Een belangrijk voordeel van deze criteria is dat ze gelden voor alle terminerende TRSen in tegenstelling tot bv. de stelling van Kruskal. Hoofdstuk 4 is verdeeld in twee delen. In het eerste deel bestuderen we het algemene pro- bleem van het deni?eren van recursieve pad ordeningen op termen. In het tweede deel kijken we naar een andere belangrijke eigenschap van ordeningen nl. totaliteit. Totale ordeningen hebben de eigenschap dat elk tweetal (verschillende) elementen uit de verzameling waarover de ordening is gedenieerd vergelijkbaar is. We tonen aan dat bekende ordeningen zoals rpo of kbo in essentie totaal zijn. Dit betekent dat TRSen waarvan we terminatie met deze ordeningen kunnen bewijzen ook ge?nterpreteerd kunnen worden in totale welgefundeerde monotone algebra's. Dit type terminatie noemen we totale terminatie. In hoofdstuk 5 gaan we verder in op totale terminatie. We kijken naar eigenschappen van algebra's die in bewijzen voor totale terminatie gebruikt kunnen worden. Het blijkt dat de inte- ressante algebra's precies gekarakteriseerd kunnen worden, nl. ze zijn algebra's die overeenkomen met multiverzamelingen over een verzameling. We gebruiken in dit hoofdstuk eigenschappen van de ordinalen en we zijn in staat om enige interessante resultaten over TRSen af te leiden. In het laatste hoofdstuk introduceren we enige transformaties gedenieerd op termen (en dus ook op TRSen) die de taak om terminatie te bewijzen vergemakkelijken. Een gegeven TRS kan worden getransformeerd tot een nieuwe TRS met in het algemeen meer regels maar met een eenvoudigere syntactische structuur. We bewijzen de opmerkelijke eigenschap dat terminatie van de oorspronkelijke TRS volgt uit terminatie van de getransformeerde TRS. Dit geeft een techniek die eenvoudig aan bestaande automatische terminatiebewijssystemen kan worden toegevoegd die daarmee terminatie van meer TRSen kunnen bewijzen. Deze techniek blijft van toepassing voor herschrijven modulo vergelijkingen. In de appendix geven we bewijzen van bekende resultaten. Deze bewijzen zijn of nieuw of bestaand maar dan moeilijk te vinden in de literatuur. Daardoor is dit proefschrift meer op zichzelf staand.?220 Samenvattin

Pseudo-contractions as Gentle Repairs

Updating a knowledge base to remove an unwanted consequence is a challenging task. Some of the original sentences must be either deleted or weakened in such a way that the sentence to be removed is no longer entailed by the resulting set. On the other hand, it is desirable that the existing knowledge be preserved as much as possible, minimising the loss of information. Several approaches to this problem can be found in the literature. In particular, when the knowledge is represented by an ontology, two different families of frameworks have been developed in the literature in the past decades with numerous ideas in common but with little interaction between the communities: applications of AGM-like Belief Change and justification-based Ontology Repair. In this paper, we investigate the relationship between pseudo-contraction operations and gentle repairs. Both aim to avoid the complete deletion of sentences when replacing them with weaker versions is enough to prevent the entailment of the unwanted formula. We show the correspondence between concepts on both sides and investigate under which conditions they are equivalent. Furthermore, we propose a unified notation for the two approaches, which might contribute to the integration of the two areas

Extensions of free groups: algebraic, geometric, and algorithmic aspects

In this work we use geometric techniques in order to study certain natural extensions of free groups, and solve several algorithmic problems on them. To this end, we consider the family of free-abelian times free groups (Zm x Fn) as a seed towards further generalization in two main directions: semidirect products, and partially commuative groups (PC-groups). The four principal projects of this thesis are the following: Direct products of free-abelian and free groups We begin by studying the structure of the groups Zm x Fn , with special emphasis on their lattice of subgroups, and their endomorphisms (for which an explicit description is given, and both injectivity and surjectiveness are characterized); to then solve on them algorithmic problems involving both subgroups (the membership problem, the finite index problem, and the subgroup and coset intersection problems), and endomorphisms (the fixed points poblem, the Whitehead problems, and the twisted-conjugacy problem). Algorithmic recognition of infinite-cyclic extensions In the first part, we prove the algorithmic undecidability of several properties (finite generability, finite presentability, abelianity, finiteness, independence, triviality) of the base group of finitely presented cyclic extensions. In particular, we see that it is not possible to decide algorithmically if a finitely presented Z-extension admits a finitely generated base group. This last result allows us to demonstrate the undecidability of the Bieri-Neumann-Strebel (BNS) invariant. In the second part, we prove the equivalence between the isomorphism problem within the subclass of unique Z-extensions, and the semi-conjugacy problem for certain type of outer automorphisms, which we characterize algorithmically. Stallings automata for free-abelian by free groups After recreating in a purely algorithmic language the classic theory of Stallings associating an automaton to each subgroup of the free group, we extend this theory to semi-direct products of the form Zm ¿ Fn. Specifically, we associate to each subgroup of Zm ¿ Fn , an automaton ("enriched" with vectors in Zm), and we see that in the finitely generated case this construction is algorithmic and allows to solve the membership problem within this family of groups. The geometric description obtained also shows (even in the case of direct products) not only that the intersection of finitely generated subgroups can be infinitely generated, but that even when it is finitely generated, the rank of the intersection can not be bound in terms of the ranks of the intersected subgroups. This fact is relevant because it denies any possible extension of the celebrated - and recently proven - Hanna-Neumann conjecture in this direction. Intersection problems for Droms groups After characterizing those partially commutative groups satisfying the Howson property, we combine the algorithmic version of the theorem of the subgroups of Kurosh given by S.V. Ivanov, with the ideas coming from our work on Zm x Fn, to prove the solvability of the subgroup and coset intersection problems within the subfamily of Droms groups (that is, those PC- groups whose subgroups are always again partially commutative).En aquest treball s'usen tècniques geomètriques per estudiar certes extensions naturals dels grups lliures, i atacar diversos problemes algorísmics sobre elles. A aquest efecte, es considera la família de grups lliure-abelians per lliure (Zm x Fn) com a punt de partida envers generalitzacions en dues direccions principals: productes semidirectes, i grups parcialment commutatius (PC-groups). Els quatre projectes principals d'aquesta tesi es descriuen a continuació. Productes directes de grups lliure-abelians per lliure. Comencem estudiant l'estructura dels grups Zm x Fn, amb especial èmfasi en el seu reticle de subgrups, i el seu monoide d'endomorfismes (per als que es dóna una descripció explícita, i es caracteritzen tant la injectivitat com l'exhaustivitat); per després resoldre sobre ells problemes algorísmics involucrant tant subgrups (el problema de la pertinença, el problema de l'índex finit, i els problemes de la intersecció de subgrups i classes laterals), com endomorfismes (el problema dels punts fixos, els problemes de Whitehead , i el problema de la "conjugació retorçada" o twisted-conjugacy problem). Reconeixement algorítmic d'extensions cícliques. A la primera part, es demostra la indecidibilitat algorísmica de diverses propietats (generabilitad finita, presentabilitad finita, abelianitat, finitud, llibertat, i trivialitat) del grup base de les extensions cícliques finitament presentades. En particular, veiem que no és possible decidir algorítmicament si una Z-extensió finitament presentada admet un grup base finitament generat. Aquest últim resultat ens permet demostrar també la indecidibilitat de l'invariant BNS (de Bieri-Neumann-Strebel). A la segona part, es demostra l'equivalència entre el problema de l'isomorfisme dins de la subclasse de Z-extensions úniques, i el problema de la semi-conjugació per a cert tipus d'automorfismes exteriors, que caracteritzem algorísmicament. Autòmats d'Stallings per a grups lliure-abelians by lliure. Després de recrear en un llenguatge purament algorísmic la teoria clàssica d'Stallings associant un autòmat a cada subgrup del grup lliure, estenem aquesta teoria a productes semidirectes de la forma Zm x Fn . Concretament associem un autòmat "enriquit" amb vectors de Zm a cada subgrup de Zm x Fn , i veiem que en el cas de subgrups finitament generats aquesta construcció és algorísmica i permet resoldre el problema de la pertinença dins d'aquesta família de grups. La descripció geomètrica obtinguda mostra a més (fins i tot en el cas de productes directes), no només que la intersecció de subgrups finitament generats pot ser infinitament generada, sinó que, fins i tot quan és finitament generada, no es pot afitar el rang de la intersecció en termes dels rangs dels subgrups intersecats. Aquest fet és rellevant perquè denega qualsevol possible extensió de la celebrada - i recentment provada - conjectura de Hanna Neumann en aquesta direcció. Problemes de la intersecció per a grups de Droms. Després de caracteritzar els grups parcialment commutatius que satisfan la propietat de Howson, combinem la versió algorísmica del teorema dels subgrups de Kurosh donada per S.V. Ivanov, amb les idees provinents del nostre treball sobre Zm x Fn, per demostrar la resolubilitat dels problemes de la intersecció de subgrups, de classes laterals (i afins) dins la subfamília de PC-grups de Droms (i.e., aquells PC-grups en que tots els subgrups son de nou parcialment commutatius)

Joint University Program for Air Transportation Research, 1989-1990

Research conducted during the academic year 1989-90 under the NASA/FAA sponsored Joint University Program for Air Transportation research is discussed. Completed works, status reports and annotated bibliographies are presented for research topics, which include navigation, guidance and control theory and practice, aircraft performance, human factors, and expert systems concepts applied to airport operations. An overview of the year's activities for each university is also presented