ARC: An Educational Project on Automated Reasoning in the Class

International audienceThe international Erasmus+ European Project: "ARC-Automated Reasoning in the Class", running from 2019 to 2022 is a partnership of universities from Austria, France, Germany, Hungary, and Romania, and has the purpose of developing advanced material for teaching subjects related to Computational Logic by using Automated Reasoning. The material includes a comprehensive textbook treating the necessary theoretical background (selected topics in Mathematical Logic), but mostly the practical methods from Automated Theorem Proving, as well as the description of the basic programming paradigms and the associated languages, in relation to their logical aspects. Furthermore, we address the most important applications, like program verification and testing, semantic representation of information, algorithm synthesis, etc. One of the main goals of the approach is to improve the logical background of the software professionals in order to motivate them to use formal methods for certification of complex systems and thus to avoid costly failures

Certified Computer Algebra on top of an Interactive Theorem Prover

Contains fulltext : 35027.pdf (publisher's version ) (Open Access

A Tool for Producing Verified, Explainable Proofs

Mathematicians are reluctant to use interactive theorem provers. In this thesis I argue that this is because proof assistants don't emphasise explanations of proofs; and that in order to produce good explanations, the system must create proofs in a manner that mimics how humans would create proofs. My research goals are to determine what constitutes a human-like proof and to represent human-like reasoning within an interactive theorem prover to create formalised, understandable proofs. Another goal is to produce a framework to visualise the goal states of this system. To demonstrate this, I present HumanProof: a piece of software built for the Lean 3 theorem prover. It is used for interactively creating proofs that resemble how human mathematicians reason. The system provides a visual, hierarchical representation of the goal and a system for suggesting available inference rules. The system produces output in the form of both natural language and formal proof terms which are checked by Lean's kernel. This is made possible with the use of a structured goal state system which interfaces with Lean's tactic system which is detailed in Chapter 3. In Chapter 4, I present the subtasks automation planning subsystem, which is used to produce equality proofs in a human-like fashion. The basic strategy of the subtasks system is break a given equality problem in to a hierarchy of tasks and then maintain a stack of these tasks in order to determine the order in which to apply equational rewriting moves. This process produces equality chains for simple problems without having to resort to brute force or specialised procedures such as normalisation. This makes proofs more human-like by breaking the problem into a hierarchical set of tasks in the same way that a human would. To produce the interface for this software, I also created the ProofWidgets system for Lean 3. This system is detailed in Chapter 5. The ProofWidgets system uses Lean's metaprogramming framework to allow users to write their own interactive, web-based user interfaces to display within the VSCode editor and in an online web-editor. The entire tactic state is available to the rendering engine, and hence expression structure and types of subexpressions can be explored interactively. The ProofWidgets system also allows the user interface to interactively edit the proof document, enabling a truly interactive modality for creating proofs; human-like or not. In Chapter 6, the system is evaluated by asking real mathematicians about the output of the system, and what it means for a proof to be understandable to them. The user group study asks participants to rank and comment on proofs created by HumanProof alongside natural language and pure Lean proofs. The study finds that participants generally prefer the HumanProof format over the Lean format. The verbal responses collected during the study indicate that providing intuition and signposting are the most important properties of a proof that aid understanding.EPSR

Assertion level proof planning with compiled strategies

This book presents new techniques that allow the automatic verification and generation of abstract human-style proofs. The core of this approach builds an efficient calculus that works directly by applying definitions, theorems, and axioms, which reduces the size of the underlying proof object by a factor of ten. The calculus is extended by the deep inference paradigm which allows the application of inference rules at arbitrary depth inside logical expressions and provides new proofs that are exponentially shorter and not available in the sequent calculus without cut. In addition, a strategy language for abstract underspecified declarative proof patterns is developed. Together, the complementary methods provide a framework to automate declarative proofs. The benefits of the techniques are illustrated by practical applications.Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich damit, das Formalisieren von Beweisen zu vereinfachen, indem Methoden entwickelt werden, um informale Beweise formal zu verifizieren und erzeugen zu können. Dazu wird ein abstrakter Kalkül entwickelt, der direkt auf der Faktenebene arbeitet, welche von Menschen geführten Beweisen relativ nahe kommt. Anhand einer Fallstudie wird gezeigt, dass die abstrakte Beweisführung auf der Fakteneben vorteilhaft für automatische Suchverfahren ist. Zusätzlich wird eine Strategiesprache entwickelt, die es erlaubt, unterspezifizierte Beweismuster innerhalb des Beweisdokumentes zu spezifizieren und Beweisskizzen automatisch zu verfeinern. Fallstudien zeigen, dass komplexe Beweismuster kompakt in der entwickelten Strategiesprache spezifiziert werden können. Zusammen bilden die einander ergänzenden Methoden den Rahmen zur Automatisierung von deklarativen Beweisen auf der Faktenebene, die bisher überwiegend manuell entwickelt werden mussten

Assertion level proof planning with compiled strategies

This book presents new techniques that allow the automatic verification and generation of abstract human-style proofs. The core of this approach builds an efficient calculus that works directly by applying definitions, theorems, and axioms, which reduces the size of the underlying proof object by a factor of ten. The calculus is extended by the deep inference paradigm which allows the application of inference rules at arbitrary depth inside logical expressions and provides new proofs that are exponentially shorter and not available in the sequent calculus without cut. In addition, a strategy language for abstract underspecified declarative proof patterns is developed. Together, the complementary methods provide a framework to automate declarative proofs. The benefits of the techniques are illustrated by practical applications.Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich damit, das Formalisieren von Beweisen zu vereinfachen, indem Methoden entwickelt werden, um informale Beweise formal zu verifizieren und erzeugen zu können. Dazu wird ein abstrakter Kalkül entwickelt, der direkt auf der Faktenebene arbeitet, welche von Menschen geführten Beweisen relativ nahe kommt. Anhand einer Fallstudie wird gezeigt, dass die abstrakte Beweisführung auf der Fakteneben vorteilhaft für automatische Suchverfahren ist. Zusätzlich wird eine Strategiesprache entwickelt, die es erlaubt, unterspezifizierte Beweismuster innerhalb des Beweisdokumentes zu spezifizieren und Beweisskizzen automatisch zu verfeinern. Fallstudien zeigen, dass komplexe Beweismuster kompakt in der entwickelten Strategiesprache spezifiziert werden können. Zusammen bilden die einander ergänzenden Methoden den Rahmen zur Automatisierung von deklarativen Beweisen auf der Faktenebene, die bisher überwiegend manuell entwickelt werden mussten

A partial translation path from MathLang to Isabelle

This dissertation describes certain developments in computer techniques formanagingmathematical knowledge. Computers currently assistmathematicians in presenting and archiving mathematics, as well as performing calculation and verification tasks. MathLang is a framework for computerising mathematical documents which features new approaches to these issues. In this dissertation, several extensions to MathLang are described: a system and notation for annotating text; improved methods for annotating complex mathematical expressions; and a method for creating rules to translate document annotations. A typical MathLang work flow for document annotation and computerisation is demonstrated, showing how writing style can complicate the annotation process and how these may be resolved. This workflow is compared with the standard process for producing formal computer theories in a computer proof assistant (Isabelle is the system we choose). The rules for translation are further discussed as a way of producing text in the syntax of Isabelle (without a deep knowledge of the system), with possible use cases of providing a text which can be used either as an aid to learning Isabelle, or as a skeleton framework to be used as a starting point for a formal document

Interactive Theorem Proving with Indexed Formulas

Since more than two decades research in interactive theorem proving (ITP) has attracted growing interest. The primary application domains for ITPs range from hard- and software verification tools to mathematical tutor systems. To support communication with the user in an adequate way these systems depend on calculi that allow for the construction of human understandable and readable proofs. However, most calculi that are used in current ITPs fall still short of supporting the user in an optimal way. The reason is that they enforce the user to construct proofs at a level that is far more detailed than the one that can be found in human constructed proofs. Autexier [Aut03] has recently proposed a new theorem proving framework that allows to model different logics and calculi in an uniform way. In CORE, a proof-state is always represented as a single formula that can be manipulated by the application of replacement rules that are generated from the logical context of the subformula under transformation. This approach also facilitates proof construction at the assertion level which is considered as more closely matching the level at which humans construct proofs (see for instance [Hua94]). Together with COREs window inference technique this makes CORE a potentially well suited basis for interactive theorem proving. This thesis tries to excerpt COREs potential for interactive theorem proving by mapping important concepts of the established proof system ΩMEGA to CORE. A task structure is developed to present the context of a subformula in an intuitive way to the user and to assist him in structuring proofs. The development of a method interpreter makes it possible to specify abstract inference steps declaratively and to encode proof strategies for the use in CORE. The adaptation of ΩMEGAS agent-based suggestion mechanism ΩANTS to CORE helps the user with the identification of applicable methods and replacement rules.Interaktives Theorembeweisen hat in den letzten zwei Jahrzehnten zunehmend an Bedeutung gewonnen. Die Anwendungsbereiche von Systemen mit denen sich Beweise interaktiv führen lassen reichen von der Hard- und Software Verifikation bis zu mathematischen Tutor-Systemen. Die genannten Anwendungsgebiete machen es erforderlich das der Anwender bei der Beweisführung adequat untersützt wird. Um eine entsprechende Kommunikation mit dem Benutzer zu ermöglichen verwenden interaktive Beweissysteme Kalküle, in denen Beweise in einer für den Benutzer nachvollziehbaren Art und Weise, geführt werden können. Trotzdem kann man noch nicht davon sprechen, dass interaktive Beweiser den Benutzer optimal unterstützen. Der Hauptrgund hierfür ist, dass die eingesetzten Kalküle automatisch dazu führen, dass Beweise auf einer viel detailliertern Ebene geführt werden müssen, als man typischerweise in einem mathematischen Beweis finden würde. Autexier [Aut03]hat kürzlich eine neue logische Umgebung für die Beweissuche entwickelt, welche es ermöglicht verschiedene Logiken und Kalküle einheitlich zu modellieren. In CORE ist ein Beweiszustand immer als eine einzige Formel repräsentiert, welche durch das Anwenden von Ersetzungsregeln, die aus dem Kontext einer Teilformel abgeleitet werden, transformiert werden kann. Diese Herangehensweise erleichtert es auch, Beweise auf der sogenannten Assertion-Ebene (vgl. [Hua94]) zu führen, welche allgemein als eine natürlichere Ebene für die Beweisführung angesehen wird. Zusammen mit der Window-Inferenz Technik, die von CORE unterstützt, wird stellt CORE ein System dar das potentiell als eine verbesserte Grundlage für die interaktive Beweissuche angesehen werden kann. In dieser Arbeit geht es darum, das Potential von CORE im Hinblick auf die interaktive Beweiskonstruktion auszunutzen. Dieses geschieht zum einen dadurch, dass etablierte Konzepte im Bereich des interaktiven Beweisens, wie sie auch im Beweis-System ΩMEGA verwendet werden, auf das CORE-System abgebildet werden. Desweiteren wird eine Task-Srukture entwickelt, die es zum einen ermöglicht, den logischen Kontext einer Teilformel für den Benutzer verständlich aufzubereiten und darzustellen; zum anderen untersützt sie den Anwender auch darin, Beweise strukturiert zu führen. Der Entwurf eines Methoden-Interpreters ermöglicht es, abstrakte Beweisschritte zu kodieren und im System anzuwenden. Die Anpassung des Vorschlags-Mechanismus ΩANTS an CORE stellt eine weitere Unterstützung für den Benutzer bereit, indem sie automatisch Vorschläge über mögliche Fortsetzungen eines Beweises generiert