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La structure de Jordan des matrices de transfert des modĂšles de boucles et la relation avec les hamiltoniens XXZ
Les modĂšles sur rĂ©seau comme ceux de la percolation, dâIsing et de Potts servent
à décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution
analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modĂšles statistiques bidimensionnels sont
invariants sous les transformations conformes et la construction de théories des
champs conformes rationnelles, limites continues des modĂšles statistiques, permet
un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent
cependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut
ĂȘtre Ă©largi pour inclure les modĂšles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modĂšles seraient alors dĂ©crits, dans la limite dâĂ©chelle, par
des thĂ©ories des champs logarithmiques et les reprĂ©sentations de lâalgĂšbre de Virasoro
intervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables.
La matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un Ă©lĂ©ment de lâalgĂšbre de Temperley-
Lieb, se manifeste dans les thĂ©ories physiques Ă lâaide des reprĂ©sentations
de connectivitĂ©s Ï (link modules). Lâespace vectoriel sur lequel agit cette reprĂ©sentation se dĂ©compose en secteurs Ă©tiquetĂ©s par un paramĂštre physique, le nombre d de dĂ©fauts. Lâaction de cette reprĂ©sentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thĂšse est consacrĂ©e Ă lâidentification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces reprĂ©sentations. Le paramĂštre ÎČ = 2 cos λ = â(q + 1/q) fixe la thĂ©orie : ÎČ = 1 pour la percolation et â2 pour le modĂšle dâIsing, par exemple.
Sur la gĂ©omĂ©trie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possĂšde les mĂȘmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous Ă©tudions la non
diagonalisabilitĂ© de F_N Ă lâaide des divergences de certaines composantes de ses
vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans
Ï(D_N(λ, u)) lâexistence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, dâČ lorsque certaines contraintes sur λ, d, dâČ et N sont satisfaites.
Pour le modĂšle de polymĂšres denses critique (ÎČ = 0) sur le ruban, les valeurs
propres de Ï(D_N(λ, u)) Ă©taient connues, mais les dĂ©gĂ©nĂ©rescences conjecturĂ©es. En
construisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace
des modules de spins du modĂšle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture.
Nous montrons aussi que la restriction de lâhamiltonien de boucles Ă un secteur
donnĂ© est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de lâhamiltonien
XX, non triviale pour N pair seulement.
Enfin nous Ă©tudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, Îœ)
pour des conditions aux frontiĂšres pĂ©riodiques. La matrice T_N(λ, Îœ) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = Ïa/b, et a, b â ZĂ. Lâapproche
par F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excÚde 2 dans certains cas et peut croßtre indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modÚle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramÚtre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et
discutons lâexistence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang.Lattice models such as percolation, the Ising model and the Potts model are useful
for the description of phase transitions in two dimensions. Finding analytical solutions is done by calculating the partition function, which in turn requires finding
eigenvalues of transfer matrices. At the critical point, the two dimensional statistical models are invariant under conformal transformations and the construction of rational conformal field theories, as the continuum limit of these lattice models, allows one to compute the partition function at the critical point. Many researchers think however that the paradigm of rational conformal conformal field theories can be extended to include models with non diagonalizable transfer matrices. These models would then be described, in the scaling limit, by logarithmic conformal field theories and the representations of the Virasoro algebra coming into play would be indecomposable.
We recall the construction of the double-row transfer matrix D_N(λ, u) of the
Fortuin-Kasteleyn model, seen as an element of the Temperley-Lieb algebra. This transfer matrix comes into play in physical theories through its representation in link modules (or standard modules). The vector space on which this representation acts decomposes into sectors labelled by a physical parameter d, the number of defects, which remains constant or decreases in the link representations. This thesis is devoted to the identification of the Jordan structure of D_N(λ, u) in the link representations.
The parameter ÎČ = 2 cos λ = â(q + 1/q) fixes the theory : for instance ÎČ = 1 for percolation and â2 for the Ising model.
On the geometry of the strip with open boundary conditions, we show that D_N(λ, u) has the same Jordan blocks as its highest Fourier coefficient, F_N. We study
the non-diagonalizability of F_N through the divergences of some of the eigenstates of Ï(F_N) that appear at the critical values of λ. The Jordan cells we find in Ï(D_N(λ, u)) have rank 2 and couple sectors d and dâČ when specific constraints on λ, d, dâČ and N are satisfied.
For the model of critical dense polymers (ÎČ = 0) on the strip, the eigenvalues
of Ï(D_N(λ, u)) were known, but their degeneracies only conjectured. By constructing an isomorphism between the link modules on the strip and a subspace of spin
modules of the XXZ model at q = i, we prove this conjecture. We also show that the restriction of the Hamiltonian to any sector d is diagonalizable, and that the XX
Hamiltonian has rank 2 Jordan cells when N is even.
Finally, we study the Jordan structure of the transfer matrix T_N(λ, Μ) for periodic
boundary conditions. When λ = Ïa/b and a, b â ZĂ, the matrix T_N(λ, Îœ) has Jordan blocks between sectors, but also within sectors. The approach using F_N admits
a generalization to the present case and allows us to probe the Jordan cells
that tie different sectors. The rank of these cells exceeds 2 in some cases and can
grow indefinitely with N. For the Jordan blocks within a sector, we show that the
link modules on the cylinder and the XXZ spin modules are isomorphic except for
specific curves in the (q, v) plane. By using the behavior of the transformation i_N^d in a neighborhood of the critical values (q_c, v_c), we explicitly build Jordan partners of rank 2 and discuss the existence of Jordan cells with higher rank