Finding first foliation tangencies in the Lorenz system

This is the final version of the article. Available from SIAM via the DOI in this record.Classical studies of chaos in the well-known Lorenz system are based on reduction to the one-dimensional Lorenz map, which captures the full behavior of the dynamics of the chaotic Lorenz attractor. This reduction requires that the stable and unstable foliations on a particular Poincar e section are transverse locally near the chaotic Lorenz attractor. We study when this so-called foliation condition fails for the rst time and the classic Lorenz attractor becomes a quasi-attractor. This transition is characterized by the creation of tangencies between the stable and unstable foliations and the appearance of hooked horseshoes in the Poincar e return map. We consider how the three-dimensional phase space is organized by the global invariant manifolds of saddle equilibria and saddle periodic orbits | before and after the loss of the foliation condition. We compute these global objects as families of orbit segments, which are found by setting up a suitable two-point boundary value problem (BVP). We then formulate a multi-segment BVP to nd the rst tangency between the stable foliation and the intersection curves in the Poincar e section of the two-dimensional unstable manifold of a periodic orbit. It is a distinct advantage of our BVP set-up that we are able to detect and readily continue the locus of rst foliation tangency in any plane of two parameters as part of the overall bifurcation diagram. Our computations show that the region of existence of the classic Lorenz attractor is bounded in each parameter plane. It forms a slanted (unbounded) cone in the three-parameter space with a curve of terminal-point or T-point bifurcations on the locus of rst foliation tangency; we identify the tip of this cone as a codimension-three T-point-Hopf bifurcation point, where the curve of T-point bifurcations meets a surface of Hopf bifurcation. Moreover, we are able to nd other rst foliation tangencies for larger values of the parameters that are associated with additional T-point bifurcations: each tangency adds an extra twist to the central region of the quasi-attractor

Numerical bifurcation analysis of homoclinic orbits embedded in one-dimensional manifolds of maps

We describe new methods for initializing the computation of homoclinic orbits for maps in a state space with arbitrary dimension and for detecting their bifurcations. The initialization methods build on known and improved methods for computing one-dimensional stable and unstable manifolds. The methods are implemented in MatContM, a freely available toolbox in Matlab for numerical analysis of bifurcations of fixed points, periodic orbits, and connecting orbits of smooth nonlinear maps. The bifurcation analysis of homoclinic connections under variation of one parameter is based on continuation methods and allows us to detect all known codimension 1 and 2 bifurcations in three-dimensional (3D) maps, including tangencies and generalized tangencies. MatContM provides a graphical user interface, enabling interactive control for all computations. As the prime new feature, we discuss an algorithm for initializing connecting orbits in the important special case where either the stable or unstable manifold is one-dimensional, allowing us to compute all homoclinic orbits to saddle points in 3D maps. We illustrate this algorithm in the study of the adaptive control map, a 3D map introduced in 1991 by Frouzakis, Adomaitis, and Kevrekidis, to obtain a rather complete bifurcation diagram of the resonance horn in a 1:5 Neimark-Sacker bifurcation point, revealing new features

Quantifying joint behavioral states in zebrafish (Danio rerio) dyadic contests through interpretable variables

Tese de Mestrado, Engenharia Biomédica e Biofísica, 2021, Universidade de Lisboa, Faculdade de CiênciasO comportamento animal é uma área fascinante do ponto de vista físico, no entanto ainda existem vários desafios associados à construção de modelos ou ao desenvolvimento de teorias do comportamento em física. Um dos desafios é desenvolver modelos diretamente dos dados, eliminando o viés antropocêntrico que existe na definição de estados comportamentais. Um bom exemplo da complexidade associada ao comportamento pode ser encontrado em interações sociais, nomeadamente interações agonistas entre peixes-zebra (Danio rerio). Estas interações são bem compreendidas e estereotípicas, e existem catálogos a descrever os estados comportamentais associados a cada fase da interação. Isto e a versatilidade genética a que o peixe zebra se encontra associado, tornam esta interação ideal para o nosso estudo. O nosso objetivo principal consiste na tentativa de derivar um conjunto de estados comportamentais diretamente a partir dos dados experimentais obtidos, sendo estes estados definidos para o conjunto, e não individualmente. Fazemos isso sob a assunção de em interações sociais, estados comportamentais dependem dos elementos envolvidos nessa interação (neste caso, são peixes-zebra) e que esta não é completamente descrita, exceto se levar ambos em conta simultaneamente. Os dados são esqueletos tridimensionais dos 2 peixes-zebra num volume. O processo de aquisição desses dados consiste na aquisição de imagens em 3 planos bidimensionais com câmaras de alta definição, e um pipeline de processamento, que combina várias redes neuronais para a identificação de pontos corporais, a atribuição de identidade temporal aos peixes envolvidos, e a interpolação das imagens nos diferentes planos. Este processo permite a conversão de vários vídeos em sinais temporais que podem ser manipulados e processados de forma adequada. Usamos variáveis interpretáveis, no caso, a distância, os alinhamentos de direcção e aceleração, e os ritmos de batimento de cauda. Essas variáveis embora sejam simples, podem dizer bastante informação sobre a natureza do comportamento, sendo úteis numa exploração inicial. Definimos estados comportamentais compostos (colecção de vários comportamentos efectuados pelos peixes ao longo de um determinado período de tempo) e exploramos a dinâmica de uma luta nesta descrição simplificada. O sistema que resulta das variáveis definidas possui 6 dimensões, projectamos esse sistema para um plano bidimensional para melhor análise. Efectua-se um histograma das novas variáveis, e ter uma estimativa da densidade de probabilidade através da convolução do mesmo com uma gaussiana bidimensional. Detecta-se os picos de densidade, que neste sistema podem ser interpretados como estados comportamentais. Com essa descrição é possível gerar uma sequência simbólica que representa a dinâmica da interacção como sendo a transição entre vários estados comportamentais discretos. Constrói-se uma matriz que representa a transição entre os vários estados, e por decomposição espectral pode-se observar o comportamento dos valores próprios em função do número de transições e é possível decompor os estados em vários conjuntos através dos vectores próprios, cuja dinâmica entre eles é representada pelo valor próprio associado. Através da sequência simbólica é possível uma descrição da interacção entre os elementos, tendo inclusive informação sobre a escala temporal associada à dinâmica entre esses estados. Ao associar os clusters aos diferentes estados comportamentais compostos definidos previamente, é possível ver que certos clusters se encontram associados, e apresenta uma certa estrutura, que pode ser representativa da dinâmica real. Também é possível determinar a escala temporal de interações entre diferentes conjuntos de clusters. Foi possível determinar que os comportamentos ocorrem em escalas temporais maiores do que a escala típica para processo de Markov, e a escala temporal mais elevada se encontra associada a transição entre estados associados à agressão entre o par, e estados associados aos períodos entre lutas. Mostramos que é possível obter uma estrutura comportamental da luta entre dois peixes-zebra utilizando as variáveis simples que definimos. Isto é um framework que permite explorar a dinâmica da sua interação em maior detalhe, a utilizar variáveis ou representações mais precisas, que podem não ser interpretáveis