Multi-parametric Analysis for Mixed Integer Linear Programming: An Application to Transmission Planning and Congestion Control

Enhancing existing transmission lines is a useful tool to combat transmission congestion and guarantee transmission security with increasing demand and boosting the renewable energy source. This study concerns the selection of lines whose capacity should be expanded and by how much from the perspective of independent system operator (ISO) to minimize the system cost with the consideration of transmission line constraints and electricity generation and demand balance conditions, and incorporating ramp-up and startup ramp rates, shutdown ramp rates, ramp-down rate limits and minimum up and minimum down times. For that purpose, we develop the ISO unit commitment and economic dispatch model and show it as a right-hand side uncertainty multiple parametric analysis for the mixed integer linear programming (MILP) problem. We first relax the binary variable to continuous variables and employ the Lagrange method and Karush-Kuhn-Tucker conditions to obtain optimal solutions (optimal decision variables and objective function) and critical regions associated with active and inactive constraints. Further, we extend the traditional branch and bound method for the large-scale MILP problem by determining the upper bound of the problem at each node, then comparing the difference between the upper and lower bounds and reaching the approximate optimal solution within the decision makers' tolerated error range. In additional, the objective function's first derivative on the parameters of each line is used to inform the selection of lines to ease congestion and maximize social welfare. Finally, the amount of capacity upgrade will be chosen by balancing the cost-reduction rate of the objective function on parameters and the cost of the line upgrade. Our findings are supported by numerical simulation and provide transmission line planners with decision-making guidance

Almost Symmetries and the Unit Commitment Problem

This thesis explores two main topics. The first is almost symmetry detection on graphs. The presence of symmetry in combinatorial optimization problems has long been considered an anathema, but in the past decade considerable progress has been made. Modern integer and constraint programming solvers have automatic symmetry detection built-in to either exploit or avoid symmetric regions of the search space. Automatic symmetry detection generally works by converting the input problem to a graph which is in exact correspondence with the problem formulation. Symmetry can then be detected on this graph using one of the excellent existing algorithms; these are also the symmetries of the problem formulation.The motivation for detecting almost symmetries on graphs is that almost symmetries in an integer program can force the solver to explore nearly symmetric regions of the search space. Because of the known correspondence between integer programming formulations and graphs, this is a first step toward detecting almost symmetries in integer programming formulations. Though we are only able to compute almost symmetries for graphs of modest size, the results indicate that almost symmetry is definitely present in some real-world combinatorial structures, and likely warrants further investigation.The second topic explored in this thesis is integer programming formulations for the unit commitment problem. The unit commitment problem involves scheduling power generators to meet anticipated energy demand while minimizing total system operation cost. Today, practitioners usually formulate and solve unit commitment as a large-scale mixed integer linear program.The original intent of this project was to bring the analysis of almost symmetries to the unit commitment problem. Two power generators are almost symmetric in the unit commitment problem if they have almost identical parameters. Along the way, however, new formulations for power generators were discovered that warranted a thorough investigation of their own. Chapters 4 and 5 are a result of this research.Thus this work makes three contributions to the unit commitment problem: a convex hull description for a power generator accommodating many types of constraints, an improved formulation for time-dependent start-up costs, and an exact symmetry reduction technique via reformulation

On High-Performance Benders-Decomposition-Based Exact Methods with Application to Mixed-Integer and Stochastic Problems

RÉSUMÉ : La programmation stochastique en nombres entiers (SIP) combine la difficulté de l’incertitude et de la non-convexité et constitue une catégorie de problèmes extrêmement difficiles à résoudre. La résolution efficace des problèmes SIP est d’une grande importance en raison de leur vaste applicabilité. Par conséquent, l’intérêt principal de cette dissertation porte sur les méthodes de résolution pour les SIP. Nous considérons les SIP en deux étapes et présentons plusieurs algorithmes de décomposition améliorés pour les résoudre. Notre objectif principal est de développer de nouveaux schémas de décomposition et plusieurs techniques pour améliorer les méthodes de décomposition classiques, pouvant conduire à résoudre optimalement divers problèmes SIP. Dans le premier essai de cette thèse, nous présentons une revue de littérature actualisée sur l’algorithme de décomposition de Benders. Nous fournissons une taxonomie des améliorations algorithmiques et des stratégies d’accélération de cet algorithme pour synthétiser la littérature et pour identifier les lacunes, les tendances et les directions de recherche potentielles. En outre, nous discutons de l’utilisation de la décomposition de Benders pour développer une (méta- )heuristique efficace, décrire les limites de l’algorithme classique et présenter des extensions permettant son application à un plus large éventail de problèmes. Ensuite, nous développons diverses techniques pour surmonter plusieurs des principaux inconvénients de l’algorithme de décomposition de Benders. Nous proposons l’utilisation de plans de coupe, de décomposition partielle, d’heuristiques, de coupes plus fortes, de réductions et de stratégies de démarrage à chaud pour pallier les difficultés numériques dues aux instabilités, aux inefficacités primales, aux faibles coupes d’optimalité ou de réalisabilité, et à la faible relaxation linéaire. Nous testons les stratégies proposées sur des instances de référence de problèmes de conception de réseau stochastique. Des expériences numériques illustrent l’efficacité des techniques proposées. Dans le troisième essai de cette thèse, nous proposons une nouvelle approche de décomposition appelée méthode de décomposition primale-duale. Le développement de cette méthode est fondé sur une reformulation spécifique des sous-problèmes de Benders, où des copies locales des variables maîtresses sont introduites, puis relâchées dans la fonction objective. Nous montrons que la méthode proposée atténue significativement les inefficacités primales et duales de la méthode de décomposition de Benders et qu’elle est étroitement liée à la méthode de décomposition duale lagrangienne. Les résultats de calcul sur divers problèmes SIP montrent la supériorité de cette méthode par rapport aux méthodes classiques de décomposition. Enfin, nous étudions la parallélisation de la méthode de décomposition de Benders pour étendre ses performances numériques à des instances plus larges des problèmes SIP. Les variantes parallèles disponibles de cette méthode appliquent une synchronisation rigide entre les processeurs maître et esclave. De ce fait, elles souffrent d’un important déséquilibre de charge lorsqu’elles sont appliquées aux problèmes SIP. Cela est dû à un problème maître difficile qui provoque un important déséquilibre entre processeur et charge de travail. Nous proposons une méthode Benders parallèle asynchrone dans un cadre de type branche-et-coupe. L’assouplissement des exigences de synchronisation entraine des problèmes de convergence et d’efficacité divers auxquels nous répondons en introduisant plusieurs techniques d’accélération et de recherche. Les résultats indiquent que notre algorithme atteint des taux d’accélération plus élevés que les méthodes synchronisées conventionnelles et qu’il est plus rapide de plusieurs ordres de grandeur que CPLEX 12.7.----------ABSTRACT : Stochastic integer programming (SIP) combines the difficulty of uncertainty and non-convexity, and constitutes a class of extremely challenging problems to solve. Efficiently solving SIP problems is of high importance due to their vast applicability. Therefore, the primary focus of this dissertation is on solution methods for SIPs. We consider two-stage SIPs and present several enhanced decomposition algorithms for solving them. Our main goal is to develop new decomposition schemes and several acceleration techniques to enhance the classical decomposition methods, which can lead to efficiently solving various SIP problems to optimality. In the first essay of this dissertation, we present a state-of-the-art survey of the Benders decomposition algorithm. We provide a taxonomy of the algorithmic enhancements and the acceleration strategies of this algorithm to synthesize the literature, and to identify shortcomings, trends and potential research directions. In addition, we discuss the use of Benders decomposition to develop efficient (meta-)heuristics, describe the limitations of the classical algorithm, and present extensions enabling its application to a broader range of problems. Next, we develop various techniques to overcome some of the main shortfalls of the Benders decomposition algorithm. We propose the use of cutting planes, partial decomposition, heuristics, stronger cuts, and warm-start strategies to alleviate the numerical challenges arising from instabilities, primal inefficiencies, weak optimality/feasibility cuts, and weak linear relaxation. We test the proposed strategies with benchmark instances from stochastic network design problems. Numerical experiments illustrate the computational efficiency of the proposed techniques. In the third essay of this dissertation, we propose a new and high-performance decomposition approach, called Benders dual decomposition method. The development of this method is based on a specific reformulation of the Benders subproblems, where local copies of the master variables are introduced and then priced out into the objective function. We show that the proposed method significantly alleviates the primal and dual shortfalls of the Benders decomposition method and it is closely related to the Lagrangian dual decomposition method. Computational results on various SIP problems show the superiority of this method compared to the classical decomposition methods as well as CPLEX 12.7. Finally, we study parallelization of the Benders decomposition method. The available parallel variants of this method implement a rigid synchronization among the master and slave processors. Thus, it suffers from significant load imbalance when applied to the SIP problems. This is mainly due to having a hard mixed-integer master problem that can take hours to be optimized. We thus propose an asynchronous parallel Benders method in a branchand- cut framework. However, relaxing the synchronization requirements entails convergence and various efficiency problems which we address them by introducing several acceleration techniques and search strategies. In particular, we propose the use of artificial subproblems, cut generation, cut aggregation, cut management, and cut propagation. The results indicate that our algorithm reaches higher speedup rates compared to the conventional synchronized methods and it is several orders of magnitude faster than CPLEX 12.7

Transportation Optimization in Tactical and Operational Wood Procurement Planning

RÉSUMÉ : L'économie canadienne est dépendante du secteur forestier. Cependant, depuis quelques années, ce secteur fait face à de nouveaux défis, tels que la récession mondiale, un dollar canadien plus fort et une baisse significative de la demande de papier journal. Dans ce nouveau contexte, une planification plus efficace de la chaîne d'approvisionnement est devenue un élément essentiel pour assurer le succès et la pérennité du secteur. Les coûts de transport représentent une dépense importante pour les entreprises forestières. Ceci est dû aux grands volumes de produits qui doivent être transportés sur de grandes distances, en particulier dans le contexte géographique d'un grand pays comme le Canada. Même si les problèmes de tournée de véhicules sont bien couverts dans la littérature, le secteur forestier a beaucoup de caractéristiques uniques qui nécessitent de nouvelles formulations des problèmes et des algorithmes de résolution. À titre d’exemple, les volumes à transporter sont importants comparés à d’autres secteurs et il existe aussi des contraintes de synchronisation à prendre en compte pour planifier l'équipement qui effectue le chargement et le déchargement des véhicules. Cette thèse traite des problèmes de planification de la chaîne logistique d'approvisionnement en bois: récolter diverses variétés de bois en forêt et les transporter par camion aux usines et aux zones de stockage intermédiaire en respectant la demande pour les différents produits forestiers. Elle propose trois nouvelles formulations de ces problèmes. Ces problèmes sont différents les uns des autres dans des aspects tel que l'horizon de planification et des contraintes industrielles variées. Une autre contribution de cette thèse sont les méthodologies développées pour résoudre ces problèmes dans le but d’obtenir des calendriers d’approvisionnement applicables par l’industrie et qui minimisent les coûts de transport. Cette minimisation est le résultat d’allocations plus intelligentes des points d'approvisionnement aux points de demande, d’une tournée de véhicules qui minimise la distance parcourue à vide et de décisions d'ordonnancement de véhicules qui minimisent les files d’attentes des camions pour le chargement et le déchargement. Dans le chapitre 3 on considère un modèle de planification tactique de la récolte. Dans ce problème, on détermine la séquence de récolte pour un ensemble de sites forestiers, et on attribue des équipes de récolte à ces sites. La formulation en programme linéaire en nombres entiers (PLNE) de ce problème gère les décisions d'inventaire et alloue les flux de bois à des entrepreneurs de transport routier sur un horizon de planification annuel. La nouveauté de notre approche est d'intégrer les décisions de tournée des véhicules dans la PLNE. Cette méthode profite de la flexibilité du plan de récolte pour satisfaire les horaires des conducteurs dans le but de conserver une flotte constante de conducteurs permanents et également pour minimiser les coûts de transport. Une heuristique de génération de colonnes est créée pour résoudre ce problème avec un sous-problème qui consiste en un problème du plus court chemin avec capacités (PCCC) avec une solution qui représente une tournée de véhicule. Dans le chapitre 4, on suppose que le plan de récolte est fixé et on doit déterminer les allocations et les inventaires du modèle tactique précédent, avec aussi des décisions de tournée et d'ordonnancement de véhicules. On synchronise les véhicules avec les chargeuses dans les forêts et dans les usines. Les contraintes de synchronisation rendent le problème plus difficile. L’objectif est de déterminer la taille de la flotte de véhicules dans un modèle tactique et de satisfaire la demande des usines avec un coût minimum. Le PLNE est résolu par une heuristique de génération de colonnes. Le sous-problème consiste en un PCCC avec une solution qui représente une tournée et un horaire quotidien d'un véhicule. Dans le chapitre 5, on considère un PLNE du problème similaire à celui étudié dans le chapitre 4, mais dans un contexte plus opérationnel: un horizon de planification d'un mois. Contrairement aux horaires quotidiens de véhicules du problème précédent, on doit planifier les conducteurs par semaine pour gérer les situations dans lesquelles le déchargement d’un camion s’effectue le lendemain de la journée où le chargement a eu lieu. Cette situation se présente quand les conducteurs travaillent la nuit ou quand ils travaillent après les heures de fermeture de l'usine et doivent décharger leur camion au début de la journée suivante. Ceci permet aussi une gestion plus directe des exigences des horaires hebdomadaires. Les contraintes de synchronisation entre les véhicules et les chargeuses qui sont présentes dans le PLNE permettent de créer un horaire pour chaque opérateur de chargeuse. Les coûts de transport sont alors minimisés. On résout le problème à l’aide d’une heuristique de génération de colonnes. Le sous-problème consiste en un PCCC avec une solution qui représente une tournée et un horaire hebdomadaire d’un véhicule.----------ABSTRACT : The Canadian economy is heavily dependent on the forestry industry; however in recent years, this industry has been adapting to new challenges including a worldwide economic downturn, a strengthening Canadian dollar relative to key competing nations, and a significant decline in newsprint demand. Therefore efficiency in supply chain planning is key for the industry to succeed in the future. Transportation costs in particular represent a significant expense to forestry companies. This is due to large volumes of product that must be transported over very large distances, especially in the geographic context of a country the size of Canada. While the field of vehicle routing problems has been heavily studied and applied to many industries for decades, the forestry industry has many unique attributes that necessitate new problem formulations and solution methodologies. These include, but are not limited to, very large (significantly higher than vehicle capacity) volumes to be transported and synchronization constraints to schedule the equipment that load and unload the vehicles. This thesis is set in the wood procurement supply chain of harvesting various assortments of wood in the forest, transporting by truck to mills and intermediate storage locations, while meeting mill demands of the multiple harvested products, and contributes three new problem formulations. These problems differ with respect to planning horizon and varied industrial constraints. Another contribution is the methodologies developed to resolve these problems to yield industrially applicable schedules that minimize vehicle costs: from smarter allocations of supply points to demand points, vehicle routing decisions that optimize the occurrence of backhaul savings, and vehicle scheduling decisions that minimize queues of trucks waiting for loading and unloading equipment. In Chapter 3, we consider a tactical harvest planning model. In this problem we determine the sequence of the harvest of various forest sites, and assign harvest teams to these sites. The MILP formulation of this problem makes inventory decisions and allocates wood flow to trucking contractors over the annual planning horizon, subject to demand constraints and trucking capacities. The novel aspect of our approach is to incorporate vehicle routing decisions into our MILP formulation. This takes advantage of the relatively higher flexibility of the harvest plan to ensure driver shifts of desired characteristics, which is important to retain a permanent driver fleet, and also prioritize the creation of backhaul opportunities in the schedule. A branch-and-price heuristic is developed to resolve this problem, with the subproblem being a vehicle routing problem that represents a geographical shift for a vehicle. In Chapter 4, we assume the harvest plan to be an input, and integrate the allocation and inventory variables of the previous tactical model with vehicle routing and scheduling decisions, synchronizing the vehicles with loaders in the forests and at the mills. The synchronization constraints make a considerably more difficult problem. We use this as a tactical planning model, with no specific driver constraints but a goal of determining vehicle fleet size to maximize their utilization. The objective is to meet mill demands over the planning horizon while minimizing transportation and inventory costs, subject to capacity, wood freshness, fleet balancing, and other industrial constraints. The MILP formulation of the problem is resolved via a column generation algorithm, with the subproblem being a daily vehicle routing and scheduling problem. In Chapter 5, we consider a similar problem formulation to that studied in Chapter 4, but set in a more operational context over a planning horizon of approximately one month. Unlike the daily vehicle schedules of the previous problem, we must schedule drivers by week to manage situations of picking up a load on one day and delivering on another day, which is necessary when drivers work overnight shifts or when they work later than mill closing hours and must unload their truck on the next day's shift. This also allows for more direct management of weekly schedule requirements. Loader synchronization constraints are present in the model which derives a schedule for each loader operator. Given mill demands, transportation costs are then minimized. We resolve the problem via a branch-and-price heuristic, with a subproblem of a weekly vehicle routing and scheduling problem. We also measure the benefits of applying interior point stabilization to the resource synchronization constraints in order to improve the column generation, a new application of the technique