Implicitization of curves and (hyper)surfaces using predicted support

We reduce implicitization of rational planar parametric curves and (hyper)surfaces to linear algebra, by interpolating the coefficients of the implicit equation. For predicting the implicit support, we focus on methods that exploit input and output structure in the sense of sparse (or toric) elimination theory, namely by computing the Newton polytope of the implicit polynomial, via sparse resultant theory. Our algorithm works even in the presence of base points but, in this case, the implicit equation shall be obtained as a factor of the produced polynomial. We implement our methods on Maple, and some on Matlab as well, and study their numerical stability and efficiency on several classes of curves and surfaces. We apply our approach to approximate implicitization, and quantify the accuracy of the approximate output, which turns out to be satisfactory on all tested examples; we also relate our measures to Hausdorff distance. In building a square or rectangular matrix, an important issue is (over)sampling the given curve or surface: we conclude that unitary complexes offer the best tradeoff between speed and accuracy when numerical methods are employed, namely SVD, whereas for exact kernel computation random integers is the method of choice. We compare our prototype to existing software and find that it is rather competitive

Sparse implicitization by interpolation: Characterizing non-exactness and an application to computing discriminants

We revisit implicitization by interpolation in order to examine its properties in the context of sparse elimination theory. Based on the computation of a superset of the implicit support, implicitization is reduced to computing the nullspace of a numeric matrix. The approach is applicable to polynomial and rational parameterizations of curves and (hyper)surfaces of any dimension, including the case of parameterizations with base points. Our support prediction is based on sparse (or toric) resultant theory, in order to exploit the sparsity of the input and the output. Our method may yield a multiple of the implicit equation: we characterize and quantify this situation by relating the nullspace dimension to the predicted support and its geometry. In this case, we obtain more than one multiples of the implicit equation; the latter can be obtained via multivariate polynomial gcd (or factoring). All of the above techniques extend to the case of approximate computation, thus yielding a method of sparse approximate implicitization, which is important in tackling larger problems. We discuss our publicly available Maple implementation through several examples, including the benchmark of bicubic surface. For a novel application, we focus on computing the discriminant of a multivariate polynomial, which characterizes the existence of multiple roots and generalizes the resultant of a polynomial system. This yields an efficient, output-sensitive algorithm for computing the discriminant polynomial

Sparse implicitization by interpolation: Geometric computations using matrix representations

Based on the computation of a superset of the implicit support, implicitization of a parametrically given hyper-surface is reduced to computing the nullspace of a numeric matrix. Our approach exploits the sparseness of the given parametric equations and of the implicit polynomial. In this work, we study how this interpolation matrix can be used to reduce some key geometric predicates on the hyper-surface to simple numerical operations on the matrix, namely membership and sidedness for given query points. We illustrate our results with examples based on our Maple implementation

Changing representation of curves and surfaces: exact and approximate methods

Το κύριο αντικείμενο μελέτης στην παρούσα διατριβή είναι η αλλαγή αναπαράστασης γεωμετρικών αντικειμένων από παραμετρική σε αλγεβρική (ή πεπλεγμένη) μορφή. Υπολογίζουμε την αλγεβρική εξίσωση παρεμβάλλοντας τους άγνωστους συντελεστές του πολυωνύμου δεδομένου ενός υπερσυνόλου των μονωνύμων του. Το τελευταίο υπολογίζεται απο το Newton πολύτοπο της αλγεβρικής εξίσωσης που υπολογίζεται από μια πρόσφατη μέθοδο πρόβλεψης του συνόλου στήριξης της εξίσωσης. H μέθοδος πρόβλεψης του συνόλου στήριξης βασίζεται στην αραιή (ή τορική) απαλοιφή: το πολύτοπο υπολογίζεται από το Newton πολύτοπο της αραιής απαλοίφουσας αν θεωρίσουμε την παραμετροποίηση ως πολυωνυμικό σύστημα. Στα μονώνυμα που αντιστοιχούν στα ακέραια σημεία του Newton πολυτόπου δίνονται τιμές ώστε να σχηματίσουν έναν αριθμητικό πίνακα. Ο πυρήνα του πίνακα αυτού, διάστασης 1 σε ιδανική περίπτωση, περιέχει τους συντελεστές των μονωνύμων στην αλγεβρική εξίσωση. Υπολογίζουμε τον πυρήνα του πίνακα είτε συμβολικά είτε αριθμητικά εφαρμόζοντας την μέθοδο του singular value decomposition (SVD). Προτείνουμε τεχνικές για να διαχειριστούμε την περίπτωση ενός πολυδιάστατου πυρήνα το οποίο εμφανίζεται όταν το προβλεπόμενο σύνολο στήριξης είναι ένα υπερσύνολο του πραγματικού. Αυτό δίνει έναν αποτελεσματικό ευαίσθητο-εξόδου αλγόριθμο υπολογισμού της αλγεβρικής εξίσωσης. Συγκρίνουμε διαφορετικές προσεγγίσεις κατασκευής του πίνακα μέσω των λογισμικών Maple και SAGE. Στα πειράματά μας χρησιμοποιήθηκαν ρητές καμπύλες και επιφάνειες καθώς και NURBS. Η μέθοδός μας μπορεί να εφαρμοστεί σε πολυώνυμα ή ρητές παραμετροποιήσεις επίπεδων καμπυλών ή (υπερ)επιφανειών οποιασδήποτε διάστασης συμπεριλαμβανομένων και των περιπτώσεων με παραμετροποίηση σεσημεία βάσης που εγείρουν σημαντικά ζητήματα για άλλες μεθόδους αλγεβρικοποίησης. Η μέθοδος έχει τον εξής περιορισμό: τα γεωμετρικά αντικείμενα πρέπει να αναπαριστώνται από βάσεις μονωνύμων που στην περίπτωση τριγωνομετρικών παραμετροποιήσεων θα πρέπει να μπορούν να μετασχηματιστούν σε ρητές συναρτήσεις. Επιπλέον η τεχνική που προτείνουμε μπορεί να εφαρμοστεί σε μη γεωμετρικά προβλήματα όπως ο υπολογισμόςτης διακρίνουσας ενός πολυωνύμου με πολλές μεταβλητές ή της απαλοίφουσας ενός συστήματος πολυωνύμων με πολλές μεταβλητές.The main object of study in our dissertation is the representation change of the geometric objects from the parametric form to implicit. We compute the implicit equation interpolating the unknown coefficients of the implicit polynomial given a superset of its monomials. The latter is derived from the Newton polytope of the implicit equation obtained by the recently developed method for support prediction. The support prediction method we use relies on sparse (or toric) elimination: the implicit polytope is obtained from the Newton polytope of the sparse resultant of the system in parametrization, represented as polynomials. The monomials that correspond to the lattice points of the Newton polytope are suitably evaluated to build a numeric matrix, ideally of corank 1. Its kernel contains their coefficients in the implicit equation. We compute kernel of the matrix either symbolically, or numerically, applying singular value decomposition (SVD). We propose techniques for handling the case of the multidimensional kernel space, caused by the predicted support being a superset of the actual. This yields an efficient, output-sensitive algorithm for computing the implicit equation. We compare different approaches for constructing the matrix in Maple and SAGE software. In our experiments we have used classical algebraic curves and surfaces as well as NURBS. Our method can be applied to polynomial or rational parametrizations of planar curves or (hyper)surfaces of any dimension including cases of parameterizations with base points which raise important issues for other implicitization methods. The method has its limits: geometric objects have to be presented using monomial basis; in the case of trigonometric parametrizations they have to be convertible to rational functions. Moreover, the proposed technique can be applied for nongeometric problems such as the computation of the discriminant of a multivariate polynomial or the resultant of a system of multivariate polynomials

Implicitization, Interpolation, and Syzygies

Η αλγεβρικοποίηση καμπυλών και επιφανειών είναι μία θεμελιώδης μετατροπή στην αναπαράσταση γεωμετρικών αντικειμένων από παραμετρική μορφή ή αναπαράσταση νέφους σημείων σε μία αλγεβρική αναπαράσταση, και ειδικότερα ως το μηδενοσύνολο ενός (ή περισσότερων) πολυωνυμικών εξισώσεων. Αυτή η διπλωματική εργασία ερευνά τρία ερωτήματα σχετικά με την έκφραση αυτής της αλγεβρικής αναπαράστασης καμπύλης ή επιφάνειας. Αρχικά, θεωρούμε τη μέθοδο της αραιής παρεμβολής για την αλγεβρικοποίηση: Όταν η βάση του πυρήνα του πίνακα παρεμβολής είναι σε ανοιγμένη κλιμακωτή μορφή, η αναλυτική εξίσωση μπορεί να ληφθεί άμεσα, χωρίς να απαιτούμε υπολογισμούς όπως ΜΚΔ πολυωνύμων πολλών μεταβλητών ή παραγοντοποίηση. Ως δεύτερη συνεισφορά, εξετάζουμε και αξιολογούμε μία αριθμητική μέθοδο που υπολογίζει ένα πολλαπλάσιο της αναλυτικής εξίσωσης, η οποία βασίζεται στη μέθοδο των δυνάμεων. Η τρίτη συνεισφορά αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να προσφέρουμε μία μέθοδο για τον υπολογισμό μίας αναπαράστασης μητρώου μίας ρητής δισδιάστατης ή τρισδιάστατης καμπύλης, ή μίας τρισδιάστατης επιφάνειας, όταν μας δίνεται μόνο ένα επαρκές σύνολο σημείων (νέφος σημείων) πάνω στο αντικείμενο με τέτοιον τρόπο ώστε η τιμή της παραμέτρου να είναι γνωστή ανά σημείο. Η μέθοδός μας επεκτείνει την προσέγγιση των αλγεβρικών συζυγιών για το πρόβλημα της αλγεβρικοποίησης επιφανειών και καμπυλών στην περίπτωση που η παραμετροποίηση δεν δίνεται αλλά υποτίθεται.Implicitization is a fundamental change of representation of geometric objects from a parametric or point cloud representation to an implicit form, namely as the zero set of one (or more) polynomial equation. This thesis examines three questions related to expressing the implicit equation of a curve or a surface. First, we consider a sparse interpolation method for implicitization: When the basis of the kernel of the interpolation matrix is in reduced row echelon form, the implicit equation can be readily obtained, without demanding computations such as multivariate polynomial GCD or factoring. As a second contribution, a numeric method that computes a multiple of the implicit equation based on the power method is tested and evaluated. The third contribution of this thesis is to provide a method for computing a matrix representation of a rational planar or space curve, or a rational surface, when we are only given a sufficiently large sample of points (point cloud) on the object in such a way that the value of the parameter is known per point. Our method extends the approach of algebraic syzygies for implicitization to the case where the parameterization is not given but only assumed

Tropical Implicitization Revisited

Tropical implicitization means computing the tropicalization of a unirational variety from its parametrization. In the case of a hypersurface, this amounts to finding the Newton polytope of the implicit equation, without computing its coefficients. We present a new implementation of this procedure in Oscar.jl. It solves challenging instances, and can be used for classical implicitization as well. We also develop implicitization in higher codimension via Chow forms, and we pose several open questions.Comment: 18 pages, 3 figure

Rational Hausdorff Divisors: a New approach to the Approximate Parametrization of Curves

In this paper we introduce the notion of rational Hausdorff divisor, we analyze the dimension and irreducibility of its associated linear system of curves, and we prove that all irreducible real curves belonging to the linear system are rational and are at finite Hausdorff distance among them. As a consequence, we provide a projective linear subspace where all (irreducible) elements are solutions to the approximate parametrization problem for a given algebraic plane curve. Furthermore, we identify the linear system with a plane curve that is shown to be rational and we develop algorithms to parametrize it analyzing its fields of parametrization. Therefore, we present a generic answer to the approximate parametrization problem. In addition, we introduce the notion of Hausdorff curve, and we prove that every irreducible Hausdorff curve can always be parametrized with a generic rational parametrization having coefficients depending on as many parameters as the degree of the input curve

A sharp interface isogeometric strategy for moving boundary problems

The proposed methodology is first utilized to model stationary and propagating cracks. The crack face is enriched with the Heaviside function which captures the displacement discontinuity. Meanwhile, the crack tips are enriched with asymptotic displacement functions to reproduce the tip singularity. The enriching degrees of freedom associated with the crack tips are chosen as stress intensity factors (SIFs) such that these quantities can be directly extracted from the solution without a-posteriori integral calculation. As a second application, the Stefan problem is modeled with a hybrid function/derivative enriched interface. Since the interface geometry is explicitly defined, normals and curvatures can be analytically obtained at any point on the interface, allowing for complex boundary conditions dependent on curvature or normal to be naturally imposed. Thus, the enriched approximation naturally captures the interfacial discontinuity in temperature gradient and enables the imposition of Gibbs-Thomson condition during solidification simulation. The shape optimization through configuration of finite-sized heterogeneities is lastly studied. The optimization relies on the recently derived configurational derivative that describes the sensitivity of an arbitrary objective with respect to arbitrary design modifications of a heterogeneity inserted into a domain. The THB-splines, which serve as the underlying approximation, produce sufficiently smooth solution near the boundaries of the heterogeneity for accurate calculation of the configurational derivatives. (Abstract shortened by ProQuest.