118 research outputs found
Optimization via Low-rank Approximation for Community Detection in Networks
Community detection is one of the fundamental problems of network analysis,
for which a number of methods have been proposed. Most model-based or
criteria-based methods have to solve an optimization problem over a discrete
set of labels to find communities, which is computationally infeasible. Some
fast spectral algorithms have been proposed for specific methods or models, but
only on a case-by-case basis. Here we propose a general approach for maximizing
a function of a network adjacency matrix over discrete labels by projecting the
set of labels onto a subspace approximating the leading eigenvectors of the
expected adjacency matrix. This projection onto a low-dimensional space makes
the feasible set of labels much smaller and the optimization problem much
easier. We prove a general result about this method and show how to apply it to
several previously proposed community detection criteria, establishing its
consistency for label estimation in each case and demonstrating the fundamental
connection between spectral properties of the network and various model-based
approaches to community detection. Simulations and applications to real-world
data are included to demonstrate our method performs well for multiple problems
over a wide range of parameters.Comment: 45 pages, 7 figures; added discussions about computational complexity
and extension to more than two communitie
Handling convexity-like constraints in variational problems
We provide a general framework to construct finite dimensional approximations
of the space of convex functions, which also applies to the space of c-convex
functions and to the space of support functions of convex bodies. We give
estimates of the distance between the approximation space and the admissible
set. This framework applies to the approximation of convex functions by
piecewise linear functions on a mesh of the domain and by other
finite-dimensional spaces such as tensor-product splines. We show how these
discretizations are well suited for the numerical solution of problems of
calculus of variations under convexity constraints. Our implementation relies
on proximal algorithms, and can be easily parallelized, thus making it
applicable to large scale problems in dimension two and three. We illustrate
the versatility and the efficiency of our approach on the numerical solution of
three problems in calculus of variation : 3D denoising, the principal agent
problem, and optimization within the class of convex bodies.Comment: 23 page
High-dimensional polytopes defined by oracles: algorithms, computations and applications
Η επεξεργασία και ανάλυση γεωμετρικών δεδομένων σε υψηλές διαστάσεις
διαδραματίζει ένα θεμελιώδη ρόλο σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της
μηχανικής. Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν αναπτυχθεί πολλοί επιτυχημένοι
γεωμετρικοί αλγόριθμοι σε 2 και 3 διαστάσεις. Ωστόσο, στις περισσότερες
περιπτώσεις, οι επιδόσεις τους σε υψηλότερες διαστάσεις δεν είναι
ικανοποιητικές. Αυτή η συμπεριφορά είναι ευρέως γνωστή ως κατάρα των μεγάλων
διαστάσεων (curse of dimensionality).
Δυο πλαίσια λύσης που έχουν υιοθετηθεί για να ξεπεραστεί αυτή η δυσκολία είναι
η εκμετάλλευση της ειδικής δομής των δεδομένων, όπως σε περιπτώσεις αραιών
(sparse) δεδομένων ή στην περίπτωση που τα δεδομένα βρίσκονται σε χώρο
χαμηλότερης διάστασης, και ο σχεδιασμός προσεγγιστικών αλγορίθμων. Στη διατριβή
αυτή μελετάμε προβλήματα μέσα σε αυτά τα πλαίσια.
Το κύριο ερευνητικό πεδίο της παρούσας εργασίας είναι η διακριτή και
υπολογιστικής γεωμετρία και οι σχέσεις της με τους κλάδους της επιστήμης των
υπολογιστών και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, όπως είναι η θεωρία πολυτόπων, οι
υλοποιήσεις
αλγορίθμων, οι πιθανοθεωρητικοί γεωμετρικοί αλγόριθμοι, η υπολογιστική
αλγεβρική γεωμετρία και η βελτιστοποίηση. Τα θεμελιώδη γεωμετρικά αντικείμενα
της μελέτης μας είναι τα πολύτοπα, και οι βασικές τους ιδιότητες είναι η
κυρτότητα και ότι ορίζονται από ένα μαντείο (oracle) σε ένα χώρο υψηλής
διάστασης.
Η επεξεργασία και ανάλυση γεωμετρικών δεδομένων σε υψηλές διαστάσεις
διαδραματίζει ένα θεμελιώδη ρόλο σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της
μηχανικής. Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν αναπτυχθεί πολλοί επιτυχημένοι
γεωμετρικοί αλγόριθμοι σε 2 και 3 διαστάσεις. Ωστόσο, στις περισσότερες
περιπτώσεις, οι επιδόσεις τους σε υψηλότερες διαστάσεις δεν είναι
ικανοποιητικές. Δυο πλαίσια λύσης που έχουν υιοθετηθεί για να ξεπεραστεί αυτή η
δυσκολία είναι η εκμετάλλευση της ειδικής δομής των δεδομένων, όπως σε
περιπτώσεις αραιών (sparse) δεδομένων ή στην περίπτωση που τα δεδομένα
βρίσκονται σε χώρο χαμηλότερης διάστασης, και ο σχεδιασμός προσεγγιστικών
αλγορίθμων. Το κύριο ερευνητικό πεδίο της παρούσας εργασίας είναι η διακριτή
και υπολογιστικής γεωμετρία και οι σχέσεις της με τους κλάδους της επιστήμης
των υπολογιστών και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η συμβολή αυτής της διατριβής
είναι τριπλή. Πρώτον, στο σχεδιασμό και την ανάλυση των γεωμετρικών αλγορίθμων
για προβλήματα σε μεγάλες διαστάσεις. Δεύτερον, θεωρητικά αποτελέσματα σχετικά
με το συνδυαστικό χαρακτηρισμό βασικών οικογενειών πολυτόπων. Τρίτον, η
εφαρμογή και πειραματική ανάλυση των προτεινόμενων αλγορίθμων και μεθόδων. Η
ανάπτυξη λογισμικού ανοιχτού κώδικα, που είναι διαθέσιμο στο κοινό και
βασίζεται και επεκτείνει διαδεδομένες γεωμετρικές και αλγεβρικές βιβλιοθήκες
λογισμικού, όπως η CGAL και το polymake.The processing and analysis of high dimensional geometric data plays a
fundamental role in disciplines of science and engineering. The last decades
many successful geometric algorithms has been developed in 2 and 3 dimensions.
However, in most cases their performance in higher dimensions is poor. This
behavior is commonly called the curse of dimensionality. A solution framework
adopted for the healing of the curse of dimensionality is the exploitation of
the special structure of the data, such as sparsity or low intrinsic dimension
and the design of approximation algorithms. The main research area of this
thesis is discrete and computational geometry and its connections to branches
of computer science and applied mathematics. The contribution of this thesis is
threefold. First, the design and analysis of geometric algorithms for problems
concerning high-dimensional, convex polytopes, such as convex hull and volume
computation and their applications to computational algebraic geometry and
optimization. Second, the establishment of combinatorial characterization
results for essential polytope families. Third, the implementation and
experimental analysis of the proposed algorithms and methods. The developed
software is opensource, publicly available and builds on and extends
state-of-the-art geometric and algebraic software libraries such as CGAL and
polymake
- …