Community Detection in Hypergraphen

Viele Datensätze können als Graphen aufgefasst werden, d.h. als Elemente (Knoten) und binäre Verbindungen zwischen ihnen (Kanten). Unter dem Begriff der "Complex Network Analysis" sammeln sich eine ganze Reihe von Verfahren, die die Untersuchung von Datensätzen allein aufgrund solcher struktureller Eigenschaften erlauben. "Community Detection" als Untergebiet beschäftigt sich mit der Identifikation besonders stark vernetzter Teilgraphen. Über den Nutzen hinaus, den eine Gruppierung verwandter Element direkt mit sich bringt, können derartige Gruppen zu einzelnen Knoten zusammengefasst werden, was einen neuen Graphen von reduzierter Komplexität hervorbringt, der die Makrostruktur des ursprünglichen Graphen unter Umständen besser hervortreten lässt. Fortschritte im Bereich der "Community Detection" verbessern daher auch das Verständnis komplexer Netzwerke im allgemeinen. Nicht jeder Datensatz lässt sich jedoch angemessen mit binären Relationen darstellen - Relationen höherer Ordnung führen zu sog. Hypergraphen. Gegenstand dieser Arbeit ist die Verallgemeinerung von Ansätzen zur "Community Detection" auf derartige Hypergraphen. Im Zentrum der Aufmerksamkeit stehen dabei "Social Bookmarking"-Datensätze, wie sie von Benutzern von "Bookmarking"-Diensten erzeugt werden. Dabei ordnen Benutzer Dokumenten frei gewählte Stichworte, sog. "Tags" zu. Dieses "Tagging" erzeugt, für jede Tag-Zuordnung, eine ternäre Verbindung zwischen Benutzer, Dokument und Tag, was zu Strukturen führt, die 3-partite, 3-uniforme (im folgenden 3,3-, oder allgemeiner k,k-) Hypergraphen genannt werden. Die Frage, der diese Arbeit nachgeht, ist wie diese Strukturen formal angemessen in "Communities" unterteilt werden können, und wie dies das Verständnis dieser Datensätze erleichtert, die potenziell sehr reich an latenten Informationen sind. Zunächst wird eine Verallgemeinerung der verbundenen Komponenten für k,k-Hypergraphen eingeführt. Die normale Definition verbundener Komponenten weist auf den untersuchten Datensätzen, recht uninformativ, alle Elemente einer einzelnen Riesenkomponente zu. Die verallgemeinerten, so genannten hyper-inzidenten verbundenen Komponenten hingegen zeigen auf den "Social Bookmarking"-Datensätzen eine charakteristische Größenverteilung, die jedoch bspw. von Spam-Verhalten zerstört wird - was eine Verbindung zwischen Verhaltensmustern und strukturellen Eigenschaften zeigt, der im folgenden weiter nachgegangen wird. Als nächstes wird das allgemeine Thema der "Community Detection" auf k,k-Hypergraphen eingeführt. Drei Herausforderungen werden definiert, die mit der naiven Anwendung bestehender Verfahren nicht gemeistert werden können. Außerdem werden drei Familien synthetischer Hypergraphen mit "Community"-Strukturen von steigender Komplexität eingeführt, die prototypisch für Situationen stehen, die ein erfolgreicher Detektionsansatz rekonstruieren können sollte. Der zentrale methodische Beitrag dieser Arbeit besteht aus der im folgenden dargestellten Entwicklung eines multipartiten (d.h. für k,k-Hypergraphen geeigneten) Verfahrens zur Erkennung von "Communities". Es basiert auf der Optimierung von Modularität, einem etablierten Verfahrung zur Erkennung von "Communities" auf nicht-partiten, d.h. "normalen" Graphen. Ausgehend vom einfachst möglichen Ansatz wird das Verfahren iterativ verfeinert, um den zuvor definierten sowie neuen, in der Praxis aufgetretenen Herausforderungen zu begegnen. Am Ende steht die Definition der "ausgeglichenen multi-partiten Modularität". Schließlich wird ein interaktives Werkzeug zur Untersuchung der so gewonnenen "Community"-Zuordnungen vorgestellt. Mithilfe dieses Werkzeugs können die Vorteile der zuvor eingeführten Modularität demonstriert werden: So können komplexe Zusammenhänge beobachtet werden, die den einfacheren Verfahren entgehen. Diese Ergebnisse werden von einer stärker quantitativ angelegten Untersuchung bestätigt: Unüberwachte Qualitätsmaße, die bspw. den Kompressionsgrad berücksichtigen, können über eine größere Menge von Beispielen die Vorteile der ausgeglichenen multi-partiten Modularität gegenüber den anderen Verfahren belegen. Zusammenfassend lassen sich die Ergebnisse dieser Arbeit in zwei Bereiche einteilen: Auf der praktischen Seite werden Werkzeuge zur Erforschung von "Social Bookmarking"-Daten bereitgestellt. Demgegenüber stehen theoretische Beiträge, die für Graphen etablierte Konzepte - verbundene Komponenten und "Community Detection" - auf k,k-Hypergraphen übertragen.Many datasets can be interpreted as graphs, i.e. as elements (nodes) and binary relations between them (edges). Under the label of complex network analysis, a vast array of graph-based methods allows the exploration of datasets purely based on such structural properties. Community detection, as a subfield of network analysis, aims to identify well-connected subparts of graphs. While the grouping of related elements is useful in itself, these groups can furthermore be collapsed into single nodes, creating a new graph of reduced complexity which may better reveal the original graph's macrostructure. Therefore, advances in community detection improve the understanding of complex networks in general. However, not every dataset can be modelled properly with binary relations - higher-order relations give rise to so-called hypergraphs. This thesis explores the generalization of community detection approaches to hypergraphs. In the focus of attention are social bookmarking datasets, created by users of online bookmarking services who assign freely chosen keywords, so-called "tags", to documents. This "tagging" creates, for each tag assignment, a ternary connection between the user, the document, and the tag, inducing particular structures called 3-partite, 3-uniform hypergraphs (henceforth called 3,3- or more generally k,k-hypergraphs). The question pursued here is how to decompose these structures in a formally adequate manner, and how this improves the understanding of these rich datasets. First, a generalization of connected components to k,k-hypergraphs is proposed. The standard definition of connected components here rather uninformatively assigns almost all elements to a single giant component. The generalized so-called hyperincident connected components, however, show a characteristic size distribution on the social bookmarking datasets that is disrupted by, e.g., spamming activity - demonstrating a link between behavioural patterns and structural features that is further explored in the following. Next, the general topic of community detection in k,k-hypergraphs is introduced. Three challenges are posited that are not met by the naive application of standard techniques, and three families of synthetic hypergraphs are introduced containing increasingly complex community setups that a successful detection approach must be able to identify. The main methodical contribution of this thesis consists of the following development of a multi-partite (i.e. suitable for k,k-hypergraphs) community detection algorithm. It is based on modularity optimization, a well-established algorithm to detect communities in non-partite, i.e. "normal" graphs. Starting from the simplest approach possible, the method is successively refined to meet the previously defined as well as empirically encountered challenges, culminating in the definition of the "balanced multi-partite modularity". Finally, an interactive tool for exploring the obtained community assignments is introduced. Using this tool, the benefits of balanced multi-partite modularity can be shown: Intricate patters can be observed that are missed by the simpler approaches. These findings are confirmed by a more quantitative examination: Unsupervised quality measures considering, e.g., compression document the advantages of this approach on a larger number of samples. To conclude, the contributions of this thesis are twofold. It provides practical tools for the analysis of social bookmarking data, complemented with theoretical contributions, the generalization of connected components and modularity from graphs to k,k-hypergraphs

Clique Graphs and Overlapping Communities

It is shown how to construct a clique graph in which properties of cliques of a fixed order in a given graph are represented by vertices in a weighted graph. Various definitions and motivations for these weights are given. The detection of communities or clusters is used to illustrate how a clique graph may be exploited. In particular a benchmark network is shown where clique graphs find the overlapping communities accurately while vertex partition methods fail.Comment: 23 pages plus 16 additional pages in appendice