Construction of classes of circuit-independent chaotic oscillators using passive-only nonlinear devices

Two generic classes of chaotic oscillators comprising four different configurations are constructed. The proposed structures are based on the simplest possible abstract models of generic second-order RC sinusoidal oscillators that satisfy the basic condition for oscillation and the frequency of oscillation formulas. By linking these sinusoidal oscillator engines to simple passive first-order or second-order nonlinear composites, chaos is generated and the evolution of the two-dimensional sinusoidal oscillator dynamics into a higher dimensional state space is clearly recognized. We further discuss three architectures into which autonomous chaotic oscillators can be decomposed. Based on one of these architectures we classify a large number of the available chaotic oscillators and propose a novel reconstruction of the classical Chua's circuit. The well-known Lorenz system of equations is also studied and a simplified model with equivalent dynamics, but containing no multipliers, is introduce

Construction of classes of circuit-independent chaotic oscillatorsusing passive-only nonlinear devices

Two generic classes of chaotic oscillators comprising four different configurations are constructed. The proposed structures are based on the simplest possible abstract models of generic second-order RC sinusoidal oscillators that satisfy the basic condition for oscillation and the frequency of oscillation formulas. By linking these sinusoidal oscillator engines to simple passive first-order or second-order nonlinear composites, chaos is generated and the evolution of the two-dimensional sinusoidal oscillator dynamics into a higher dimensional state space is clearly recognized. We further discuss three architectures into which autonomous chaotic oscillators can be decomposed. Based on one of these architectures we classify a large number of the available chaotic oscillators and propose a novel reconstruction of the classical Chua’s circuit. The well-known Lorenz system of equations is also studied and a simplified model with equivalent dynamics, but containing no multipliers, is introduced

A semi-systematic procedure for producing chaos from sinusoidal oscillators using diode-inductor and FET-capacitor composites

A design procedure for producing chaos is proposed. The procedure aims to transfer design issues of analog autonomous chaotic oscillators from the nonlinear domain back to the much simpler linear domain by intentionally modifying sinusoidal oscillator circuits in a semisystematic manner. Design rules that simplify this procedure are developed and then two composite devices, namely, a diode-inductor composite and a FET-capacitor composite are suggested for carrying out the modification procedure. Applications to the classical Wien-bridge oscillator are demonstrated. Experimental results, PSpice simulations, and numerical simulations of the derived models are include

Ultimate boundary estimations and topological horseshoe analysis of a new 4D hyper-chaotic system

In this paper, we first estimate the boundedness of a new proposed 4-dimensional (4D) hyper-chaotic system with complex dynamical behaviors. For this system, the ultimate bound set Ω1 and globally exponentially attractive set Ω2 are derived based on the optimization method, Lyapunov stability theory and comparison principle. Numerical simulations are presented to show the effectiveness of the method and the boundary regions. Then, to prove the existence of hyper-chaos, the hyper-chaotic dynamics of the 4D nonlinear system is investigated by means of topological horseshoe theory and numerical computation. Based on the algorithm for finding horseshoes in three-dimensional hyper-chaotic maps, we finally find a horseshoe with two-directional expansions in the 4D hyper-chaotic system, which can rigorously prove the existence of the hyper-chaos in theory

Solving Linear Coupled Fractional Differential Equations by Direct Operational Method and Some Applications

A new direct operational inversion method is introduced for solving coupled linear systems of ordinary fractional differential equations. The solutions so-obtained can be expressed explicitly in terms of multivariate Mittag-Leffler functions. In the case where the multiorders are multiples of a common real positive number, the solutions can be reduced to linear combinations of Mittag-Leffler functions of a single variable. The solutions can be shown to be asymptotically oscillatory under certain conditions. This technique is illustrated in detail by two concrete examples, namely, the coupled harmonic oscillator and the fractional Wien bridge circuit. Stability conditions and simulations of the corresponding solutions are given

Analysis and synthesis techniques of nonlinear dynamical systems with applications to diagnostic of controlled thermonuclear fusion reactors

Nonlinear dynamical systems are of wide interest to engineers, physicists and mathematicians, and this is due to the fact that most of physical systems in nature are inherently non-linear. The nonlinearity of these systems has consequences on their time-evolution, which in some cases can be completely unpredictable, apparently random, although fundamentally deterministic. Chaotic systems are striking examples of this. In most cases, there are no hard and fast rules to analyse these systems. Often, their solutions cannot be obtained in closed form, and it is necessary to resort to numerical integration techniques, which, in case of high sensitivity to initial conditions, lead to ill-conditioning problems and high computational costs. The dynamical system theory, the branch of mathematics used to describe the behaviour of these systems, focuses not on finding exact solutions to the equations describing the dynamical system, but rather on knowing if the system stabilises to a steady state in the long term, and what are the possible attractors, e.g. a quasi-periodic or chaotic attractors. Regarding the synthesis, from both a practical and a theoretical standpoint, it is very desirable to develop methods of synthesizing these systems. Although extensive theory has been developed for linear systems, no complete formulation for nonlinear systems synthesis is present today. The main topic of this thesis is the solution of engineering problems related to the analysis and synthesis of nonlinear and chaotic systems. In particular, a new algorithm which optimizes Lyapunov exponents estimation in piecewise linear systems has been applied to PWL and polynomial chaotic systems. In the field of complex systems synthesis, a systematic method to project systems of order 2n characterized by two positive Lyapunov exponents, has been proposed. This procedure couples nth-order chaotic systems with a suitable nonlinear coupling function. Furthermore, a method for the fault detection has been developed. In the field of time series analysis, a new denoising method, based on the wavelet transform of the noisy signal, has been described. The method implements a variable thresholding, whose optimal value is determined by analysing the cross-correlation between the denoised signal and the residuals and by applying different criteria depending on the particular decomposition level. Finally, a study of dynamical behaviour of Type I ELMs has been performed for a future modelization of the phenomenon. In this context, a statistical analysis of time intervals between successive Type I ELMs has been proposed.---------------------------------- Il tema principale di questa tesi è la soluzione di problemi ingegneristici legati all’analisi e alla sintesi di sistemi dinamici non lineari. I sistemi dinamici non lineari sono di largo interesse per ingegneri, fisici e matematici, e questo è dovuto al fatto che la maggior parte dei sistemi fisici in natura è intrinsecamente non lineare. La non linearità di questi sistemi ha conseguenze sulla loro evoluzione temporale, che in certi casi può rivelarsi del tutto imprevedibile, apparentemente casuale, seppure fondamentalmente deterministica. I sistemi caotici sono un esempio lampante di questo comportamento. Nella maggior parte dei casi non esistono delle regole standard per l’analisi di questi sistemi. Spesso, le soluzioni non possono essere ottenute in forma chiusa, ed è necessario ricorrere a tecniche di integrazione numerica, che, in caso di elevata sensibilità alle condizioni iniziali, portano a problemi di mal condizionamento e di elevato costo computazionale. La teoria dei sistemi dinamici, la branca della matematica usata per descrivere il comportamento di questi sistemi, non si concentra sulla ricerca di soluzioni esatte per le equazioni che descrivono il sistema dinamico, ma piuttosto sull’analisi del comportamento a lungo termine del sistema, per sapere se questo si stabilizzi in uno stato stabile e per sapere quali siano i possibili attrattori, ad esempio, attrattori quasi-periodici o caotici. Per quanto riguarda la sintesi, sia da un punto di vista pratico che teorico, è molto importante lo sviluppo di metodi in grado di sintetizzare questi sistemi. Sebbene per i sistemi lineari sia stata sviluppata una teoria ampia e esaustiva, al momento non esiste alcuna formulazione completa per la sintesi di sistemi non lineari. In questa tesi saranno affrontati problemi di caratterizzazione, analisi e sintesi, legati allo studio di sistemi non lineari e caotici. La caratterizzazione dinamica di un sistema non lineare permette di individuarne il comportamento qualitativo a lungo termine. Gli esponenti di Lyapunov sono degli strumenti che permettono di determinare il comportamento asintotico di un sistema dinamico. Essi danno informazioni circa il tasso di divergenza di traiettorie vicine, caratteristica chiave delle dinamiche caotiche. Le tecniche esistenti per il calcolo degli esponenti di Lyapunov sono computazionalmente costose, e questo fatto ha in qualche modo precluso l’uso estensivo di questi strumenti in problemi di grandi dimensioni. Inoltre, durante il calcolo degli esponenti sorgono dei problemi di tipo numerico, per ciò il calcolo deve essere affrontato con cautela. L’implementazione di algoritmi veloci e accurati per il calcolo degli esponenti di Lyapunov è un problema di interesse attuale. In molti casi pratici il vettore di stato del sistema non è disponibile, e una serie temporale rappresenta l’unica informazione a disposizione. L’analisi di serie storiche è un metodo di analisi dei dati provenienti da serie temporali che ha lo scopo di estrarre delle statistiche significative e altre caratteristiche dei dati, e di ottenere una comprensione della struttura e dei fattori fondamentali che hanno prodotto i dati osservati. Per esempio, un problema dei reattori a fusione termonucleare controllata è l’analisi di serie storiche della radiazione Dα, caratteristica del fenomeno chiamato Edge Localized Modes (ELMs). La comprensione e il 16 controllo degli ELMs sono problemi cruciali per il funzionamento di ITER, in cui il type-I ELMy H-mode è stato scelto come scenario di funzionamento standard. Determinare se la dinamica degli ELM sia caotica o casuale è cruciale per la corretta descrizione dell’ELM cycle. La caratterizzazione dinamica effettuata sulle serie temporali ricorrendo al cosiddetto spazio di embedding, può essere utilizzata per distinguere serie random da serie caotiche. Uno dei problemi più frequenti che si incontra nell’analisi di serie storiche sperimentali è la presenza di rumore, che in alcuni casi può raggiungere anche il 10% o il 20% del segnale. È quindi essenziale , prima di ogni analisi, sviluppare una tecnica appropriata e robusta per il denosing. Quando il modello del sistema è noto, l’analisi di serie storiche può essere applicata al rilevamento di guasti. Questo problema può essere formalizzato come un problema di identificazione dei parametri. In questi casi, la teorie dell’algebra differenziale fornisce utili informazioni circa la natura dei rapporti fra l’osservabile scalare, le variabili di stato e gli altri parametri del sistema. La sintesi di sistemi caotici è un problema fondamentale e interessante. Questi sistemi non implicano soltanto un metodo di realizzazione di modelli matematici esistenti ma anche di importanti sistemi fisici reali. La maggior parte dei metodi presentati in letteratura dimostra numericamente la presenza di dinamiche caotiche, per mezzo del calcolo degli esponenti di Lyapunov. In particolare, le dinamiche ipercaotiche sono identificate dalla presenza di due esponenti di Lyapunov positivi

Symmetry in Chaotic Systems and Circuits

Symmetry can play an important role in the field of nonlinear systems and especially in the design of nonlinear circuits that produce chaos. Therefore, this Special Issue, titled “Symmetry in Chaotic Systems and Circuits”, presents the latest scientific advances in nonlinear chaotic systems and circuits that introduce various kinds of symmetries. Applications of chaotic systems and circuits with symmetries, or with a deliberate lack of symmetry, are also presented in this Special Issue. The volume contains 14 published papers from authors around the world. This reflects the high impact of this Special Issue