Spectral properties of reversible one-dimensional cellular automata

Reversible cellular automata are invertible dynamical systems characterized by discreteness, determinism and local interaction. This article studies the local behavior of reversible one-dimensional cellular automata by means of the spectral properties of their connectivity matrices. We use the transformation of every one-dimensional cellular automaton to another of neighborhood size 2 to generalize the results exposed in this paper. In particular we prove that the connectivity matrices have a single positive eigenvalue equal to 1; based on this result we also prove the idempotent behavior of these matrices. The significance of this property lies in the implementation of a matrix technique for detecting whether a one-dimensional cellular automaton is reversible or not. In particular, we present a procedure using the eigenvectors of these matrices to find the inverse rule of a given reversible one-dimensional cellular automaton. Finally illustrative examples are provided

On cluster approximations of cellular automata

In this thesis I examine one commonly used class of methods for the analytic approximation of cellular automata, the so-called local cluster approximations. This class subsumes the well known mean-field and pair approximations, as well as higher order generalizations of these. While a straightforward method known as Bayesian extension exists for constructing cluster approximations of arbitrary order on one-dimensional lattices (and certain other cases), for higher-dimensional systems the construction of approximations beyond the pair level becomes more complicated due to the presence of loops. In this thesis I describe the one-dimensional construction as well as a number of approximations suggested for higher-dimensional lattices, comparing them against a number of consistency criteria that such approximations could be expected to satisfy. I also outline a general variational principle for constructing consistent cluster approximations of arbitrary order with minimal bias, and show that the one-dimensional construction indeed satisfies this principle. Finally, I apply this variational principle to derive a novel consistent expression for symmetric three cell cluster frequencies as estimated from pair frequencies, and use this expression to construct a quantitatively improved pair approximation of the well-known lattice contact process on a hexagonal lattice

Layered Cellular Automata

Layered Cellular Automata (LCA) extends the concept of traditional cellular automata (CA) to model complex systems and phenomena. In LCA, each cell's next state is determined by the interaction of two layers of computation, allowing for more dynamic and realistic simulations. This thesis explores the design, dynamics, and applications of LCA, with a focus on its potential in pattern recognition and classification. The research begins by introducing the limitations of traditional CA in capturing the complexity of real-world systems. It then presents the concept of LCA, where layer 0 corresponds to a predefined model, and layer 1 represents the proposed model with additional influence. The interlayer rules, denoted as f and g, enable interactions not only from adjacent neighboring cells but also from some far-away neighboring cells, capturing long-range dependencies. The thesis explores various LCA models, including those based on averaging, maximization, minimization, and modified ECA neighborhoods. Additionally, the implementation of LCA on the 2-D cellular automaton Game of Life is discussed, showcasing intriguing patterns and behaviors. Through extensive experiments, the dynamics of different LCA models are analyzed, revealing their sensitivity to rule changes and block size variations. Convergent LCAs, which converge to fixed points from any initial configuration, are identified and used to design a two-class pattern classifier. Comparative evaluations demonstrate the competitive performance of the LCA-based classifier against existing algorithms. Theoretical analysis of LCA properties contributes to a deeper understanding of its computational capabilities and behaviors. The research also suggests potential future directions, such as exploring advanced LCA models, higher-dimensional simulations, and hybrid approaches integrating LCA with other computational models.Comment: This thesis represents the culmination of my M.Tech research, conducted under the guidance of Dr. Sukanta Das, Associate Professor at the Department of Information Technology, Indian Institute of Engineering Science and Technology, Shibpur, West Bengal, India. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2210.13971 by other author

Comparing 1D and 2D Real Time on Cellular Automata

We study the influence of the dimension of cellular automata (CA) for real time language recognition of one-dimensional languages with parallel input. Specifically, we focus on the question of determining whether every language that can be recognized in real time on a 2-dimensional CA working on the Moore neighborhood can also be recognized in real time by a 1-dimensional CA working on the standard two-way neighborhood. We show that 2-dimensional CA in real time can perform a linear number of simulations of a 1-dimensional real time CA. If the two classes are equal then the number of simulated instances can be polynomial

Dynamic Load Balancing Strategy for Parallel Tumor Growth Simulations

In this paper, we propose a parallel cellular automaton tumor growth model that includes load balancing of cells distribution among computational threads with the introduction of adjusting parameters. The obtained results show a fair reduction in execution time and improved speedup compared with the sequential tumor growth simulation program currently referenced in tumoral biology. The dynamic data structures of the model can be extended to address additional tumor growth characteristics such as angiogenesis and nutrient intake dependencies

Split and Shift Methodology: Overcoming Hardware Limitations on Cellular Processor Arrays for Image Processing

Na era multimedia, o procesado de imaxe converteuse nun elemento de singular importancia nos dispositivos electrónicos. Dende as comunicacións (p.e. telemedicina), a seguranza (p.e. recoñecemento retiniano) ou control de calidade e de procesos industriais (p.e. orientación de brazos articulados, detección de defectos do produto), pasando pola investigación (p.e. seguimento de partículas elementais) e diagnose médica (p.e. detección de células estrañas, identificaciónn de veas retinianas), hai un sinfín de aplicacións onde o tratamento e interpretación automáticas de imaxe e fundamental. O obxectivo último será o deseño de sistemas de visión con capacidade de decisión. As tendencias actuais requiren, ademais, a combinación destas capacidades en dispositivos pequenos e portátiles con resposta en tempo real. Isto propón novos desafíos tanto no deseño hardware como software para o procesado de imaxe, buscando novas estruturas ou arquitecturas coa menor area e consumo de enerxía posibles sen comprometer a funcionalidade e o rendemento

Cyclic Cellular Automata on Networks and Cohomological Waves

A dynamic coverage problem for sensor networks that are sufficiently dense but not localized is considered. By maintaining only a small fraction of sensors on at any time, we are aimed to find a decentralized protocol for establishing dynamic, sweeping barriers of awake-state sensors. Network cyclic cellular automata is used to generate waves. By rigorously analyzing network-based cyclic cellular automata in the context of a system of narrow hallways, it shows that waves of awake-state nodes turn corners and automatically solve pusuit/evasion-type problems without centralized coordination. As a corollary of this work, we unearth some interesting topological interpretations of features previously observed in cyclic cellular automata (CCA). By considering CCA over networks and completing to simplicial complexes, we induce dynamics on the higher-dimensional complex. In this setting, waves are seen to be generated by topological defects with a nontrivial degree (or winding number). The simplicial complex has the topological type of the underlying map of the workspace (a subset of the plane), and the resulting waves can be classified cohomologically. This allows one to program pulses in the sensor network according to cohomology class. We give a realization theorem for such pulse waves

The design and implementation of fuzzy query processing on sensor networks

Sensor nodes and Wireless Sensor Networks (WSN) enable observation of the physical world in unprecedented levels of granularity. A growing number of environmental monitoring applications are being designed to leverage data collection features of WSN, increasing the need for efficient data management techniques and for comparative analysis of various data management techniques. My research leverages aspects of fuzzy database, specifically fuzzy data representation and fuzzy or flexible queries to improve upon the efficiency of existing data management techniques by exploiting the inherent uncertainty of the data collected by WSN. Herein I present my research contributions. I provide classification of WSN middleware to illustrate varying approaches to data management for WSN and identify a need to better handle the uncertainty inherent in data collected from physical environments and to take advantage of the imprecision of the data to increase the efficiency of WSN by requiring less information be transmitted to adequately answer queries posed by WSN monitoring applications. In this dissertation, I present a novel approach to querying WSN, in which semantic knowledge about sensor attributes is represented as fuzzy terms. I present an enhanced simulation environment that supports more flexible and realistic analysis by using cellular automata models to separately model the deployed WSN and the underlying physical environment. Simulation experiments are used to evaluate my fuzzy query approach for environmental monitoring applications. My analysis shows that using fuzzy queries improves upon other data management techniques by reducing the amount of data that needs to be collected to accurately satisfy application requests. This reduction in data transmission results in increased battery life within sensors, an important measure of cost and performance for WSN applications

Index Theory of One Dimensional Quantum Walks and Cellular Automata

If a one-dimensional quantum lattice system is subject to one step of a reversible discrete-time dynamics, it is intuitive that as much "quantum information” as moves into any given block of cells from the left, has to exit that block to the right. For two types of such systems — namely quantum walks and cellular automata — we make this intuition precise by defining an index, a quantity that measures the "net flow of quantum information” through the system. The index supplies a complete characterization of two properties of the discrete dynamics. First, two systems S 1, S 2 can be "pieced together”, in the sense that there is a system S which acts like S 1 in one region and like S 2 in some other region, if and only if S 1 and S 2 have the same index. Second, the index labels connected components of such systems: equality of the index is necessary and sufficient for the existence of a continuous deformation of S 1 into S 2. In the case of quantum walks, the index is integer-valued, whereas for cellular automata, it takes values in the group of positive rationals. In both cases, the map $${S \mapsto {\rm ind} S}$$ is a group homomorphism if composition of the discrete dynamics is taken as the group law of the quantum systems. Systems with trivial index are precisely those which can be realized by partitioned unitaries, and the prototypes of systems with non-trivial index are shift

Sublinear-Time Cellular Automata and Connections to Complexity Theory

Im Gebiet des verteilten Rechnens werden Modelle untersucht, in denen sich mehrere Berechnungseinheiten koordinieren, um zusammen ein gemeinsames Ziel zu erreichen, wobei sie aber nur über begrenzte Ressourcen verfügen — sei diese Zeit-, Platz- oder Kommunikationskapazitäten. Das Hauptuntersuchungsobjekt dieser Dissertation ist das wohl einfachste solche Modell überhaupt: (eindimensionale) Zellularautomaten. Unser Ziel ist es, einen besseren Überblick über die Fähigkeiten und Einschränkungen des Modells und ihrer Varianten zu erlangen in dem Fall, dass die gesamte Bearbeitungszeit deutlich kleiner als die Größe der Eingabe ist (d. h. Sublinear-Zeit). Wir führen unsere Analyse von dem Standpunkt der Komplexitätstheorie und stellen dabei auch Bezüge zwischen Zellularautomaten und anderen Gebieten wie verteiltes Rechnen und Streaming-Algorithmen her. Sublinear-Zeit Zellularautomaten. Ein Zellularautomat (ZA) besteht aus identischen Zellen, die entlang einer Linie aneinandergereiht sind. Jede Zelle ist im Wesentlichen eine sehr primitive Berechnungseinheit (nämlich ein deterministischer endlicher Automat), die mit deren beiden Nachbarn interagieren kann. Die Berechnung entsteht durch die Aktualisierung der Zustände der Zellen gemäß derselben Zustandsüberführungsfunktion, die gleichzeitig überall im Automaten angewendet wird. Die von uns betrachteten Varianten sind unter anderem schrumpfende ZAs, die (gewissermaßen) dynamisch rekonfigurierbar sind, sowie eine probabilistische Variante, in der jede Zelle mit Zugriff auf eine faire Münze ausgestattet ist. Trotz überragendem Interesse an Linear- und Real-Zeit-ZAs scheint der Fall von Sublinear-Zeit im Großen und Ganzen von der wissenschaftlichen Gemeinschaft vernachlässigt worden zu sein. Wir arbeiten die überschaubare Anzahl an Vorarbeiten zu dem Thema auf, die vorhanden ist, und entwickeln die daraus stammenden Techniken weiter, sodass deren Spektrum an Anwendungsmöglichkeiten wesentlich breiter wird. Durch diese Bemühungen entsteht unter anderem ein Zeithierarchiesatz für das deterministische Modell. Außerdem übertragen wir Techniken zum Beweis unterer Schranken aus der Komplexitätstheorie auf das Modell der schrumpfenden ZAs und entwickeln neue Techniken, die auf probabilistische Sublinear-Zeit-ZAs zugeschnitten sind. Ein Bezug zu Härte-Magnifizierung. Ein Bezug zu Komplexitätstheorie, die wir im Laufe unserer Untersuchungen herstellen, ist ein Satz über Härte-Magnifizierung (engl. hardness magnification) für schrumpfende ZAs. Hier bezieht sich Härte-Magnifizierung auf eine Reihe neuerer Arbeiten, die bezeugen, dass selbst geringfügig nicht-triviale untere Schranken sehr beeindruckende Konsequenzen in der Komplexitätstheorie haben können. Unser Satz ist eine Abwandlung eines neuen Ergebnisses von McKay, Murray und Williams (STOC, 2019) für Streaming-Algorithmen. Wie wir zeigen kann die Aussage dabei genauso in Bezug auf schrumpfende ZAs formuliert werden, was sie auch beweisbar verstärkt. Eine Verbindung zu Sliding-Window Algorithmen. Wir verknüpfen das verteilte Zellularautomatenmodell mit dem sequenziellen Streaming-Algorithmen-Modell. Wie wir zeigen, können (gewisse Varianten von) ZAs von Streaming-Algorithmen simuliert werden, die bestimmten Lokalitätseinschränkungen unterliegen. Konkret ist der aktuelle Zustand des Algorithmus vollkommen bestimmt durch den Inhalt eines Fensters fester Größe, das wenige letzte Symbole enthält, die vom Algorithmus verarbeitet worden sind. Dementsprechend nennen wir diese eingeschränkte Form eines Streaming-Algorithmus einen Sliding-Window-Algorithmus. Wir zeigen, dass Sliding-Window-Algorithmen ZAs sehr effizient simulieren können und insbesondere in einer solchen Art und Weise, dass deren Platzkomplexität eng mit der Zeitkomplexität des simulierten ZA verbunden ist. Derandomisierungsergebnisse. Wir zeigen Derandomisierungsergebnisse für das Modell von Sliding-Window-Algorithmen, die Zufall aus einer binären Zufallsquelle beziehen. Dazu stützen wir uns auf die robuste Maschinerie von Branching-Programmen, die den gängigen Ansatz zur Derandomisierung von Platz-beschränkten Maschinen in der Komplexitätstheorie darstellen. Als eine Anwendung stellen sich Derandomisierungsergebnisse für probabilistische Sublinear-Zeit-ZAs heraus, die durch die oben genannten Verknüpfung erlangt werden. Vorhersageproblem für Pilz-Sandhaufen. Ein letztes Problem, das wir behandeln und das auch einen Bezug zu Sublinear-Zeitkomplexität im Rahmen von Zellularautomaten hat (obwohl nicht zu Sublinear-Zeit-Zellularautomaten selber), ist das Vorhersageproblem für Sandhaufen-Zellularautomaten. Diese Automaten sind basierend auf zweidimensionalen ZAs definiert und modellieren einen deterministischen Prozess, in dem sich Partikel (in der Regel denkt man an Sandkörnern) durch den Raum verbreiten. Das Vorhersageproblem fragt ob, gegeben eine Zellennummer $y$ und eine initiale Konfiguration für den Sandhaufen, die Zelle mit Nummer $y$ irgendwann vor einer gewissen Zeitschranke einen von Null verschiedenen Zustand erreichen wird. Die Komplexität dieses mindestens zwei Jahrzehnte alten Vorhersageproblems ist für zweidimensionelle Sandhaufen bemerkenswerterweise nach wie vor offen. Wir lösen diese Frage im Wesentlichen für eine neue Variante von Sandhaufen namens Pilz-Sandhaufen, die von Goles u. a. (Phys. Lett. A, 2020) vorgeschlagen worden ist. Unser Ergebnis ist besonders relevant, weil es innovative Erkenntnisse und neue Techniken liefert, die für die Lösung des offenen Problems im allgemeinen Fall von hoher Relevanz sein könnten