Hierarchical Parallelisation of Functional Renormalisation Group Calculations -- hp-fRG

The functional renormalisation group (fRG) has evolved into a versatile tool in condensed matter theory for studying important aspects of correlated electron systems. Practical applications of the method often involve a high numerical effort, motivating the question in how far High Performance Computing (HPC) can leverage the approach. In this work we report on a multi-level parallelisation of the underlying computational machinery and show that this can speed up the code by several orders of magnitude. This in turn can extend the applicability of the method to otherwise inaccessible cases. We exploit three levels of parallelisation: Distributed computing by means of Message Passing (MPI), shared-memory computing using OpenMP, and vectorisation by means of SIMD units (single-instruction-multiple-data). Results are provided for two distinct High Performance Computing (HPC) platforms, namely the IBM-based BlueGene/Q system JUQUEEN and an Intel Sandy-Bridge-based development cluster. We discuss how certain issues and obstacles were overcome in the course of adapting the code. Most importantly, we conclude that this vast improvement can actually be accomplished by introducing only moderate changes to the code, such that this strategy may serve as a guideline for other researcher to likewise improve the efficiency of their codes

Quasi-particle functional Renormalisation Group calculations in the two-dimensional half-filled Hubbard model at finite temperatures

We present a highly parallelisable scheme for treating functional Renormalisation Group equations which incorporates a quasi-particle-based feedback on the flow and provides direct access to real-frequency self-energy data. This allows to map out the boundaries of Fermi-liquid regimes and to study the effect of quasi-particle degradation near Fermi liquid instabilities. As a first application, selected results for the two-dimensional half-filled perfectly nested Hubbard model are shown

The role of the self-energy in the functional renormalization group description of interacting Fermi systems

Die funktionale Renormierungsgruppe (fRG) wird in der kondensierten Materie schon seit langem für qualitative Untersuchungen korrelierter Elektronensysteme angewandt. In dieser Arbeit wird diese Methode durch die Implementierung einer effizienten Parametrisierung der Zwei-Teilchen-Wechselwirkung und der multiloop Erweiterung, welche die übliche Hierarchietrunkierung in fRG umgeht und die Parquet Näherung erfüllt, verbessert. Diese Weiterentwicklung führt zu endlichen Suszeptibilitäten für alle untersuchten Temperaturen, sodass, im Einklang mit dem Mermin-Wagner Theorem, keine spontane Symmetriebrechung bei endlichen Temperaturen auftritt. Außerdem wird eine detaillierte Analyse der Selbstenergie und Suszeptibilitäten im 2D Hubbard Modell durchgeführt. Diese zeigt, dass zuverlässige quantitative Ergebnisse berechnet werden können. Allerdings muss für den exakten Vergleich zwischen fRG und Parquet eine neue Selbstenergie-Flussgleichung eingeführt werden, falls die Impulsabhängigkeit der effektiven Wechselwirkung durch Truncated Unity parametrisiert wurde. Um dies zu erklären, konzentriert sich diese Arbeit auf die Selbstenergie, welche Wechselwirkungseffekte auf dem Einteilchenpropagator beschreibt. Durch diagrammatische Argumente wird gezeigt, wie die herkömmliche Flussgleichung bei endlicher Anzahl von Formfaktoren in der Truncated Unity Impulsparametrisierung genäherte Diagramme erzeugt. Die exakte Schwinger-Dyson Gleichung dient als Vorbild für die neue Flussgleichung, welche dieses Problem behebt und zu einer sehr guten Übereinstimmung zwischen den direkten und nachträglich berechneten Ergebnissen des fRG Flusses als auch zwischen der fRG und der selbstkonsistenten Parquet Methode führt. Der Vergleich zwischen fRG Ergebnissen und der numerisch exakten determinant Quantum Monte Carlo Methode zeigt ferner eine sehr gute Übereinstimmung bis zu mittleren Wechselwirkungsstärken. Des Weiteren wird gezeigt, dass der Schwinger-Dyson inspirierte Fluss eine impulsabhängige Spektrallücke (Pseudogap) im halbgefüllten 2D Hubbard Modell hervorrufen kann, während diese in der herkömmlichen Flussgleichung nicht beobachtet wird. Die diagrammatische Analyse des flussabhängigen Auftretens zeigt außerdem, dass auch in fRG der Grund für diese bedeutende in Hochtemperatur-Supraleitern auftretende Eigenschaft in langreichweitigen antiferromagnetischen Fluktuationen liegt. Die hier eingeführten Fortschritte der fRG legen den Grundstein für weiterführende qualitative Analysen und quantitative Rechnungen im 2D Hubbard Model als auch in weiteren allgemeineren Systemen.The functional renormalization group (fRG) has a long history in the qualitative exploration of correlated electron systems in condensed matter. In this work, the fRG method is improved by the implementation of an efficient parametrization of the two-particle vertex and of the multiloop extension, circumventing the standard hierarchy truncation in fRG and recovering the parquet approximation. With these developments, the response functions remain finite at all studied temperatures indicating that, in agreement with the Mermin-Wagner theorem, there is no spontaneous symmetry breaking at finite temperatures. Furthermore, a detailed analysis of the self-energy and susceptibilities in the 2D Hubbard model is performed showing that it is now possible to obtain quantitatively reliable results. However, for the exact comparison between fRG and parquet in the case of a Truncated Unity momentum parametrization of the vertex, a new flow equation for the self-energy has to be introduced. Therefore, this work focuses on the self-energy which describes the effect of the interaction on the single-particle propagation. It is analysed on a diagrammatic level, how the conventional flow equation generates approximations when a finite number of form-factors in the Truncated Unity momentum parametrization is used. The new flow scheme, inspired by the exact Schwinger-Dyson relation, resolves this issue leading to excellent agreement between post-processing and flowing fRG results as well as between the fRG and the self-consistent parquet approach. Also, the comparison of the fRG results to numerically exact determinant Quantum Monte Carlo data shows a very good agreement up to moderate interaction strengths. Furthermore, it is shown that the Schwinger-Dyson inspired flow scheme is able to open a pseudogap in the 2D Hubbard model at half-filling, in contrast to the conventional flow. This property is analysed using diagrammatic arguments. In addition, long-range antiferromagnetic fluctuations are found to be responsible for this prominent feature observed in high-$T_c$ superconductors. The improvements on fRG presented in this work represent the basis for future qualitative investigations and quantitative calculations on the 2D Hubbard model as well as other interesting model systems