Groups from Cyclic Infrastructures and Pohlig-Hellman in Certain Infrastructures

In discrete logarithm based cryptography, a method by Pohlig and Hellman allows solving the discrete logarithm problem efficiently if the group order is known and has no large prime factors. The consequence is that such groups are avoided. In the past, there have been proposals for cryptography based on cyclic infrastructures. We will show that the Pohlig-Hellman method can be adapted to certain cyclic infrastructures, which similarly implies that certain infrastructures should not be used for cryptography. This generalizes a result by M\"uller, Vanstone and Zuccherato for infrastructures obtained from hyperelliptic function fields. We recall the Pohlig-Hellman method, define the concept of a cyclic infrastructure and briefly describe how to obtain such infrastructures from certain function fields of unit rank one. Then, we describe how to obtain cyclic groups from discrete cyclic infrastructures and how to apply the Pohlig-Hellman method to compute absolute distances, which is in general a computationally hard problem for cyclic infrastructures. Moreover, we give an algorithm which allows to test whether an infrastructure satisfies certain requirements needed for applying the Pohlig-Hellman method, and discuss whether the Pohlig-Hellman method is applicable in infrastructures obtained from number fields. Finally, we discuss how this influences cryptography based on cyclic infrastructures.Comment: 14 page

Cryptographic Aspects of Real Hyperelliptic Curves

In this paper, we give an overview of cryptographic applications using real hyperelliptic curves. We review previously proposed cryptographic protocols, and discuss the infrastructure of a real hyperelliptic curve, the mathematical structure underlying all these protocols. We then describe recent improvements to infrastructure arithmetic, including explicit formulas for divisor arithmetic in genus 2; and advances in solving the infrastructure discrete logarithm problem, whose presumed intractability is the basis of security for the related cryptographic protocols

The Infrastructure of a Global Field of Arbitrary Unit Rank

In this paper, we show a general way to interpret the infrastructure of a global field of arbitrary unit rank. This interpretation generalizes the prior concepts of the giant step operation and f-representations, and makes it possible to relate the infrastructure to the (Arakelov) divisor class group of the global field. In the case of global function fields, we present results that establish that effective implementation of the presented methods is indeed possible, and we show how Shanks' baby-step giant-step method can be generalized to this situation.Comment: Revised version. Accepted for publication in Math. Com

Efficient subgroup exponentiation in quadratic and sixth degree extensions

This paper describes several speedups for computation in the order p + 1 subgroup of F*(p2) and the order p2 - p + 1 subgroup of F*(p6). These results are in a way complementary to LUC and XTR, where computations in these groups are sped up using trace maps. As a side result, we present an efficient method for XTR with p ≡ 3 mod

Algebraic Curves and Cryptographic Protocols for the e-society

Amb l'augment permanent de l'adopció de sistemes intel·ligents de tot tipus en la societat actual apareixen nous reptes. Avui en dia quasi tothom en la societat moderna porta a sobre almenys un telèfon intel·ligent, si no és que porta encara més dispositius capaços d'obtenir dades personals, com podria ser un smartwatch per exemple. De manera similar, pràcticament totes les cases tindran un comptador intel·ligent en el futur pròxim per a fer un seguiment del consum d'energia. També s'espera que molts més dispositius del Internet de les Coses siguin instal·lats de manera ubiqua, recol·lectant informació dels seus voltants i/o realitzant accions, com per exemple en sistemes d'automatització de la llar, estacions meteorològiques o dispositius per la ciutat intel·ligent en general. Tots aquests dispositius i sistemes necessiten enviar dades de manera segura i confidencial, les quals poden contindre informació sensible o de caire privat. A més a més, donat el seu ràpid creixement, amb més de nou mil milions de dispositius en tot el món actualment, s'ha de tenir en compte la quantitat de dades que cal transmetre. En aquesta tesi mostrem la utilitat de les corbes algebraiques sobre cossos finits en criptosistemes de clau pública, en particular la de les corbes de gènere 2, ja que ofereixen la mida de clau més petita per a un nivell de seguretat donat i això redueix de manera significativa el cost total de comunicacions d'un sistema, a la vegada que manté un rendiment raonable. Analitzem com la valoració 2-àdica del cardinal de la Jacobiana augmenta en successives extensions quadràtiques, considerant corbes de gènere 2 en cossos de característica senar, incloent les supersingulars. A més, millorem els algoritmes actuals per a computar la meitat d'un divisor d'una corba de gènere 2 sobre un cos binari, cosa que pot ser útil en la multiplicació escalar, que és l'operació principal en criptografia de clau pública amb corbes. Pel que fa a la privacitat, presentem un sistema de pagament d'aparcament per mòbil que permet als conductors pagar per aparcar mantenint la seva privacitat, i per tant impedint que el proveïdor del servei o un atacant obtinguin un perfil de conducta d'aparcament. Finalment, oferim protocols de smart metering millorats, especialment pel que fa a la privacitat i evitant l'ús de terceres parts de confiança.Con el aumento permanente de la adopción de sistemas inteligentes de todo tipo en la sociedad actual aparecen nuevos retos. Hoy en día prácticamente todos en la sociedad moderna llevamos encima al menos un teléfono inteligente, si no es que llevamos más dispositivos capaces de obtener datos personales, como podría ser un smartwatch por ejemplo. De manera similar, en el futuro cercano la mayoría de las casas tendrán un contador inteligente para hacer un seguimiento del consumo de energía. También se espera que muchos más dispositivos del Internet de las Cosas sean instalados de manera ubicua, recolectando información de sus alrededores y/o realizando acciones, como por ejemplo en sistemas de automatización del hogar, estaciones meteorológicas o dispositivos para la ciudad inteligente en general. Todos estos dispositivos y sistemas necesitan enviar datos de manera segura y confidencial, los cuales pueden contener información sensible o de ámbito personal. Además, dado su rápido crecimiento, con más de nueve mil millones de dispositivos en todo el mundo actualmente, hay que tener en cuenta la cantidad de datos a transmitir. En esta tesis mostreamos la utilidad de las curvas algebraicas sobre cuerpos finitos en criptosistemas de clave pública, en particular la de las curvas de género 2, ya que ofrecen el tamaño de clave más pequeño para un nivel de seguridad dado y esto disminuye de manera significativa el coste total de comunicaciones del sistema, a la vez que mantiene un rendimiento razonable. Analizamos como la valoración 2-ádica del cardinal de la Jacobiana aumenta en sucesivas extensiones cuadráticas, considerando curvas de género 2 en cuerpos de característica importa, incluyendo las supersingulares. Además, mejoramos los algoritmos actuales para computar la mitad de un divisor de una curva de género 2 sobre un cuerpo binario, lo cual puede ser útil en la multiplicación escalar, que es la operación principal en criptografía de clave pública con curvas. Respecto a la privacidad, presentamos un sistema de pago de aparcamiento por móvil que permite a los conductores pagar para aparcar manteniendo su privacidad, y por lo tanto impidiendo que el proveedor del servicio o un atacante obtengan un perfil de conducta de aparcamiento. Finalmente, ofrecemos protocolos de smart metering mejorados, especialmente en lo relativo a la privacidad y evitando el uso de terceras partes de confianza.With the ever increasing adoption of smart systems of every kind throughout society, new challenges arise. Nowadays, almost everyone in modern societies carries a smartphone at least, if not even more devices than can also gather personal data, like a smartwatch or a fitness wristband for example. Similarly, practically all homes will have a smart meter in the near future for billing and energy consumption monitoring, and many other Internet of Things devices are expected to be installed ubiquitously, obtaining information of their surroundings and/or performing some action, like for example, home automation systems, weather detection stations or devices for the smart city in general. All these devices and systems need to securely and privately transmit some data, which can be sensitive and personal information. Moreover, with a rapid increase of their number, with already more than nine billion devices worldwide, the amount of data to be transmitted has to be considered. In this thesis we show the utility of algebraic curves over finite fields in public key cryptosystems, specially genus 2 curves, since they offer the minimum key size for a given security level and that significantly reduces the total communication costs of a system, while maintaining a reasonable performance. We analyze how the 2-adic valuation of the cardinality of the Jacobian increases in successive quadratic extensions, considering genus 2 curves with odd characteristic fields, including supersingular curves. In addition, we improve the current algorithms for computing the halving of a divisor of a genus 2 curve over binary fields, which can be useful in scalar multiplication, the main operation in public key cryptography using curves. As regards to privacy, we present a pay-by-phone parking system which enables drivers to pay for public parking while preserving their privacy, and thus impeding the service provider or an attacker to obtain a profile of parking behaviors. Finally, we offer better protocols for smart metering, especially regarding privacy and the avoidance of trusted third parties