A short proof of the planarity characterization of Colin de Verdière

AbstractColin de Verdière introduced an interesting new invariant μ(G) for graphs G, based on algebraic and analytic properties of matrices associated with G. He showed that the invariant is monotone under taking miners and moreover, that μ(G) ≤ 3 if only if G is planar. In this paper we give a short proof of Colin de Verdière′s result that μ(G) ≤ 3 if G is planar

A minor-monotone graph parameter based on oriented matroids

AbstractFor an undirected graph G = (V,E) let λ ′(G) be the largest d for which there exists an oriented matroid M on V of corank d such that for each nonzero vector (x+,x−) of M, x+ is nonempty and induces a connected subgraph of G.We show that λ′(G) is monotone under taking minors and clique sums. Moreover, we show that λ′(G) ⩽ 3 if and only if G has no K5- or V8-minor; that is, if and only if G arises from planar graphs by taking clique sums and subgraphs

Matrices and Graphs

The present article is designed to be a contribution to the chapter `Combinatorial Matrix Theory and Graphs' of the Handbook of Linear Algebra, to be published by CRC Press. The format of the handbook is to give just definitions, theorems, and examples; no proofs. In the five sections given below, we present the most im- portant notions and facts about matrices related to (undirected) graphs. 1. Graphs. 2. The adjacency matrix and its eigenvalues. 3. Other matrix representations. 4. Graph parameters. 5. Association schemes.Graphs;Matrices

Structural and Topological Graph Theory and Well-Quasi-Ordering

Στη σειρά εργασιών Ελασσόνων Γραφημάτων, οι Neil Robertson και Paul Seymour μεταξύ άλλων σπουδαίων αποτελεσμάτων, απέδειξαν την εικασία του Wagner που σήμερα είναι γνωστή ως το Θεώρημα των Robertson και Seymour. Σε κάθε τους βήμα προς την συναγωγή της τελικής απόδειξης της εικασίας, κάθε ειδική περίπτωση αυτής που αποδείκνυαν ήταν συνέπεια ενός "δομικού θεωρήματος" το οποίο σε γενικές γραμμές ισχυριζόταν ότι ικανοποιητικά γενικά γραφήματα περιέχουν ως ελάσσονα γραφήματα ή άλλες δομές που είναι χρήσιμα για την απόδειξη, ή ισοδύναμα, ότι η δομή των γραφημάτων τα οποία δεν περιέχουν ένα χρήσιμο για την απόδειξη γράφημα ως έλασσον είναι κατά κάποιο τρόπο περιορισμένη συνάγοντας έτσι και πάλι μια χρήσιμη πληροφορία για την απόδειξη. Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζουμε -σχετικά μικρές- αποδείξεις διαφόρων ειδικών περιπτώσεων του Θεωρήματος των Robertson και Seymour, αναδεικνύοντας με αυτό τον τρόπο την αλληλεπίδραση της δομικής θεωρίας γραφημάτων με την θεωρία των καλών-σχεδόν-διατάξεων. Παρουσιάζουμε ακόμα την ίσως πιο ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση του Θεωρήματος των Robertson και Seymour, η οποία ισχυρίζεται ότι η εμβαπτισιμότητα σε κάθε συγκεκριμένη επιφάνεια δύναται να χαρακτηριστεί μέσω της απαγόρευσης πεπερασμένων το πλήθος γραφημάτων ως ελάσσονα. Το τελευταίο αποτέλεσμα συνάγεται ως ένα αποτέλεσμα της θεωρίας των καλών-σχεδόν-διατάξεων αναδεικνύοντας με αυτό τον τρόπο την αλληλεπίδρασή της με την τοπολογική θεωρία γραφημάτων. Τέλος, σταχυολογούμε αποτελέσματα αναφορικά με την καλή-σχεδόν-διάταξη κλάσεων γραφημάτων από άλλες -πέραν της σχέσης έλασσον- σχέσεις γραφημάτων.In their Graph Minors series, Neil Robertson and Paul Seymour among other great results proved Wagner's conjecture which is today known as the Robertson and Seymour's theorem. In every step along their way to the final proof, each special case of the conjecture which they were proving was a consequence of a "structure theorem", that sufficiently general graphs contain minors or other sub-objects that are useful for the proof - or equivalently, that graphs that do not contain a useful minor have a certain restricted structure, deducing that way also a useful information for the proof. The main object of this thesis is the presentation of -relatively short- proofs of several Robertson and Seymour's theorem's special cases, illustrating by this way the interplay between structural graph theory and graphs' well-quasi-ordering. We present also the proof of the perhaps most important special case of the Robertson and Seymour's theorem which states that embeddability in any fixed surface can be characterized by forbidding finitely many minors. The later result is deduced as a well-quasi-ordering result, indicating by this way the interplay among topological graph theory and well-quasi-ordering theory. Finally, we survey results regarding the well-quasi-ordering of graphs by other than the minor graphs' relations

Well-Quasi-Ordering by the Induced-Minor Relation

Robertson and Seymour proved Wagner\u27s Conjecture, which says that finite graphs are well-quasi-ordered by the minor relation. Their work motivates the question as to whether any class of graphs is well-quasi-ordered by other containment relations. This dissertation is concerned with a special graph containment relation, the induced-minor relation. This dissertation begins with a brief introduction to various graph containment relations and their connections with well-quasi-ordering. In the first chapter, we discuss the results about well-quasi-ordering by graph containment relations and the main problems of this dissertation. The graph theory terminology and preliminary results that will be used are presented in the next chapter. The class of graphs that is considered in this research is the class W of graphs that contain neither W4 (a wheel graph with five vertices) and K5\e (a complete graph on five vertices minus an edge) as an induced minor. Chapter 3 is devoted to studying the structure of this class of graphs. A class of graphs is well-quasi-ordered by a containment relation if it contains no infinite antichain, so infinite antichains are important. We construct in Chapter 4 an infinite antichain of W with respect to the induced minor relation and study its important properties in Chapter 5. These properties are used in determining all well-quasi-ordered subclasses of W to reach the main result of Chapter 6

Minor­Obstructions for Apex Pseudoforests

Ένα γράφημα ανήκει στην κλάση των ψευδοδασών αν κάθε συνεκτική συνιστώσα του περιέχει το πολύ έναν κύκλο. Ένα γράφημα είναι απόγειο­ψευδοδάσος αν μπορεί να μετατραπεί σε ψευδοδάσος με την αφαίρεση μίας κορυφής. Έχουμε εντοπίσει τα 33 γραφήματα τα οποία αποτελούν το σύνολο παρεμπόδισης για την κλάση γραφημάτων απόγεια­ψευδοδάση, δηλαδή τα ελαχιστικά γραφήματα ως προς την σχέση του ελάσσονος, τα οποία δεν είναι απόγεια­ψευδοδάση.A graph is called a pseudoforest if none of its connected components contains more than one cycle. A graph is an apex­pseudoforest if it can become a pseudoforest by removing one of its vertices. We identify 33 graphs that form the minor obstruction set of the class of apex­pseudoforests, i.e., the set of all minor­minimal graphs that are not apex­pseudoforests