A Factorization Algorithm for G-Algebras and Applications

It has been recently discovered by Bell, Heinle and Levandovskyy that a large class of algebras, including the ubiquitous $G$-algebras, are finite factorization domains (FFD for short). Utilizing this result, we contribute an algorithm to find all distinct factorizations of a given element $f \in \mathcal{G}$, where $\mathcal{G}$ is any $G$-algebra, with minor assumptions on the underlying field. Moreover, the property of being an FFD, in combination with the factorization algorithm, enables us to propose an analogous description of the factorized Gr\"obner basis algorithm for $G$-algebras. This algorithm is useful for various applications, e.g. in analysis of solution spaces of systems of linear partial functional equations with polynomial coefficients, coming from $\mathcal{G}$. Additionally, it is possible to include inequality constraints for ideals in the input

Finiteness of leading monomial ideals and critical cones of characteristic varieties

Diese Dissertation besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil geben wir einen in sich abgeschlossenen und einheitlichen Ansatz zu einigen Endlichkeitsergebnissen über Leitmonomideale von Idealen im Polynomring bezüglich verschiedener Typen von totalen Monomordnungen. Die Ergegnisse in diesem Teil sind weitgehend nicht neu und können in den Arbeiten anderer Autoren gefunden werden, entweder basierend auf verschiedenen Ansätzen oder angewandt auf verschiedene Kontexte. Wir verallgemeinern einen Teil dieser Resultate auf Vektorräume, die zum Polynomring isomorph sind, einen Teil auf die grosse Klasse der zulässigen Algebren, welche zumindest die Klasse der Algebren von auflösbarem Typ umfasst. In der Literatur werden Leitmonomideale meistens nur bezüglich Monoidordnungen von Nt0 mit t ∈ N studiert, weil diese Ordnungen eine ergebnisreiche Divisionstheorie induzieren. In diesem Rahmen stellt der Macaulay’sche Basissatz den Schlüssel zu den Endlichkeitsresultaten für Leitmonomideale dar. Wir betrachten Leitmonomideale bezüglich Totalordnungen, Gradordnungen, Halbgruppenordnungen, Monoidordnungen, und gradverträglicher Monoidordnungen. Es stellt sich heraus, dass ein Ideal im Polynomring höchstens endlich viele bezüglich der Inklusion minimale Leitmonomideale besitzt, die aus Totalordnungen stammen. Weiter besitzt ein Ideal höchstens endlich viele minimale Leitmonomideale bezüglich Gradordnungen. Durch Monoidordnungen induzierte Leitmonomideale sind wegen einer hier bewiesenen leicht verallgemeinerten Version des Macaulay’schen Basissatzes minimal, und es folgt so, dass es nur endlich viele Leitmonomideale bezüglich Monoidordnungen zu einem gegebenen Ideal gibt. Anfangs hatten wir geplant, die Existenz von universellen Gröbnerbasen in zulässigen Algebren mithilfe der erwähnten Endlichkeitsresultate durch Nachahmung des klassischen Beweises im Polynomring zu zeigen. Das war unsere ursprüngliche Motivation, diese Endlichkeitseigenschaften zu untersuchen. In der Tat folgt aber die Existenz universeller Gröbnerbasen schon aus der Tatsache, dass die Totalordnungen auf einer gegebenen Menge einen kompakten topologischen Raum bilden und die zulässigen Algebren noethersch sind. Mit diesem Thema beenden wir den ersten Teil der vorliegenden Arbeit. Der zweite und innovative Teil dieser Dissertation stellt den Inhalt unseres Artikels [13] dar, welcher im Dezember 2010 zur Publikation in den Transactions of the American Mathematical Society angenommen worden ist. Hier widmen wir uns den charakteristischen Varietäten von Moduln über Weylalgebren. Diese affinen Variet¨aten werden mit gewichteten Gradfiltrierungen eines endlich erzeugten Moduls über einer Weilalgebra konstruiert. Zun¨achst erinnern wir also einige Tatsachen über filtrierte Moduln und deren assoziierte graduierte Moduln. Für filtrierte Moduln über filtrierten kommutativen Ringen zeigen wir, dass der Annullator des assoziierten graduierten Moduls radikalgleich ist zum assoziierten graduierten Ideal des filtrierten Annullators. Ein klassischer Satz von Bernstein besagt, dass die einem gegebenen Modul zugehörigen charakteristischen Varietäten nach dem Grad und nach der Ordnung die gleiche Krulldimension haben. In der Tat haben alle charakteristischen Varietäten eines Moduls die gleiche Krulldimension. Dies wird üblicherweise durch homologische Methoden gezeigt. Wir betten den erwähnten Dimensionssatz in den grösseren Zusammenhang einer Deformationstheorie von gewichteten Gradfiltrierungen und Monomordnungen ein. Unser deformationstheoretischer Ansatz wendet universelle Gröbnerbasen an, und die erwähnte Dimensionsgleichheit folgt als Korollar aus einem tieferen Resultat. Charakteristische Varietäten zeigen nämlich ein bemerkenswertes Verhalten, wenn man ihre definierenden Filtrierungen durch gewisse Adjustierungen der Gewichtung deformiert. Genauer wird eine charakteristische Varietät durch solche Deformationen in ihren eigenen kritischen Kegel übergeführt. Dies erlaubt, eine nichtendliche Filtrierung so zu deformieren, dass die entstehende Filtrierung endlich wird und die zu ihr assoziierte charakteristische Variet¨at gerade der kritische Kegel der ursprünglichen Varietät ist. Daraus folgt die Dimensionsgleichheit. Ein Grund hierfür ist, dass eine affine Variet¨at die gleiche Krulldimension wie ihr kritischer Kegel hat. Ein weiterer Grund ist, dass die Krull- und die GK-Dimension eines endlich erzeugten Moduls über einer endlich erzeugten kommutativen K-Algebra übereinstimmen. Ein dritter Grund ist, dass die GK-Dimension eines endlich filtrierten Moduls beim Übergang zum assoziierten graduierten Modul erhalten bleibt. Unser Resultat stellt auch einen ersten Schritt zur Klassifikation der charakteristischen Varietäten dar. Wir waren aber nicht in der Lage, eine solche Klassifikation in voller Allgemeinheit durchzuführen. Wir haben uns deshalb auf charakteristische Varietäten von zyklischen Moduln über der ersten Weylalgebra beschränkt und eine approximierte Klassifikation durch ein Computerexperiment berechnet. Das Experiment zeigt, dass der Gewichtsraum N20 r{(0, 0)} der Gradfiltrierungen in halbkegelförmige Gebiete unterteilt werden kann, welche jeweils zur selben charakteristische Varietät führen. Auf Grund dieses Experiments können wir auch eine obere Schranke für die Anzahl dieser charakteristischen Varietäten in Termen von Totalgraden der Elemente einer universellen Gröbnerbasis vermuten. Im Hinblick auf eine Arbeit von Aschenbrenner und Leykin [2] kann diese obere Schranke auch in Termen von Totalgraden von Erzeugern des Ideals angegeben werden, das den gegebenen zyklichen Modul definiert. Wir beenden den zweiten Teil mit einem Resultat von Skoda über die Lokalisierung von filtrierten Moduln. Mithilfe eines leichten Lemmas können wir Skodas Ergebnis eine geometrische Interpretation in unserem Kontext geben. Im ersten Anhang geben wir einen direkteren Beweis der Existenz von universellen Gröbnerbasen in Weylalgebren basierend auf den Divisionseigenschaften dieser Algebren und auf der Kompaktheit des topologischen Raums der Monoidordnungen. Im zweiten Anhang listen wir das Computerprogramm auf, das wir für das erw¨ahnte Experiment geschrieben haben

Restricted Lie (super)algebras, central extensions of non-associative algebras and some tapas

The general framework of this dissertation is the theory of non-associative algebras. We tackle diverse problems regarding restricted Lie algebras and superalgebras, central extensions of different classes of algebras and crossed modules of Lie superalgebras. Namely, we study the relations between the structural properties of a restricted Lie algebra and those of its lattice of restricted subalgebras; we define a non-abelian tensor product for restricted Lie superalgebras and for graded ideal crossed submodules of a crossed module of Lie superalgebras, and explore their properties from structural, categorical and homological points of view; we employ central extensions to classify nilpotent bicommutative algebras; and we compute central extensions of the associative null-filiform algebras and of axial algebras. Also, we include a final chapter devoted to compare the two main methods (Rabinowitsch's trick and saturation) to introduce negative conditions in the standard procedures of the theory of automated proving and discovery