Ideal Interpolation, H-Bases and Symmetry

International audienceMultivariate Lagrange and Hermite interpolation are examples ofideal interpolation. More generally an ideal interpolation problemis defined by a set of linear forms, on the polynomial ring, whosekernels intersect into an ideal.For an ideal interpolation problem with symmetry, we addressthe simultaneous computation of a symmetry adapted basis of theleast interpolation space and the symmetry adapted H-basis ofthe ideal. Beside its manifest presence in the output, symmetry isexploited computationally at all stages of the algorithm

Koszul algebras and Donaldson-Thomas invariants

For a given symmetric quiver $Q$, we define a supercommutative quadratic algebra $\mathcal{A}_Q$ whose Poincar\'e series is related to the motivic generating function of $Q$ by a simple change of variables. The Koszul duality between supercommutative algebras and Lie superalgebras assigns to the algebra $\mathcal{A}_Q$ its Koszul dual Lie superalgebra $\mathfrak{g}_Q$. We prove that the motivic Donaldson-Thomas invariants of the quiver $Q$ may be computed using the Poincar\'e series of a certain Lie subalgebra of $\mathfrak{g}_Q$ that can be described, using an action of the first Weyl algebra on $\mathfrak{g}_Q$, as the kernel of the operator $\partial_t$. This gives a new proof of positivity for motivic Donaldson--Thomas invariants. In addition, we prove that the algebra $\mathcal{A}_Q$ is numerically Koszul for every symmetric quiver $Q$ and conjecture that it is in fact Koszul; we also prove this conjecture for quivers of a certain class.Comment: 25 pages, the main result on DT invariants of symmetric quivers is now not conditional on Koszulnes

Algebraic Integrability Conditions for Killing Tensors on Constant Sectional Curvature Manifolds

We use an isomorphism between the space of valence two Killing tensors on an n-dimensional constant sectional curvature manifold and the irreducible GL(n+1)-representation space of algebraic curvature tensors in order to translate the Nijenhuis integrability conditions for a Killing tensor into purely algebraic integrability conditions for the corresponding algebraic curvature tensor, resulting in two simple algebraic equations of degree two and three. As a first application of this we construct a new family of integrable Killing tensors.Comment: 34 pages, no figure

Averaging, reduction and reconstruction in the spatial three-body problem

El objetivo de esta tesis es el estudio de la dinámica del problema espacial de tres cuerpos. En particular, se establece la existencia de toros KAM asociados a diferentes tipos de movimientos. El problema espacial de tres cuerpos es un sistema hamiltoniano de nueve grados de libertad. La primera parte de la tesis consiste en aplicar técnicas de promedios y reducción con el fin de obtener un sistema reducido de un grado de libertad, es decir, aquel en el que todas las simetrías continuas han sido reducidas. El estudio, desarrollado a lo largo del presente documento, es válido en las regiones en las cuales el hamiltoniano del problema espacial de tres cuerpos puede ser expresado como suma de dos sistemas keplerianos más un pequeña perturbación. El proceso de reducción consta de las siguientes etapas: 1.- Reducción de la simetría traslacional. 2.- Reducción kepleriana, introducida en el proceso de normalización. 3.- Reducción de la simetría rotacional. 4.- Reducción de las simetría introducida al truncar el desarrollo del potencial. En primer lugar, reducimos la simetría traslacional, escribiendo el hamiltoniano en función de las coordenadas de Jacobi. A continuación, utilizamos las variables de Deprit para eliminar los nodos. Posteriormente, normalizamos con respecto de las anomalías medias en una región sin resonancias y truncamos los términos de mayor orden. El sistema obtenido es expresado en términos de los invariantes que definen el espacio reducido, el cual es una variedad simpléctica de dimensión ocho. En segundo lugar, se reduce la simetría rotacional que viene determinada por el hecho de que el módulo del momento angular total y su proyección en el eje vertical del sistema de referencia inercial son integrales del movimiento. Una vez calculados los invariantes asociados a las simetrías generadas por dichas integrales y el espacio reducido correspondiente, expresamos el hamiltoniano en término de estos invariantes. Ahora el espacio reducido tiene dimensión seis y es singular para algunos valores de los parámetros. En esta parte del estudio, la teoría de la reducción singular juega un papel clave. El último paso en el proceso de reducción es el de eliminar la simetría asociada al argumento del pericentro del cuerpo exterior. Dicha simetría aparece al truncar el hamiltoniano, puesto que este resulta ser independiente del argumento del pericentro. Una vez finalizado el proceso de reducción, obtenemos un espacio, que puede ser regular y difeomorfo a S2 o singular con a lo sumo tres puntos singulares, de dimensión dos parametrizado por medio de tres invariantes. En este espacio estudiamos los equilibrios relativos, su estabilidad y bifurcaciones. Partiendo del análisis de los equilibrios relativos en el espacio más reducido, llevamos a cabo la reconstrucción de toros KAM alrededor de cada equilibrio de tipo elíptico. Nuestro estudio consiste en una combinación de técnicas de regularizaci ón basadas en la construcción de espacios reducidos a diferentes niveles y la determinación explícita de coordenadas simplécticas. Todo esto nos permite calcular las torsiones para todas las posibles combinaciones de movimientos que las tres partículas puede seguir, incluyendo aquellos en los que los cuerpos interiores siguen trayectorias casi rectilíneas. Para probar la existencia de soluciones cuasi-periódicas utilizamos el teorema de Han, Li y Yi para sistemas hamiltonianos con alta degeneración y obtenemos toros KAM, de dimensión cinco, alrededor de equilibrios elípticos que representan diferentes tipos de movimientos. Centrándonos en los movimientos casi rectilíneos, encontramos soluciones cuasiperiódicas de los tres cuerpos tales que los dos cuerpos interiores describen órbitas cercanas a las de colisión. Los cuerpos interiores no colisionan, siguen órbitas acotadas con excentricidades próximas a uno. Estas soluciones están asociadas a puntos de equilibrio elípticos y o bien están en el plano invariable o son perpendiculares a él. Estas soluciones llenan toros invariantes de dimensión cinco.Programa Oficial de Doctorado en Métodos Matemáticos y sus Aplicaciones (RD 1393/2007)Metodo Matematikoetako eta beren Aplikazioetako Doktoretza Programa Ofiziala (ED 1393/2007

Gauge Backgrounds and Zero-Mode Counting in F-Theory

Computing the exact spectrum of charged massless matter is a crucial step towards understanding the effective field theory describing F-theory vacua in four dimensions. In this work we further develop a coherent framework to determine the charged massless matter in F-theory compactified on elliptic fourfolds, and demonstrate its application in a concrete example. The gauge background is represented, via duality with M-theory, by algebraic cycles modulo rational equivalence. Intersection theory within the Chow ring allows us to extract coherent sheaves on the base of the elliptic fibration whose cohomology groups encode the charged zero-mode spectrum. The dimensions of these cohomology groups are computed with the help of modern techniques from algebraic geometry, which we implement in the software gap. We exemplify this approach in models with an Abelian and non-Abelian gauge group and observe jumps in the exact massless spectrum as the complex structure moduli are varied. An extended mathematical appendix gives a self-contained introduction to the algebro-geometric concepts underlying our framework.Comment: 41 pages + extended appendice

Symmetry reduction and recovery of trajectories of optimal control problems via measure relaxations

We address the problem of symmetry reduction of optimal control problems under the action of a finite group from a measure relaxation viewpoint. We propose a method based on the moment-SOS aka Lasserre hierarchy which allows one to significantly reduce the computation time and memory requirements compared to the case without symmetry reduction. We show that the recovery of optimal trajectories boils down to solving a symmetric parametric polynomial system. Then we illustrate our method on the symmetric integrator and the time-optimal inversion of qubits.Comment: 38 pages, 23 figure

An Algebro-Geometric Approach to Twisted Indices of Supersymmetric Gauge Theories

This thesis studies the algebro-geometric aspects of supersymmetric abelian gauge theories in three dimensions. The supersymmetric vacua are demonstrated to exhibit a window phenomenon in Chern-Simons levels, which is analogous to the window phenomenon in quantum K-theory with level structures. This correspondence between three-dimensional gauge theories and quantum K-theory is investigated from the perspectives of semi-classical vacua, twisted chiral rings, and twisted indices. In particular, the twisted index admits an algebro-geometric interpretation as the supersymmetric index of an effective quantum mechanics. Via supersymmetric localisation, the contributions from both topological and vortex saddle points are shown to agree with the Jeffrey-Kirwan contour integral formula. The algebro-geometric construction of Chern-Simons contributions to the twisted index from determinant line bundles provides a natural connection with quantum K-theory