Discrete Differential Geometry

This is the collection of extended abstracts for the 26 lectures and the open problem session at the fourth Oberwolfach workshop on Discrete Differential Geometry

Discretized Riemannian Delaunay Triangulations

Anisotropic meshes are desirable for various applications, such as the numerical solving of partial differential equations and graphics.In this report, we introduce an algorithm to compute discrete approximations of Riemannian Voronoi diagrams on 2-manifolds.This is not straightforward because geodesics, shortest paths between points, and therefore distances cannot, in general, be computed exactly.We give conditions that guarantee that our discrete Riemannian Voronoi diagram is combinatorially equivalent to the exact Riemannian Voronoi diagram.This allows us to build upon recent theoretical results on Riemannian Delaunay triangulations, and guarantee that the dual of our discrete Riemannian Voronoi diagram is an embedded triangulation using both approximate geodesics and straight edges.Our implementation employs recent developments in the numerical computation of geodesic distances.We observe that, in practice, our discrete Voronoi Diagram is correct in a far wider range of settings than our theoretical bounds imply.Both the theoretical guarantees on the approximation of the Voronoi diagram and the implementation are new and provides a step towards the practical application of Riemannian Delaunay triangulations.Les maillages anisotropes sont désirables pour de nombreuses applications, telles que la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles ou la visualisation.Dans ce rapport, nous présentons un algorithme qui permet de calculer une approximation discrète d'un diagramme de Voronoi Riemannien sur une 2-variété.Il s'agit d'une tache complexe car ce diagramme est basé sur la notion de courbe géodésique, qui ne peut en général pas être calculée de manière exacte.Nous donnons dans ce rapport des conditions qui garantissent que notre diagramme de Voronoi Riemannien discret est combinatoirement équivalent au diagramme de Voronoi Riemannien exact.Ceci nous permet ensuite d'utiliser des résultats récents sur les triangulations de Delaunay Riemanniennes pour garantir le fait que le dual de notre diagramme de Voronoi Riemannien discret est une triangulation plongée, à la fois en utilisant des arêtes géodésiques et des arêtes droites.Notre implémentation est basée sur de récentes avancées dans le calcul numérique des distances géodésiques.Nous observons en pratique que notre diagramme de Voronoi Riemannien discret est correct dans des conditions beaucoup moins contraignantes que ce que notre théorie implique.Les garanties théoriques et l'approximation du diagramme de Voronoi sont nouvelles et sont une étape de plus vers une utilisation pratique des triangulations de Delaunay Riemanniennes

Calculating Sparse and Dense Correspondences for Near-Isometric Shapes

Comparing and analysing digital models are basic techniques of geometric shape processing. These techniques have a variety of applications, such as extracting the domain knowledge contained in the growing number of digital models to simplify shape modelling. Another example application is the analysis of real-world objects, which itself has a variety of applications, such as medical examinations, medical and agricultural research, and infrastructure maintenance. As methods to digitalize physical objects mature, any advances in the analysis of digital shapes lead to progress in the analysis of real-world objects. Global shape properties, like volume and surface area, are simple to compare but contain only very limited information. Much more information is contained in local shape differences, such as where and how a plant grew. Sadly the computation of local shape differences is hard as it requires knowledge of corresponding point pairs, i.e. points on both shapes that correspond to each other. The following article thesis (cumulative dissertation) discusses several recent publications for the computation of corresponding points: - Geodesic distances between points, i.e. distances along the surface, are fundamental for several shape processing tasks as well as several shape matching techniques. Chapter 3 introduces and analyses fast and accurate bounds on geodesic distances. - When building a shape space on a set of shapes, misaligned correspondences lead to points moving along the surfaces and finally to a larger shape space. Chapter 4 shows that this also works the other way around, that is good correspondences are obtain by optimizing them to generate a compact shape space. - Representing correspondences with a “functional map” has a variety of advantages. Chapter 5 shows that representing the correspondence map as an alignment of Green’s functions of the Laplace operator has similar advantages, but is much less dependent on the number of eigenvectors used for the computations. - Quadratic assignment problems were recently shown to reliably yield sparse correspondences. Chapter 6 compares state-of-the-art convex relaxations of graphics and vision with methods from discrete optimization on typical quadratic assignment problems emerging in shape matching

Surface Deformation Potentials on Meshes for Computer Graphics and Visualization

Shape deformation models have been used in computer graphics primarily to describe the dynamics of physical deformations like cloth draping, collisions of elastic bodies, fracture, or animation of hair. Less frequent is their application to problems not directly related to a physical process. In this thesis we apply deformations to three problems in computer graphics that do not correspond to physical deformations. To this end, we generalize the physical model by modifying the energy potential. Originally, the energy potential amounts to the physical work needed to deform a body from its rest state into a given configuration and relates material strain to internal restoring forces that act to restore the original shape. For each of the three problems considered, this potential is adapted to reflect an application specific notion of shape. Under the influence of further constraints, our generalized deformation results in shapes that balance preservation of certain shape properties and application specific objectives similar to physical equilibrium states. The applications discussed in this thesis are surface parameterization, interactive shape editing and automatic design of panorama maps. For surface parameterization, we interpret parameterizations over a planar domain as deformations from a flat initial configuration onto a given surface. In this setting, we review existing parameterization methods by analyzing properties of their potential functions and derive potentials accounting for distortion of geometric properties. Interactive shape editing allows an untrained user to modify complex surfaces, be simply grabbing and moving parts of interest. A deformation model interactively extrapolates the transformation from those parts to the rest of the surface. This thesis proposes a differential shape representation for triangle meshes leading to a potential that can be optimized interactively with a simple, tailored algorithm. Although the potential is not physically accurate, it results in intuitive deformation behavior and can be parameterized to account for different material properties. Panorama maps are blends between landscape illustrations and geographic maps that are traditionally painted by an artist to convey geographic surveyknowledge on public places like ski resorts or national parks. While panorama maps are not drawn to scale, the shown landscape remains recognizable and the observer can easily recover details necessary for self location and orientation. At the same time, important features as trails or ski slopes appear not occluded and well visible. This thesis proposes the first automatic panorama generation method. Its basis is again a surface deformation, that establishes the necessary compromise between shape preservation and feature visibility.Potentiale zur Flächendeformation auf Dreiecksnetzen für Anwendungen in der Computergrafik und Visualisierung Deformationsmodelle werden in der Computergrafik bislang hauptsächlich eingesetzt, um die Dynamik physikalischer Deformationsprozesse zu modellieren. Gängige Beispiele sind Bekleidungssimulationen, Kollisionen elastischer Körper oder Animation von Haaren und Frisuren. Deutlich seltener ist ihre Anwendung auf Probleme, die nicht direkt physikalischen Prozessen entsprechen. In der vorliegenden Arbeit werden Deformationsmodelle auf drei Probleme der Computergrafik angewandt, die nicht unmittelbar einem physikalischen Deformationsprozess entsprechen. Zu diesem Zweck wird das physikalische Modell durch eine passende Änderung der potentiellen Energie verallgemeinert. Die potentielle Energie entspricht normalerweise der physikalischen Arbeit, die aufgewendet werden muss, um einen Körper aus dem Ruhezustand in eine bestimmte Konfiguration zu verformen. Darüber hinaus setzt sie die aktuelle Verformung in Beziehung zu internen Spannungskräften, die wirken um die ursprüngliche Form wiederherzustellen. In dieser Arbeit passen wir für jedes der drei betrachteten Problemfelder die potentielle Energie jeweils so an, dass sie eine anwendungsspezifische Definition von Form widerspiegelt. Unter dem Einfluss weiterer Randbedingungen führt die so verallgemeinerte Deformation zu einer Fläche, die eine Balance zwischen der Erhaltung gewisser Formeigenschaften und Zielvorgaben der Anwendung findet. Diese Balance entspricht dem Equilibrium einer physikalischen Deformation. Die drei in dieser Arbeit diskutierten Anwendungen sind Oberflächenparameterisierung, interaktives Bearbeiten von Flächen und das vollautomatische Erzeugen von Panoramakarten im Stile von Heinrich Berann. Zur Oberflächenparameterisierung interpretieren wir Parameterisierungen über einem flachen Parametergebiet als Deformationen, die ein ursprünglich ebenes Flächenstück in eine gegebene Oberfläche verformen. Innerhalb dieses Szenarios vergleichen wir dann existierende Methoden zur planaren Parameterisierung, indem wir die resultierenden potentiellen Energien analysieren, und leiten weitere Potentiale her, die die Störung geometrischer Eigenschaften wie Fläche und Winkel erfassen. Verfahren zur interaktiven Flächenbearbeitung ermöglichen schnelle und intuitive Änderungen an einer komplexen Oberfläche. Dazu wählt der Benutzer Teile der Fläche und bewegt diese durch den Raum. Ein Deformationsmodell extrapoliert interaktiv die Transformation der gewählten Teile auf die restliche Fläche. Diese Arbeit stellt eine neue differentielle Flächenrepräsentation für diskrete Flächen vor, die zu einem einfach und interaktiv zu optimierendem Potential führt. Obwohl das vorgeschlagene Potential nicht physikalisch korrekt ist, sind die resultierenden Deformationen intuitiv. Mittels eines Parameters lassen sich außerdem bestimmte Materialeigenschaften einstellen. Panoramakarten im Stile von Heinrich Berann sind eine Verschmelzung von Landschaftsillustration und geographischer Karte. Traditionell werden sie so von Hand gezeichnet, dass bestimmt Merkmale wie beispielsweise Skipisten oder Wanderwege in einem Gebiet unverdeckt und gut sichtbar bleiben, was große Kunstfertigkeit verlangt. Obwohl diese Art der Darstellung nicht maßstabsgetreu ist, sind Abweichungen auf den ersten Blick meistens nicht zu erkennen. Dadurch kann der Betrachter markante Details schnell wiederfinden und sich so innerhalb des Gebietes orientieren. Diese Arbeit stellt das erste, vollautomatische Verfahren zur Erzeugung von Panoramakarten vor. Grundlage ist wiederum eine verallgemeinerte Oberflächendeformation, die sowohl auf Formerhaltung als auch auf die Sichtbarkeit vorgegebener geographischer Merkmale abzielt