Fraktalna analiza neomeđenih skupova u euklidskim prostorima i Lapidusove zeta funkcije

In this thesis , we consider relative fractal drums and their corresponding Lapidus fractal zeta functions, as well as a generalization of this notions to the case of unbounded sets at infinity. Relative fractal drums themselves are a generalization of the notion of a bounded subset in an Euclidean space. Here, we continue the ongoing research into their properties and the higher-dimensional theory of their fractal zeta functions and complex dimensions which started as a collaboration between M. L. Lapidus and D. Žubrinić in 2009 with the later addition of the author of this thesis. The theory of complex dimensions is already well developed for fractal strings; that is, for fractal subsets of the real line. The complex dimensions of a relative fractal drum are defined as poles of a meromorphic continuation of its corresponding distance or tube zeta function. Complex dimensions of a relative fractal drum generalize, in a way, the notion its box (or Minkowski) dimension. More precisely, under some mild conditions, the value of the box dimension of a relative fractal drum is a pole of its corresponding fractal zeta function with maximal real part. Moreover, the residue computed at this pole is closely related to its Minkowski content. Here we derive important results which further justify the notion of ‘complex dimensions’ and connect it to fractal properties of a given relative fractal drum. More precisely, we establish fractal tube formulas for a class of relative fractal drums which express their relative tube function; that is, the Lebesgue measure of their relative δ-neighborhood for small values of δ, as a sum over the residues of their fractal zeta function. These formulas are given with or without an error term and hold pointwise or distributionally depending on the growth properties of the corresponding fractal zeta function. The importance of these formulas is that they show how the complex dimensions are related to the asymptotic development of the relative tube function of a given relative fractal drum. As an application we derive a Minkowski measurability criterion for a large class of relative fractal drums. Furthermore, we also show that the complex dimensions of a relative fractal drum are, as expected, invariant to the dimension of the ambient space. We introduce a further generalization of the theory of complex dimensions to the context of unbounded sets at infinity which can be used as a new approach of applying fractal analysis to unbounded subsets in Euclidean spaces. This is done for unbounded sets of finite Lebesgue measure by introducing the notions of Minkowski content at infinity and Minkowski (or box) dimension at infinity which describe their fractal properties. Furthermore, we proceed by introducing an appropriate Lapidus (or distance) zeta function at infinity and show that it is well connected with the fractal properties of unbounded sets. We proceed by constructing interesting examples of quasiperiodic sets at infinity with arbitrary number (even infinite) of quasiperiods that exhibit complex fractal behavior. We also address the natural question which arises when dealing with unbounded sets and their fractal properties; that is, establish results about the fractal properties of their images under the one-point compactification and under the geometric inversion. Furthermore, we also investigate fractal properties of unbounded sets of infinite Lebesgue measure by introducing notions of the parametric φ-shell Minkowski content at infinity and the corresponding parametric φ-shell Minkowski (or box) dimension at infinity and we establish results connecting these notions with the distance zeta function at infinity. Finally we demonstrate how fractal analysis of unbounded sets via the geometric inversion may be applied to investigate bifurcations of dynamical systems occurring at infinity.U ovoj disertaciji bavimo se relativnim fraktalnim bubnjevima i njihovim fraktalnim zeta funkcijama Lapidusovog tipa, kao i generalizacijama ovih pojmova za slučaj neomeđenih skupova u beskonačnosti. Relativni fraktalni bubnjevi su sami po sebi generalizacija pojma omeđenog skupa u Euklidskom prostoru. Ovdje nastavljamo istraživanje njihovih svojstava i višedimenzionalne teorije njihovih fraktalnih zeta funkcija te pripadajućih kompleksnih dimenzija koje je započeto suradnjom M. L. Lapidusa i D. Žubrinića 2009. godine a kojoj se autor disertacije pridružio nešto kasnije. Teorija kompleksnih dimenzija već je vrlo dobro razvijena za slučaj fraktalnih struna, odnosno, fraktalnih podskupova realnog pravca. Kompleksne dimenzije relativnog fraktalnog bubnja definirane su kao polovi meromorfnog proširenja pripadajuće razdaljinske ili cijevne zeta funkcije. Na određeni način kompleksne dimenzije relativnog fraktalnog bubnja generaliziraju pojam njegove box dimenzije (ili dimenzije Minkowskog). Preciznije, uz neke blage uvjete, vrijednost box dimenzije relativnog fraktalnog bubnja jest pol njegove pripadajuće fraktalne zeta funkcije s maksimalnom vrijednošću realnog dijela. Štoviše, reziduum u tom polu usko je povezan sa sadržajem Minkowskog danog relativnog fraktalnog bubnja. U ovoj radnji izvodimo važne rezultate koji donose daljnje opravdanje pojma ‘kompleksnih dimenzija’ i povezuju ga s fraktalnim svojstvima danog relativnog fraktalnog bubnja. Preciznije, kao rezultat dobivamo fraktalne cijevne formule za klasu relativnih fraktalnih bubnjeva koje izražavaju njihovu relativnu cijevnu funkciju, odnosno, Lebesgueovu mjeru njihove relativne δ-okoline za male vrijednosti δ, kao sumu po reziduumima njihove fraktalne zeta funkcije. Te formule su dane s greškom ili bez greške i vrijede po točkama ili distribucijski ovisno svojstvima rasta pripadajuće fraktalne zeta funkcije. Važnost ovih formula je u tome što pokazuju kako su kompleksne dimenzije povezane s asimptotikom relativne cijevne funkcije danog relativnog fraktalnog bubnja. Kao primjenu izvodimo kriterij za Minkowskivljevu izmjerivost velike klase relativnih fraktalnih bubnjeva. Nadalje, očekivano, pokazujemo da su kompleksne dimenzije danog relativnog fraktalnog bubnja invarijantne u odnosu na dimenziju ambijentnog prostora. U nastavku radnje uvodimo generalizaciju teorije kompleksnih dimenzija u kontekstu neomeđenih skupova u beskonačnosti koja može poslužiti kao novi pristup primjeni fraktalne analize na neomeđene skupove u Euklidskim prostorima. U slučaju neomeđenih skup ova konačne Lebesgueove mjere, generalizaciju provodimo uvođenjem pojmova sadržaja Minkowskog u beskonačnosti i box dimenzije u beskonačnosti (ili dimenzije Minkowskog u beskonačnosti) koji opisuju njihova fraktalna svojstva. Nadalje, uvodimo i pripadajuću Lapidusovu (ili razdaljinsku) zeta funkciju u beskonačnosti te pokazujemo da je dobro povezana s fraktalnim svojstvima neomeđenih skupova. Nastavljamo s konstrukcijom zanimljivih primjera kvaziperiodičkih skupova u beskonačnosti s proizvoljnim brojem (moguće i beskonačnim) kvaziperioda koji posjeduju složena fraktalna svojstva. Također se bavimo i prirodnim pitanjem koje se postavlja prilikom istraživanja neomeđenih skupova i njihovih fraktalnih svojstava, u vidu pronalaženja rezultata koji ih povezuju s fraktalnim svojstvima njihovih slika po jednotočkovnoj kompaktifikaciji i po geometrijskoj inverziji. Nadalje, također istražujemo i fraktalna svojstva neomeđenih skupova beskonačne Lebesgueove mjere uvođenjem pojmova parametarskog φ-omotačkog sadržaja Minkowskog u beskonačnosti i pripadajuće parametarske φ-omotačke dimenzije Minkowskog u beskonačnosti (ili φ-omotačke box dimenzije u beskonačnosti) te izvodimo rezultate koji povezuju ove pojmove s razdaljinskom zeta funkcijom u beskonačnosti. Naposljetku, demonstriramo kako se fraktalna analiza neomeđenih skupova preko geometrijske inverzije može primijeniti u istraživanju bifurkacija dinamičkih sustava koje se događaju u beskonačnosti