Compiling Geometric Algebra Computations into Reconfigurable Hardware Accelerators

Geometric Algebra (GA), a generalization of quaternions and complex numbers, is a very powerful framework for intuitively expressing and manipulating the complex geometric relationships common to engineering problems. However, actual processing of GA expressions is very compute intensive, and acceleration is generally required for practical use. GPUs and FPGAs offer such acceleration, while requiring only low-power per operation. In this paper, we present key components of a proof-of-concept compile flow combining symbolic and hardware optimization techniques to automatically generate hardware accelerators from the abstract GA descriptions that are suitable for high-performance embedded computing

An Optimized Architecture for CGA Operations and Its Application to a Simulated Robotic Arm

Conformal geometric algebra (CGA) is a new geometric computation tool that is attracting growing attention in many research fields, such as computer graphics, robotics, and computer vision. Regarding the robotic applications, new approaches based on CGA have been proposed to efficiently solve problems as the inverse kinematics and grasping of a robotic arm. The hardware acceleration of CGA operations is required to meet real-time performance requirements in embedded robotic platforms. In this paper, we present a novel embedded coprocessor for accelerating CGA operations in robotic tasks. Two robotic algorithms, namely, inverse kinematics and grasping of a human-arm-like kinematics chain, are used to prove the effectiveness of the proposed approach. The coprocessor natively supports the entire set of CGA operations including both basic operations (products, sums/differences, and unary operations) and complex operations as rigid body motion operations (reflections, rotations, translations, and dilations). The coprocessor prototype is implemented on the Xilinx ML510 development platform as a complete system-on-chip (SoC), integrating both a PowerPC processing core and a CGA coprocessing core on the same Xilinx Virtex-5 FPGA chip. Experimental results show speedups of 78x and 246x for inverse kinematics and grasping algorithms, respectively, with respect to the execution on the PowerPC processor

Die Geometrische Algebra mit GAALOP im Schnelldurchgang

Die Geometrische Algebra ist eine mathematische Sprache, die von David Hestenes und anderen vorrangig mit physikalischer und physikdidaktischer Zielrichtung gestaltet und weiterentwickelt wurde. Sie basiert auf einer didaktischen Umformung der Clifford-Algebra. Da dieser mathematische Ansatz konzeptuell sehr tragfähig ist und insbesondere einen alternativen Zugang zur Linearen Algebra bietet, kann er auch außerhalb der Physik erfolgreich genutzt werden.Dazu wurde auf der DPG-Frühjahrstagung 2016 die Kurseinheit ”Geometrische Algebra im Schnelldurchgang” für Fachhochschulstudierende mit nur begrenzten mathematischen Vorkenntnissen vorgestellt.Aufgrund der nur eingeschränkt vorhandenen Rechenfähigkeiten der Studierenden wurden lediglich Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten und (2 x 2)-Matrizen thematisiert. Um mit Studierenden dieses Leistungsniveaus auch anspruchsvollere Aufgabenstellungen diskutieren und bearbeiten zu können, ist zur zeitlichen Entlastung die Bereitstellung einer effektiven Rechner-Unterstützung sinnvoll. Allerdings existieren derzeit keine Taschenrechner, die Rechnungen zur Geometrischen Algebra zulassen.In diesem Beitrag wird deshalb gezeigt, wie das Programm-Tool GAALOP (Geometric Algebra Algorithms Optimizer) als geometrisch-algebraischer Taschenrechner-Ersatz eingesetzt und didaktisch sinnvoll zur Modellierung von Problemstellungen unter Einbezug höher-dimensionaler Linearer Gleichungssysteme genutzt werden kann.

Die Geometrische Algebra mit GAALOP im Schnelldurchgang

Die Geometrische Algebra ist eine mathematische Sprache, die von David Hestenes und anderen vorrangig mit physikalischer und physikdidaktischer Zielrichtung gestaltet und weiterentwickelt wurde. Sie basiert auf einer didaktischen Umformung der Clifford-Algebra. Da dieser mathematische Ansatz konzeptuell sehr tragfähig ist und insbesondere einen alternativen Zugang zur Linearen Algebra bietet, kann er auch außerhalb der Physik erfolgreich genutzt werden.Dazu wurde auf der DPG-Frühjahrstagung 2016 die Kurseinheit ”Geometrische Algebra im Schnelldurchgang” für Fachhochschulstudierende mit nur begrenzten mathematischen Vorkenntnissen vorgestellt.Aufgrund der nur eingeschränkt vorhandenen Rechenfähigkeiten der Studierenden wurden lediglich Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten und (2 x 2)-Matrizen thematisiert. Um mit Studierenden dieses Leistungsniveaus auch anspruchsvollere Aufgabenstellungen diskutieren und bearbeiten zu können, ist zur zeitlichen Entlastung die Bereitstellung einer effektiven Rechner-Unterstützung sinnvoll. Allerdings existieren derzeit keine Taschenrechner, die Rechnungen zur Geometrischen Algebra zulassen.In diesem Beitrag wird deshalb gezeigt, wie das Programm-Tool GAALOP (Geometric Algebra Algorithms Optimizer) als geometrisch-algebraischer Taschenrechner-Ersatz eingesetzt und didaktisch sinnvoll zur Modellierung von Problemstellungen unter Einbezug höher-dimensionaler Linearer Gleichungssysteme genutzt werden kann.

Lorentz-Transformationen mit GAALOP

Lorentz-Transformationen können in der vierdimensionalen Raumzeit als hyperbolische Rotationen modelliert werden. Diese wiederum lassen sich als Hintereinanderausführung hyperbolischer Reflexionen deuten.Da Reflexionen in der Geometrischen Algebra und insbesondere hyperbolische Reflexionen in der Raumzeit-Algebra nach Hestenes durch Sandwich-Produkte beschrieben werden, lassen sich auf dieser Grundlage Lorentz-Transformationen didaktisch elegant und mathematisch sehr einfach durch simple Multiplikationen von Vektoren darstellen.Diese Multiplikationen können entweder von Hand oder aber mit Computerhilfe durchgeführt werden. Im Beitrag wird gezeigt, wie Lorentz-Transformationen auf mathematisch unterschiedlichen Niveaustufen mit Hilfe des Programm-Tools "Geometric Algebra Algorithms Optimizer" (GAALOP) verstanden und berechnet werden können. Dabei kommt GAALOP die Rolle eines speziell-relativistischen Taschenrechner-Ersatzes zu.

Lorentz-Transformationen mit GAALOP

Lorentz-Transformationen können in der vierdimensionalen Raumzeit als hyperbolische Rotationen modelliert werden. Diese wiederum lassen sich als Hintereinanderausführung hyperbolischer Reflexionen deuten.Da Reflexionen in der Geometrischen Algebra und insbesondere hyperbolische Reflexionen in der Raumzeit-Algebra nach Hestenes durch Sandwich-Produkte beschrieben werden, lassen sich auf dieser Grundlage Lorentz-Transformationen didaktisch elegant und mathematisch sehr einfach durch simple Multiplikationen von Vektoren darstellen.Diese Multiplikationen können entweder von Hand oder aber mit Computerhilfe durchgeführt werden. Im Beitrag wird gezeigt, wie Lorentz-Transformationen auf mathematisch unterschiedlichen Niveaustufen mit Hilfe des Programm-Tools "Geometric Algebra Algorithms Optimizer" (GAALOP) verstanden und berechnet werden können. Dabei kommt GAALOP die Rolle eines speziell-relativistischen Taschenrechner-Ersatzes zu.