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Computing the Noncomputable
We explore in the framework of Quantum Computation the notion of
computability, which holds a central position in Mathematics and Theoretical
Computer Science. A quantum algorithm that exploits the quantum adiabatic
processes is considered for the Hilbert's tenth problem, which is equivalent to
the Turing halting problem and known to be mathematically noncomputable.
Generalised quantum algorithms are also considered for some other mathematical
noncomputables in the same and of different noncomputability classes. The key
element of all these algorithms is the measurability of both the values of
physical observables and of the quantum-mechanical probability distributions
for these values. It is argued that computability, and thus the limits of
Mathematics, ought to be determined not solely by Mathematics itself but also
by physical principles.Comment: Extensively revised and enlarged with: 2 new subsections, 4 new
figures, 1 new reference, and a short biography as requested by the journal
edito
The connection between computability of a nonlinear problem and its linearization: the Hartman-Grobman theorem revisited
As one of the seven open problems in the addendum to their 1989 book Computability in Analysis and Physics Pour-El and Richards (1989)[17], Pour-El and Richards asked, "What is the connection between the computability of the original nonlinear operator and the linear operator which results from it?" Yet at present, systematic studies of the issues raised by this question seem to be missing from the literature. In this paper, we study one problem in this direction: the Hartman-Grobman linearization theorem for ordinary differential equations (ODEs). We prove, roughly speaking, that near a hyperbolic equilibrium point x(0) of a nonlinear ODE (x) over dot = f(x), there is a computable homeomorphism H such that H circle phi = L circle H, where phi is the solution to the ODE and L is the solution to its linearization (x) over dot = Df (x(0)) x. (C) 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.Fundacao para a Ciencia e a Tecnologia; EU FEDER POCTI/POCI via SQIG - Instituto de Telecomunicacoes through the FCT [PEst-OE/EEI/LA0008/2011
Computability with polynomial differential equations
Tese dout., Matemática, Inst. Superior Técnico, Univ. Técnica de Lisboa, 2007Nesta dissertação iremos analisar um modelo de computação analógica, baseado
em equações diferenciais polinomiais.
Começa-se por estudar algumas propriedades das equações diferenciais polinomiais, em
particular a sua equivalência a outro modelo baseado em circuitos analógicos (GPAC),
introduzido por C. Shannon em 1941, e que é uma idealização de um dispositivo físico, o
Analisador Diferencial.
Seguidamente, estuda-se o poder computacional do modelo. Mais concretamente,
mostra-se que ele pode simular máquinas de Turing, de uma forma robusta a erros, pelo
que este modelo é capaz de efectuar computações de Tipo-1. Esta simulação é feita em
tempo contínuo. Mais, mostramos que utilizando um enquadramento apropriado, o modelo
é equivalente à Análise Computável, isto é, à computação de Tipo-2.
Finalmente, estudam-se algumas limitações computacionais referentes aos problemas
de valor inicial (PVIs) definidos por equações diferenciais ordinárias. Em particular: (i)
mostra-se que mesmo que o PVI seja definido por uma função analítica e que a mesma,
assim como as condições iniciais, sejam computáveis, o respectivo intervalo maximal de
existência da solução não é necessariamente computável; (ii) estabelecem-se limites para
o grau de não-computabilidade, mostrando-se que o intervalo maximal é, em condições
muito gerais, recursivamente enumerável; (iii) mostra-se que o problema de decidir se o
intervalo maximal é ou não limitado é indecídivel, mesmo que se considerem apenas PVIs
polinomiais
Solving analytic differential equations in polynomial time over unbounded domains
In this paper we consider the computational complexity of solving initial-value problems de ned with analytic ordinary diferential
equations (ODEs) over unbounded domains of Rn and Cn, under the Computable Analysis setting. We show that the solution can be computed in polynomial time over its maximal interval of de nition, provided it satis es a very generous bound on its growth, and that the function admits an analytic extension to the complex plane
Computability, Noncomputability, and Hyperbolic Systems
In this paper we study the computability of the stable and unstable manifolds
of a hyperbolic equilibrium point. These manifolds are the essential feature
which characterizes a hyperbolic system. We show that (i) locally these
manifolds can be computed, but (ii) globally they cannot (though we prove they
are semi-computable). We also show that Smale's horseshoe, the first example of
a hyperbolic invariant set which is neither an equilibrium point nor a periodic
orbit, is computable
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