Algorithms for drawing planar graphs

Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle onderlinge relaties direct blijken. Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec- trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen genoemd en de verbindingen lijnen. Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be- trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een \mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf, maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het geval is dan wordt de graaf planair genoemd. We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van 223?224 SAMENVATTING planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de volgende: Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven). Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie \mooi" kan worden weergegeven. Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten. Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande verbindingen van een knoop. Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen. De interne gebieden moeten convex getekend worden. Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf. Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen: Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf- gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen. Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen- hangend als na het weglaten van

The Vulcan game of Kal-toh: Finding or making triconnected planar subgraphs

In the game of Kal-toh depicted in the television series Star Trek: Voyager, players attempt to create polyhedra by adding to a jumbled collection of metal rods. Inspired by this fictional game, we formulate graph-theoretical questions about polyhedral (triconnected and planar) subgraphs in an on-line environment. The problem of determining the existence of a polyhedral subgraph within a graph G is shown to be NP-hard, and we also give some non-trivial upper bounds for the problem of determining the minimum number of edge additions necessary to guarantee the existence of a polyhedral subgraph in G. A two-player formulation of Kal-toh is also explored, in which the first player to form a target subgraph is declared the winner. We show a polynomial-time solution for simple cases of this game but conjecture that the general problem is NP-hard

An Experimental Study of Parallel Biconnected Components Algorithms on Symmetric Multiprocessors (SMPs)

We present an experimental study of parallel biconnected components algorithms employing several fundamental parallel primitives, e.g., prefix sum, list ranking, sorting, connectivity, spanning tree, and tree computations. Previous experimental studies of these primitives demonstrate reasonable parallel speedups. However, when these algorithms are used as subroutines to solve higher-level problems, there are two factors that hinder fast parallel implementations. One is parallel overhead, i.e., the large constant factors hidden in the asymptotic bounds; the other is the discrepancy among the data structures used in the primitives that brings non-negligible conversion cost. We present various optimization techniques and a new parallel algorithm that significantly improve the performance of finding biconnected components of a graph on symmetric multiprocessors (SMPs). Finding biconnected components has application in fault-tolerant network design, and is also used in graph planarity testing. Our parallel implementation achieves speedups up to 4 using 12 processors on a Sun E4500 for large, sparse graphs, and the source code is freely-available at our web site http://www.ece.unm.edu/~dbader.This work was supported in part by NSF Grants CAREER ACI-00-93039, ITR ACI-00-81404, DEB-99- 10123, ITR EIA-01-21377, Biocomplexity DEB-01-20709, DBI-0420513, ITR EF/BIO 03-31654 and DBI-04- 20513; and DARPA Contract NBCH30390004

An Efficient Way for Edge-Connectivity Augmentation

Coordinated Science Laboratory was formerly known as Control Systems LaboratoryJoint Services Electronics Program / N00014-84-C-014

Enlarging directed graphs to ensure all nodes are contained

Graph augmentation concerns the addition of edges to a graph to satisfy some connectivity property of a graph. Previous research in this field has been preoccupied with edge augmentation; however the research in this document focuses on the addition of vertices to a graph to satisfy a specific connectivity property: ensuring that all the nodes of the graph are contained within cycles. A distinction is made between graph augmentation (edge addition), and graph enlargement (vertex addition). This document expands on previous research into a graph matching problem known as the “shoe matching problem” and the role of a graph enlargement algorithm in finding this solution. The aim of this research was to develop new and efficient algorithms to solve the graph enlargement problem as applied to the shoe matching problem and to improve on the naïve algorithm of Sanders. Three new algorithms focusing on graph enlargement and the shoe matching problem are presented, with positive results overall. The new enlargement algorithms: cost-optimised, matrix, and subgraph, succeeded in deriving the best result (least number of total nodes required) in 37%, 53%, and 57% of cases respectively (measured across 120 cases). In contrast, Sanders’s algorithm has a success rate of only 20%; thus the new algorithms have a varying success rate of approximately 2 to 3 times that of Sanders’s algorithm.ComputingM. Sc. Computin

On Finding a Smallest Augmentation to Biconnect a Graph

. We consider the problem of finding a minimum number of edges whose addition biconnects an undirected graph. This problem has been studied by several other researchers, two of whom presented a linear time algorithm for this problem in an earlier volume of this journal. However that algorithm contains an error which we expose in this paper. We present a corrected linear time algorithm for this problem as well as a new efficient parallel algorithm. The parallel algorithm runs in O(log 2 n) time using a linear number of processors on an EREW PRAM, where n is the number of vertices in the input graph. Key words. algorithm, linear time, graph augmentation, biconnected graph, parallel computation, poly-log time, EREW PRAM AMS(MOS) subject classifications. 68Q20, 68R10, 94C15, 05C40 This work was supported in part by NSF Grant CCR-89-10707. This paper appears in SIAM Journal on Computing, 1993, pp. 889-912. 1 Introduction The problem of augmenting a graph to reach a certain connectiv..