Spectral approach to linear programming bounds on codes

We give new proofs of asymptotic upper bounds of coding theory obtained within the frame of Delsarte's linear programming method. The proofs rely on the analysis of eigenvectors of some finite-dimensional operators related to orthogonal polynomials. The examples of the method considered in the paper include binary codes, binary constant-weight codes, spherical codes, and codes in the projective spaces.Comment: 11 pages, submitte

New Upper Bounds for Some Spherical Codes

The maximal cardinality of a code W on the unit sphere in n dimensions with (x, y) ≤ s whenever x, y ∈ W, x 6= y, is denoted by A(n, s). We use two methods for obtaining new upper bounds on A(n, s) for some values of n and s. We find new linear programming bounds by suitable polynomials of degrees which are higher than the degrees of the previously known good polynomials due to Levenshtein [11, 12]. Also we investigate the possibilities for attaining the Levenshtein bounds [11, 12]. In such cases we find the distance distributions of the corresponding feasible maximal spherical codes. Usually this leads to a contradiction showing that such codes do not exist

Applications of polynomials to spherical codes and designs

In dit proefschrift wordt onderzoek gedaan naar een aantal problemen die verwantschap hebben met sferische codes en designs. In het eerste hoofdstuk wordt een inleiding gegeven tot sferische codes en designs. Er zijn twee belangrijke problemen te onderscheiden. Enerzijds willen we de precieze waarde (of een boven- en ondergrens) van de grootst mogelijke kardinaliteit (i.e. A(n; s)) van een sferische code vaststellen, indien de dimensie n en de maximale cosinus s zijn gegeven. Aan de andere kant willen we de grootte van een sferisch design minimaliseren voor vaste dimensie n en sterkte ¿ . De kleinst mogelijke kardinaliteit van een ¿ -design in n dimensies wordt aangegeven met B(n; ¿ ). Het probleem is boven- en ondergrenzen voor B(n; ¿ ) te vinden (of de precieze waarde). Het tweede hoofdstuk behandelt de lineaire programmeer technieken die gebruikt worden voor het vinden van een bovengrens voor A(n; s) en een ondergrens voor B(n; ¿ ). De beste bovengrens voor A(n; s) werd ontdekt door Levenshtein. Een uitleg van de logica van deze bound, samen met de eigenschappen van de betrokkene parameters wordt gegeven. In het derde hoofdstuk worden noodzakelijke en voldoende voorwaarden gegeven voor het bestaan van verbeteringen van de Levenshtein bounds voor A(n; s). Verder wordt er onderzoek gedaan naar deze voorwaarden en wordt er aangetoond dat betere grenzen vrij vaak bestaan. In het vierde hoofdstuk worden beperkingen afgeleid op de distributie van de optredende inprodukten van een spferisch design met een relatief kleine kardinaliteit (i.e. dicht bij de klassieke grenzen). Deze condities blijken voldoende te zijn voor non-existentie in veel gevallen. Onze methode werkt efficient zowel in kleine dimensies als asymptotisch voor grote n. Voor ¿ = 3 en ¿ = 5 worden nieuwe asymptotische grenzen op de kleinst mogelijke oneven grootte van ¿ -designs afgeleid. Het vijfde en laatste hoofdstuk introduceert en bestudeert bepaalde invarianten van sferische codes die momenten genoemd worden. Zulk onderzoek zou informatie kunnen geven over de structuur van sferische codes en designs