31 research outputs found

    Multiple Shooting for Unstructured NonlinearDifferential-Algebraic Equations of Arbitrary Index

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    We study multiple shooting methods for the numerical solution of nonlinear boundary value problems for unstructured nonlinear systems of differential-algebraic equations with arbitrary index. We give a concergence analysis and demonstrate the results with some numerical examples

    Efficient Object-Oriented Modelling, Simulation and Parameter Estimation for Biomechanical Problems

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    We identify anthropometric parameter for models of human beings and the corresponding macroscopic movement. The models are based on rigid--body formalisms and formulated as mechanical DAEs. We use the Generalized Gauß--Newton method based on multiple shooting discretization to estimate the parameters of this dynamic nonlinear parameter estimation problem using measurement data taken from motion capturing. We adapt modelling, integration and optimization independently and in combination. The modelling based on Natural Coordinates is modified to efficiently evaluate the right-hand side of the DAE in linear time w.r.t. the number of bodies. The formulation does not introduce additional redundant constraints and we developed constraint partitioning to treat inherent singularities of the physical model. Furthermore, we include additional biomechanical elements like passive muscles and wobbling masses. As Natural Coordinates lead to a set of redundant coordinates, we have to relax to treat inconsistent variables during the optimization process. To efficiently generate the sensitivity information needed for the optimization algorithm, we apply reduced methods to evaluate a minimal number of directional derivatives and exploit the structure of the model equations to calculate each of them. Finally, we present parameter estimation results for a complex, full three-dimensional biomechanical model of the human body with 82 kinematic degrees of freedom. This is implemented in the object-oriented modelling tool MBSNAT and the parameter estimation package Parfit++

    Adjoint-based algorithms and numerical methods for sensitivity generation and optimization of large scale dynamic systems

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    This thesis presents advances in numerical methods for the solution of optimal control problems. In particular, the new ideas and methods presented in this thesis contribute to the research fields of structure-exploiting Newton-type methods for large scale nonlinear programming and sensitivity generation for IVPs for ordinary differential equations and differential algebraic equations. Based on these contributions, a new lifted adjoint-based partially reduced exact-Hessian SQP (L-PRSQP) method for nonlinear multistage constrained optimization problems with large scale differential algebraic process models is proposed. It is particularly well suited for optimization problems which involve many state variables in the dynamic process but only few degrees of freedom, i.e., controls, parameter or free initial values. This L-PRSQP method can be understood as an extension of the work of Schäfer to the case of exact-Hessian SQP methods, making use of directional forward/adjoint sensitivities of second order. It stands hence in the tradition of the direct multiple shooting approaches for differential algebraic equations of index 1 of Bock and co-workers. To the novelties that are presented in this thesis further belong - the generalization of the direct multiple shooting idea to structure-exploiting algorithms for NLPs with an internal chain structure of the problem functions, - an algorithmic trick that allows these so-called lifted methods to compute the condensed subproblems directly based on minor modifications to the user given problem functions and without further knowledge on the internal structure of the problem, - a lifted adjoint-based exact-Hessian SQP method that is shown to be equivalent to a full-space approach, but only has the complexity of an unlifted/single shooting approach per iteration, - new adjoint schemes for sensitivity generation based on Internal Numerical Differentiation (IND) for implicit LMMs using the example of Backward Differentiation Formulas (BDF), - the combination of univariate Taylor coefficient (TC) propagation and IND, resulting in IND-TC schemes which allow for the first time the efficient computation of directional forward and forward/adjoint sensitivities of arbitrary order, - a strategy to propagate directional sensitivities of arbitrary order across switching events in the integration, - a local error control strategy for sensitivities and a heuristic global error estimation strategy for IVP solutions in connection with IND schemes, - the software packages DAESOL-II and SolvIND, implementing the ideas related to IVP solution and sensitivity generation, as well as the software packages LiftOpt and DynamicLiftOpt that implement the lifted Newton-type methods for general NLP problems and the L-PRSQP method in the optimal control context, respectively. The performance of the presented approaches is demonstrated by the practical application of our codes to a series of numerical test problems and by comparison to the performance of alternative state-of-the-art approaches, if applicable. In particular, the new lifted adjoint-based partially reduced exact-Hessian SQP method allows the efficient and successful solution of a practical optimal control problem for a binary distillation column, for which the solution using a direct multiple shooting SQP method with an exact-Hessian would have been prohibitively expensive until now

    Model-Based External Forcing of Nonlinear Dynamics in Chemical and Biochemical Reaction Systems via Optimal Control

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    Ein ausf¨uhrliches, quantitatives Verständnis, welches durch Modellieren erzielt wird, sowie das Ermöglichen einer spezifischen externen Steuerung des zellularen Verhaltens sind allgemeine langfristige Ziele der modernen biowissenschaftlichen Forschung in der Systembiologie. Selbstorganisation ist möglicherweise ein allgemein gültiges Prinzip für die zelluläre Organisation, da viele dynamische Eigenschaften zellulärer Strukturen sowohl hinsichtlich ihrer Bildung, Aufrechterhaltung und Funktion diesem folgen. Die Steuerung selbstorganisierter Dynamiken eröffnet einen Weg zur Untersuchung von dynamischem Verhalten sowie zur Generierung des gewünschten Verhaltens. Um dieses Ziel zu verwirklichen, konzentriert sich diese Dissertation in erster Linie auf die gezielt orientierte Beeinflussung dieser Systeme durch optimale Steuerungsmethoden. Der Ansatz optimaler Steuerung bietet große Flexibilität hinsichtlich der Bestimmung der Zielfunktionen. Wir verwenden eine direkte, auf den Multiple-Shooting-Ansatz basierende numerische Optimiermethode, welche insbesondere auf nichtlineare selbstorganisierende Systeme verwendbar ist. Die vorliegende Arbeit zeigt, wie auf Modellen basierende optimale Steuerungsmethoden zum Erzeugen der gewünschten Systemdynamiken verwertet werden können. Im Fall des Circadischen Rhythmus und der Belousov-Zhabotinsky (BZ) Reaktion als Modellsysteme sind diese bezüglich der zeitabhängigen Steuerungsparameter nicht systemimmanent. Wir analysieren ein Circadisches Oszillatormodell des zentralen Uhrmechanismus für die Fruchtfliege Drosophila und zeigen, wie auf Modellen basierende optimale Steuerung, Phasenneueinstellung, Design von chronomodulierten Puls-Stimuli-Schemata zur Wiederherstellung des Circadischen Rhythmus in den Mutanten und optimale Phasensynchronisierung zwischen der Uhr und ihrer Umgebung erlaubt. Wir beziehen uns sowohl auf die optimalen Open-Loop- als auch auf die Rückkopplungssteuerungsmethoden. Circadische Rhythmen können das Timing und den Eintritt des Zellzyklus erheblich beeinflussen. Zur Untersuchung der auf Modellen basierenden optimalen Steuerungsszenarios sind ein detaillert gekoppelter Circadischer Zyklus und das Zellzyklusmodell f¨ur ein Säugetiersystem entwickelt worden. Erstergebnisse der numerischen Simulationen für den gekoppelten Circadischen Zyklus und das Zellzyklusmodell werden gezeigt. Insbesondere leicht zugängliche chemische Testrohrsysteme wie die BZ Reaktion sind für Untersuchungen der Steuerung selbstorganisierter Dynamiken sehr gut geeignet. Denn sie bieten ein Mittel für die Charkterisierung des Verhaltens, das für kompliziertere biologische Systeme relevant ist. Wir entwickeln ein ganz neuartiges detaillertes Modell für die lichtempfindliche BZ Reaktion, das auf einem Elementarreaktionsmechanismus beruht und reduzieren dieses aufgrund der Quasi-Steady-State- (QSSA) und partielle Gleichgewichtsnäherungen (PEA) explizit. Zur Stabilisierung instabiler stationärer Zustände sind systematische Analysen und auf Modellen basierende Steuerungen durchgeführt worden, woraus periodische Bahnen mit einer gewünschten Periode resultieren. Die Ergebnisse werden diskutiert und mit einem sehr einfachen 3-Variablen-Oregonator-Modell aus der Literatur verglichen

    Effiziente reduzierte Newton-ähnliche Verfahren zur Behandlung hochdimensionaler strukturierter Optimierungsprobleme mit Anwendung bei biologischen und chemischen Prozessen

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    Ein neues direktes Mehrfach-Schießverfahren für beschränkte Mehrstufen-Optimierungsprobleme mit hochdimensionalen differentiell-algebraischen Prozeß-Modellen wird präsentiert. Insbesondere für Optimierungsprobleme mit vielen Zustandsvariablen aber wenigen Freiheitsgraden ist dieses Verfahren geeignet. Diese kommen beispielsweise bei Optimal-Steuerungs- und Parameteridentifizierungsproblemen mit örtlich diskretisierten instationären partiellen differential-algebraischen Gleichungsmodellen (PDAEs) vor. Durch stückweise Steuerungsparameterisierung und Mehrziel-Zustandsparameterisierung auf demselben Gitter wird das resultierende Mehrpunkt-Randwertproblem mit speziell angepaßten partiell reduzierten Newton-ähnlichen Methoden gelöst. Die Methoden stellen eine Erweiterung der direkten Mehrfach-Schießverfahren für DAE-Modelle vom Index 1 dar. Essentiell ist die Reduktion der Anzahl der Richtungsableitungen in den Newton-ähnlichen Methoden, um die Berechnung der Newton-Iterierten zu beschleunigen. Bei den hier betrachteten Problemen wird gezeigt, daß die Zahl der Richtungsableitungen unabhängig von der Zustandsdimension ist. Dies kann durch Projektion auf den Raum der Steuerungen und globalen Parametern erreicht werden. Dazu wird die algorithmische Differentiation für die Modell-Gleichungen und die Interne Numerische Differentiation miteinander kombiniert, um die reduzierten QPs der Newton-ähnlichen Optimierungsalgorithmen effizient aufzusetzen. Es wird gezeigt, daß die neuen Methoden sowohl für den Offline-Einsatz als auch für den Online-Einsatz im Rahmen der Nichtlinearen Modellprädiktiven Regelung besonders geeignet sind. Anhand von Mehrstufen-Optimal-Steuerungsproblemen aus der Literatur und Anwendungen aus der (bio-)chemischen Verfahrenstechnik wird die Performance der neuen Methoden demonstriert: Parameterschätzung einer in-vitro Wirkstoff-Freisetzung eines Zahnfleisch-Implantats modelliert durch eine instationäre eindimensionale Reaktions-Diffusions-PDE, Optimal-Steuerung (Einhaltung von Reinheitsbedingungen) einer kontinuierlichen Destillationskolonne modelliert durch eine hochdimensionale steife DAE sowie Parameterschätzung und Optimal-Steuerung (Durchsatzmaximierung) bei einem katalytischen Rohrreaktor modelliert durch eine instationäre zweidimensionale Konvektions-Diffusions-PDE (Kooperation mit Bayer, Leverkusen). Die erste Anwendung ist in der Ortsdiskretisierung skaliert und dient zum Vergleich der IND-Ansätze, der Modell-Implementationen und der Reduktionsansätze. Die zweite Anwendung stellt ein Benchmark-Problem für die neuen Methoden im Offline- und Online-Zusammenhang dar. Ein Vergleich zu State-of-the-Art Echtzeit-Optimierungsmethoden wird angegeben. Die letzte Anwendung zeigt die Eignung der neuen Methoden für industrielle hochdimensionale PDAE-beschränkte Optimierungsprobleme. Es wird gezeigt, daß der Durchsatz um 12 % gesteigert werden kann, zusammen mit einer Reduktion des Katalysatorgehalts um 50 %

    Optimierung von dynamischen Multiple-Setpoint-Problemen mit Anwendung bei Fahrzeugmodellen

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    Die vorliegende Arbeit präsentiert eine neue anwendungsgerechte Methode für nichtlineare Optimierungsprobleme. Die Formulierung eines sogenannten Multiple-Setpoint-Problems führt zu Lösungen, die in der praktischen Anwendung oft deutlich bessere Ergebnisse erzielen als bei der üblichen Formulierung eines Optimierungproblems, da für einen ganzen Bereich (Multiple-Setpoint-Lösung) optimiert wird und nicht für einen einzigen festen Parametersatz (Single-Setpoint-Lösung). Gesucht sind Lösungen, die in dem Sinne optimal für verschiedene Szenarien oder für einen ganzen Parameterbereich sind, daß sie Nebenbedingungen für alle Szenarien einhalten und eine Zielfunktion in einem Mittel oder in einem Worst Case minimieren. Obwohl solche Lösungen in vielen Bereichen von großem Nutzen sind, ist die Multiple-Setpoint-Optimierung ein bisher wenig untersuchter Bereich. Zur Untersuchung von Optimierungsstrategien wird eine Problemklasse herausgegriffen -- die Probleme der optimalen Steuerung von Systemen, die sich durch differentiell-algebraische Gleichungen (DAE) beschreiben lassen. Mithilfe des Randwertproblemansatzes und einer Diskretisierung durch Bocks direkte Mehrziel-Methode (Bock's direct multiple shooting) werden die Probleme in große endlich-dimensionale nichtlineare Optimierungsprobleme transformiert, die mit einem SQP-Verfahren gelöst werden können. In dieser Arbeit wird eine allgemeine mathematische Problemformulierung für die Klasse der Multiple-Setpoint-Probleme und ein neuartiger, strukturausnutzender SQP-Algorithmus für Multiple-Setpoint-Probleme aus dem Bereich der optimalen Steuerung gegeben. Der Algorithmus ermöglicht es, neue Problemklassen zu behandeln bzw. Lösungen zu produzieren, die für den praktischen Einsatz in vielen Fällen geeigneter sind als bei bisherigen Optimierungsansätzen. Der Einsatz des neuen Algorithmus wird an einem komplexen Problem aus der Industrie demonstriert. In einem Auto soll durch eine Optimierung der Motorlagerung die Schwingungsübertragung von Straße und Motor auf den Fahrersitz in einem Frequenzbereich minimiert und somit der Fahrkomfort erhöht werden. Mithilfe einer (3-dimensionalen) Mehrkörpersimulation in natürlichen Koordinaten wird ein Automodell mit 32 kinematischen Freiheitsgraden betrachtet. Eine Fourier-Analyse hilft, die Schwingungsübertragung zu untersuchen. Das entstehende nichtlineare Optimierungsproblem hat eine Dimension von mehreren tausend Variablen. Durch Anwendung des neuen Algorithmus kann (unter Einhaltung von gewissen Nebenbedingungen) eine optimierte Motorlagerung gefunden werden, die eine Reduktion der Schwingungsübertragung im vorgegebenen Frequenzbereich um ca. 80% gegenüber der gegebenen Startlösung erzielt. Die Implementierung des neuen Multiple-Setpoint-Algorithmus' wird in einem neuen Softwarepaket realisiert, das bei der Firma Freudenberg im industriellen Einsatz ist. Die entwickelte Software basiert auf der Optimierungssoftware für Probleme der optimalen Steuerung MUSCOD-II sowie dem objekt-orientierten Modellierungstool für Mehrkörpersysteme MBSNAT, mit dem die Modellierung des Fahrzeugs inklusive der Berechung der für die Optimierung nötigen Ableitungen geschieht

    Numerische Verfahren zur Lösung von Anfangswertaufgaben und zur Generierung von ersten und zweiten Ableitungen mit Anwendungen bei Optimierungsaufgaben in Chemie und Verfahrenstechnik

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    Es werden leistungsfähige Techniken zur Lösung von steifen Anfangswertproblemen bei DAE-Systemen vom Index 1 und zur Ableitungsgenerierung im Kontext von Optimiserungsproblemen in Parameterschätzung und Versuchsplanung gezeigt. Grundlage der implementierten Methoden ist ein BDF-Verfahren mit effizienter Ordnungs- und Schrittweitensteuerung basierend auf Fehlerschätzungen auf dem tatsächlichen nicht-äquidistanten Gitter. Eine Monitor-Strategie reduziert den Aufwand an Berechnungen und Zerlegungen der Lineare-Algebra-Teilprobleme. Für die konsistente Initialisierung steht ein Homotopie-Verfahren zur Verfügung, ein speziell auf das BDF-Verfahren zugeschnittener Runge-Kutta-Starter beschleunigt die Startphase. Die im Optimierungskontext benötigten ersten und zweiten gemischten Ableitungen werden mit Hilfe von Techniken der Internen Numerischen Differentiation des diskretisierten Systems und Automatischer Differentiation mit der vom Optimierungsverfahren benötigten Genauigkeit berechnet. Beispiele aus Chemie und Verfahrenstechnik zeigen den erfolgreichen Einsatz der implementierten Methoden bei Anwendungen in Simulation, Parameterschätzung und optimaler Versuchsplanung

    Structure-Preserving Model Reduction of Physical Network Systems

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    This paper considers physical network systems where the energy storage is naturally associated to the nodes of the graph, while the edges of the graph correspond to static couplings. The first sections deal with the linear case, covering examples such as mass-damper and hydraulic systems, which have a structure that is similar to symmetric consensus dynamics. The last section is concerned with a specific class of nonlinear physical network systems; namely detailed-balanced chemical reaction networks governed by mass action kinetics. In both cases, linear and nonlinear, the structure of the dynamics is similar, and is based on a weighted Laplacian matrix, together with an energy function capturing the energy storage at the nodes. We discuss two methods for structure-preserving model reduction. The first one is clustering; aggregating the nodes of the underlying graph to obtain a reduced graph. The second approach is based on neglecting the energy storage at some of the nodes, and subsequently eliminating those nodes (called Kron reduction).</p
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