Semiclassical stationary states for nonlinear Schr\"odinger equations under a strong external magnetic field

We construct solutions to the nonlinear magnetic Schr\"odinger equation $$\left\{ \begin{aligned} - \varepsilon^2 \Delta_{A/\varepsilon^2} u + V u &= \lvert u\rvert^{p-2} u & &\text{in}\ \Omega,\\ u &= 0 & &\text{on}\ \partial\Omega, \end{aligned} \right.$$ in the semiclassical r\'egime with strong magnetic fields. In contrast with the well-studied mild magnetic field r\'egime, the limiting energy depends on the magnetic field allowing to recover the Lorentz force in the semi-classical limit. Our solutions concentrate around global or local minima of a limiting energy that depends on the electric potential and the magnetic field. The results cover unbounded domains, fast-decaying electric potential and unbounded electromagnetic fields. The construction is variational and is based on an asymptotic analysis of solutions to a penalized problem in the spirit of M. del Pino and P. Felmer.Comment: 23 pages, minor correction

Nonlinear Schr{\"o}dinger equation: concentration on circles driven by an external magnetic field

In this paper, we study the semiclassical limit for the stationary magnetic nonlinear Schr\"odinger equation \begin{align}\label{eq:initialabstract}\left( i \hbar \nabla + A(x) \right)^2 u + V(x) u = |u|^{p-2} u, \quad x\in \mathbb{R}^{3},\end{align}where p\textgreater{}2, $A$ is a vector potential associated to a given magnetic field $B$, i.e $\nabla \times A =B$ and $V$ is a nonnegative, scalar (electric) potential which can be singular at the origin and vanish at infinity or outside a compact set.We assume that $A$ and $V$ satisfy a cylindrical symmetry. By a refined penalization argument, we prove the existence of semiclassical cylindrically symmetric solutions of upper equation whose moduli concentrate, as $\hbar \to 0$, around a circle. We emphasize that the concentration is driven by the magnetic and the electric potentials. Our result thus shows that in the semiclassical limit, the magnetic field also influences the location of the solutions of (\ref{eq:initialabstract}) if their concentration occurs around a locus, not a single point

Nonexistence and optimal decay of supersolutions to Choquard equations in exterior domains

We consider a semilinear elliptic problem with a nonlinear term which is the product of a power and the Riesz potential of a power. This family of equations includes the Choquard or nonlinear Schroedinger--Newton equation. We show that for some values of the parameters the equation does not have nontrivial nonnegative supersolutions in exterior domains. The same techniques yield optimal decay rates when supersolutions exists.Comment: 47 pages, 8 figure

Stationary nonlinear Schr"odinger equations in BbbR2BbbR^2 with potentials vanishing at infinity

We deal with a class of 2-D stationary nonlinear Schrödinger equations (NLS) involving potentials V and weights Q decaying to zero at infinity as (1 + | x| α) - 1, α∈ (0 , 2) , and (1 + | x| β) - 1, β∈ (2 , + ∞) , respectively, and nonlinearities with exponential growth of the form exp γ0s2 for some γ0> 0. Working in weighted Sobolev spaces, we prove the existence of a bound state solution, i.e. a solution belonging to H1(R2). Our approach is based on a weighted Trudinger–Moser-type inequality and the classical mountain pass theorem

Quantum Control at the Boundary

Mención Internacional en el título de doctorEl principal objetivo de esta tesis es presentar y probar la viabilidad de un método no estándar para controlar el estado de un sistema cuántico, cuya dinámica está gobernada por la ecuación de Schrödinger, modificando sus condiciones de frontera en lugar de interaccionar con el sistema a través de campos externos para dirigir su estado. El control del estado de sistemas cuánticos está volviéndose más y más significativo dado el asombroso avance experimental que está teniendo lugar motivado por la carrera para alcanzar tecnologías cuánticas efectivas. Un requisito natural para cualquier procesador de información cuántico es el control de los estados de un cúbit. Por ejemplo, los cúbits basados en espín pueden controlarse a través de puertas universales basadas en la rotación del espín un cierto ángulo sobre un eje dado [60]. Una demostración de la viabilidad del control y de la lectura de alta fidelidad de un cúbit basado en espín puede encontrarse en [55, 59]. El marco matemático necesario para trabajar con el control de sistemas cuánticos basados en el espín es la Teoría de Control Geométrica (véase [19] para un repaso de este enfoque). También puede mencionarse [15, 56], dónde se realiza un estudio del control de sistemas cuánticos de espín utilizando dicha teoría. Una revisión del estado de la cuestión en control (óptimo) de sistemas cuánticos puede verse en [31]. Sin embargo, la Teoría de Control Geométrica encuentra problemas serios a la hora de tratar sistemas infinito dimensionales provenientes de las dificultades intrínsecas a la geometría en dimensión infinita. Éste constituye un problema estándar que se aborda también, por ejemplo, en Teoría de Campos y puede por lo tanto ser sorteado. Sin embargo, lo cierto es que tan sólo un pequeño número de resultados han aparecido en las fuentes bibliográficas, sobre todo referentes a la controlabilidad de sistemas bilineales (cf. sec. 3.2). Véanse por ejemplo los trabajos de Beauchard et al. [11, 12] y Chambrion et al. [18]. El enfoque habitual del control de sistemas cuánticos se basa en el uso de campos externos para manipular el estado del sistema. Desde un punto de vista tecnológico, aparecen dificultades al intentar controlar un sistema cuántico de este modo que tienen que ver con las complicaciones para manipular un sistema hecho de unas pocas partículas mientras se intenta mantener las correlaciones cuánticas. Como consecuencia, el sistema cuántico debe mantenerse a muy baja temperatura y las interacciones debe producirse muy rápidamente [5], lo cual es inconveniente para las aplicaciones. El paradigma de Control Cuántico en la Frontera aborda el control de sistemas cuánticos de una forma diametralmente opuesta al enfoque estándar. En lugar de buscar el control del sistema cuántico interactuando directamente con el sistema a través de un campo externo, el control se consigue manipulando las condiciones de contorno del sistema. El espectro de un sistema cuántico, por ejemplo un electrón moviéndose en un pozo de potencial, depende de las condiciones de contorno (típicamente Dirichlet o Neumann). Por lo tanto, modificando dichas condiciones de contorno puede modificarse el estado del sistema, lo cual permitiría en última instancia controlarlo [34]. Este tipo de interacción, que es más débil en cierto sentido, hace esperar que sea más sencillo mantener las correlaciones cuánticas. Llamamos sistema (cuántico) de control en la frontera a los sistemas definidos dentro de este paradigma de control. El marco establecido por el Control Cuántico en la Frontera ha sido usado para mostrar cómo generar estados entrelazados en sistemas compuestos modificando las condiciones de frontera del sistema [38]. La relación entre dicho paradigma y la topología del sistema ha sido explorada en [58] y recientemente usada para describir las propiedades físicas de sistemas con paredes móviles [25–28,30]. Sin embargo, a pesar del interés intrínseco que tiene, problemas básicos como la controlabilidad de sistemas sencillos dentro de este paradigma no ha sido aún estudiada. La mayoría de los sistemas cuánticos que aparecen en las aplicaciones para desarrollar ordenadores cuánticos, tales como las trampas de iones o los circuitos superconductores, son infinito dimensionales. Mientras tanto, los modelos usados para describirlos son aproximaciones finito dimensionales [49, 70], lo que introduce errores en dicha descripción. Es por tanto natural buscar mejores modelos matemáticos para estos sistemas. Buenos candidatos para estos modelos pueden construirse a partir de lo que llamamos Circuitos Cuánticos, una generalización de los grafos cuánticos (esto es, grafos métricos equipados con un operador diferencial en sus aristas junto con condiciones de contornos apropiadas que definan una extensión autoadjunta de dicho operador [46,47]). Por un lado, los Circuitos Cuánticos comparten con los dispositivos físicos la estructura tipo grafo y la dinámica en ellos está gobernada por operadores diferenciales (en concreto, consideraremos el operador de Laplace-Beltrami y Laplacianos magnéticos junto con algunos potenciales que representan campos magnéticos y eléctricos en los Circuitos Cuánticos). Por otro lado, los Circuitos Cuánticos son suficientemente sencillos como para encontrar soluciones de la ecuación de evolución numéricamente (o incluso analíticamente). Todo esto hace interesante considerar la dinámica y la controlabilidad de sistemas definidos en Circuitos Cuánticos. Algunos ejemplos concretos de Circuitos Cuánticos pueden encontrarse al final del Capítulo 6, véase la Figura 6.1. Más aún, los grafos cuánticos pueden verse como un caso concreto de Circuito Cuántico, por lo que los resultados presentados en esta tesis pueden aplicarse directamente a ellos. Y, además de el interés matemático de estudiar la dinámica de sistemas definidos en grafos cuánticos, creemos que éstos pueden ser utilizados para modelizar circuitos superconductores. Más concretamente, es sabido que las junturas de Josephson (que son un dispositivo fundamental en los circuitos superconductores, cf. [22, 70, 71]) pueden modelizarse usando condiciones de frontera [48,68]. Nótese que los circuitos superconductores son una de las prometedoras nuevas tecnologías en el desarrollo de ordenadores cuánticos. Para mostrar la viabilidad del método de Control Cuántico en la Frontera, definimos una familia de sistemas de control cuántico en la frontera sobre Circuitos Cuánticos. Para ello, utilizamos la caracterización de las extensiones autoadjuntas del operador de Laplace-Beltrami desarrolladas en [37], que parametriza las extensiones autoadjuntas en función de operadores unitarios actuando en el espacio de datos en la frontera. Estos operadores unitarios son adecuados para representar los grupos de simetría de la variedad subyacente [36], hecho que fue usado en [8] para caracterizar las condiciones de frontera compatibles con las estructuras de grafo que consideramos aquí. Antes de poder abordar el problema de controlabilidad, es necesario afrontar el problema de existencia de soluciones de la ecuación de Schrödinger con condiciones de contorno dependientes del tiempo, problema que tiene su propia importancia. Situaciones similares a la que presentaremos han sido consideradas anteriormente para algunos sistemas cuánticos concretos [21, 23, 58]. La dependencia temporal del dominio del Hamiltoniano del sistema añade dificultades extra a las habituales complicaciones que surgen de la naturaleza discontinua de los operadores no acotados, lo que compromete la existencia de soluciones para la ecuación de Schrödinger. En este sentido, los resultados más generales de que disponemos son debidos a J. Kisyński [44]. Basándose en una idea aproximativa de K. Yosida [72], Kisyński propone condiciones suficientes para la existencia de operadores de green para problemas de Cauchy abstractos en espacios de Banach, incluyendo el caso en el que los operadores que definen la evolución tienen dominios dependientes del tiempo. Estos resultados pueden ser aplicados al caso concreto de la ecuación de Schrödinger, tal y como hace el propio Kisyński, cf. [44, Sec. 8]. Más concretamente, proporciona condiciones suficientes para la existencia de propagadores unitarios para sistemas cuánticos cuyos Hamiltonianos tienen dominio dependiente del tiempo pero no así las formas sesquilineales asociadas a éstos. Este caso también fue estudiado por B. Simon [65], cuyo enfoque se basa en el mismo método aproximativo de Yosida, pero abordado el problema de manera ligeramente distinta. Para simplificar la exposición, en lugar de aplicar los resultados más generales de Kisyński directamente a nuestros sistemas cuánticos de control en la frontera, introduciremos una familia de sistemas de control estándar relacionada que llamamos sistemas de inducción cuántica, cuyos Hamiltonianos tendrán dominio de forma constante. La relación entre estas dos familias de sistemas es usada frecuentemente en la discusión, lo que nos permite probar resultados primero para los sistemas de inducción cuántico y transferirlos a los sistemas de control en la frontera. Siguiendo esta estrategia, usaremos los resultados de Simon y de Kisyński para Hamiltonianos con dominio de forma constante para proporcionar condiciones suficientes para que ambos sistemas tengan dinámica bien definida. En el estudio de las propiedades dinámicas de los Hamiltonianos dependientes del tiempo con dominio de forma constante, la escala de espacios de Hilbert asociada a el Hamiltoniano, H+ ⊂ H ⊂ H−, aparece como una herramienta básica tanto en el desarrollo de Simon como en el de Kisyński. A través de esta tesis, usamos nociones como la existencia de dinámica o la controlabilidad tanto en H como en H−; por ello, usaremos los adjetivos fuerte y débil para referirnos a las nociones en H y en H− respectivamente. Una vez resuelto el problema de la existencia de soluciones de la ecuación de Schrödinger, podremos abordar el problema de controlabilidad. Usaremos como una herramienta útil para este fin el Teorema 4.3.4, un resultado de estabilidad que generaliza los resultados de A.D. Sloan [66] constituyendo uno de los resultados originales principales expuestos e esta tesis. Que sepamos, esta generalización es el resultado de estabilidad más general en el contexto de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. La demostración de este teorema se basa en las técnicas usadas por Simon y, en la prueba de dicho resultado, obtenemos una ligera generalización de algunos resultados en [65] (cf. Lemma 4.3.7). La importancia de este resultado de estabilidad no reside tan solo en su papel a la hora de demostrar la controlabilidad de los sistemas de control bajo estudio permitiendo demostrar la viabilidad del Control Cuántico en la Frontera; tiene consecuencias de mayor alcance para la Teoría de Control Cuántico ya que permite obtener cotas a priori del error cometido al controlar el estado del sistema. Demostramos la controlabilidad aproximada de los sistemas de inducción cuántica basándonos en un resultado de T. Chambrion et al. in [18], donde estudian la controlabilidad de una clase de sistemas de control cuántico bilineales con controles constates a trozos. La estructura que tienen los sistemas de inducción cuántica es similar, pero no exactamente igual, a la de los problemas estudiados por Chambrion et al. Por ello, definimos un sistema auxiliar para el cual el teorema de Chambrion et al. asegura controlabilidad aproximada y después, usando el resultado de estabilidad, mostramos que esta controlabilidad aproximada se extiende al sistema de inducción cuántica original. Si embargo, la clase de controles considerada por Chambrion et al. no puede ser llevada automáticamente a sistemas con Hamiltonianos cuyos dominios dependen del tiempo, ya que las soluciones de la ecuación de Schrödinger (en el sentido fuerte) podrían no existir. Por lo tanto, la controlabilidad aproximada obtenida para los sistemas de inducción cuántica usando este procedimiento es en el sentido débil (es decir, en H−). Usando de nuevo el resultado de estabilidad podemos demostrar controlabilidad aproximada en sentido fuerte para los sistemas de inducción cuántica con controles suaves, y ésta puede ser transferida a los sistemas de control cuántico en la frontera usando la relación entre ambos. Estos resultados de controlabilidad, demostrados en el Capítulo 7, junto con los resultados de estabilidad en el Capítulo 4 constituye las contribuciones originales más relevantes de esta tesis. Por último, remarcamos el hecho de que la caracterización de las extensiones autoadjuntas que usamos aquí puede ser aplicada a otros operadores diferenciales como el operador de Dirac [35, 40, 57], por lo que los resultados presentados en esta tesis podrían extenderse a tales casos. Más aún, dicha caractrerización está adaptada al cálculo numérico [39, 51], por lo que podrían desarrollarse algoritmos con aplicaciones al control óptimo de éstos sistemas a partir de los resultados aquí mostrados.This work was partially supported by the “Ministerio de Economía, Industria y Competitividad” research project MTM2017-84098-P, the QUITEMAD project P2018/TCS-4342 funded by “Comunidad Autónoma de Madrid” and by “Universidad Carlos III de Madrid” through its Ph.D. program grant PIPF UC3M 01-1819 and through its mobility grant in 2020.Programa de Doctorado en Ingeniería Matemática por la Universidad Carlos III de Madrid.Presidente: Fernando Lledó Macau.- Secretario: Paolo Facchi.- Vocal: Thomas Chambrio