Combinatorial generation via permutation languages

In this work we present a general and versatile algorithmic framework for exhaustively generating a large variety of different combinatorial objects, based on encoding them as permutations. This approach provides a unified view on many known results and allows us to prove many new ones. In particular, we obtain the following four classical Gray codes as special cases: the Steinhaus-Johnson-Trotter algorithm to generate all permutations of an $n$-element set by adjacent transpositions; the binary reflected Gray code to generate all $n$-bit strings by flipping a single bit in each step; the Gray code for generating all $n$-vertex binary trees by rotations due to Lucas, van Baronaigien, and Ruskey; the Gray code for generating all partitions of an $n$-element ground set by element exchanges due to Kaye. We present two distinct applications for our new framework: The first main application is the generation of pattern-avoiding permutations, yielding new Gray codes for different families of permutations that are characterized by the avoidance of certain classical patterns, (bi)vincular patterns, barred patterns, Bruhat-restricted patterns, mesh patterns, monotone and geometric grid classes, and many others. We thus also obtain new Gray code algorithms for the combinatorial objects that are in bijection to these permutations, in particular for five different types of geometric rectangulations, also known as floorplans, which are divisions of a square into $n$ rectangles subject to certain restrictions. The second main application of our framework are lattice congruences of the weak order on the symmetric group~$S_n$. Recently, Pilaud and Santos realized all those lattice congruences as $(n-1)$-dimensional polytopes, called quotientopes, which generalize hypercubes, associahedra, permutahedra etc. Our algorithm generates the equivalence classes of each of those lattice congruences, by producing a Hamilton path on the skeleton of the corresponding quotientope, yielding a constructive proof that each of these highly symmetric graphs is Hamiltonian. We thus also obtain a provable notion of optimality for the Gray codes obtained from our framework: They translate into walks along the edges of a polytope

Combinatorial generation via permutation languages. I. Fundamentals

In this work we present a general and versatile algorithmic framework for exhaustively generating a large variety of different combinatorial objects, based on encoding them as permutations. This approach provides a unified view on many known results and allows us to prove many new ones. In particular, we obtain the following four classical Gray codes as special cases: the Steinhaus-Johnson-Trotter algorithm to generate all permutations of an $n$-element set by adjacent transpositions; the binary reflected Gray code to generate all $n$-bit strings by flipping a single bit in each step; the Gray code for generating all $n$-vertex binary trees by rotations due to Lucas, van Baronaigien, and Ruskey; the Gray code for generating all partitions of an $n$-element ground set by element exchanges due to Kaye. We present two distinct applications for our new framework: The first main application is the generation of pattern-avoiding permutations, yielding new Gray codes for different families of permutations that are characterized by the avoidance of certain classical patterns, (bi)vincular patterns, barred patterns, boxed patterns, Bruhat-restricted patterns, mesh patterns, monotone and geometric grid classes, and many others. We also obtain new Gray codes for all the combinatorial objects that are in bijection to these permutations, in particular for five different types of geometric rectangulations, also known as floorplans, which are divisions of a square into $n$ rectangles subject to certain restrictions. The second main application of our framework are lattice congruences of the weak order on the symmetric group~$S_n$. Recently, Pilaud and Santos realized all those lattice congruences as $(n-1)$-dimensional polytopes, called quotientopes, which generalize hypercubes, associahedra, permutahedra etc. Our algorithm generates the equivalence classes of each of those lattice congruences, by producing a Hamilton path on the skeleton of the corresponding quotientope, yielding a constructive proof that each of these highly symmetric graphs is Hamiltonian. We thus also obtain a provable notion of optimality for the Gray codes obtained from our framework: They translate into walks along the edges of a polytope

Molassembler: Molecular graph construction, modification and conformer generation for inorganic and organic molecules

We present the graph-based molecule software Molassembler for building organic and inorganic molecules. Molassembler provides algorithms for the construction of molecules built from any set of elements from the periodic table. In particular, poly-nuclear transition metal complexes and clusters can be considered. Structural information is encoded as a graph. Stereocenter configurations are interpretable from Cartesian coordinates into an abstract index of permutation for an extensible set of polyhedral shapes. Substituents are distinguished through a ranking algorithm. Graph and stereocenter representations are freely modifiable and chiral state is propagated where possible through incurred ranking changes. Conformers are generated with full stereoisomer control by four spatial dimension Distance Geometry with a refinement error function including dihedral terms. Molecules are comparable by an extended graph isomorphism and their representation is canonicalizeable. Molassembler is written in C++ and provides Python bindings.Comment: 81 pages, 26 figures, 3 table

Combinatorics

Combinatorics is a fundamental mathematical discipline that focuses on the study of discrete objects and their properties. The present workshop featured research in such diverse areas as Extremal, Probabilistic and Algebraic Combinatorics, Graph Theory, Discrete Geometry, Combinatorial Optimization, Theory of Computation and Statistical Mechanics. It provided current accounts of exciting developments and challenges in these fields and a stimulating venue for a variety of fruitful interactions. This is a report on the meeting, containing extended abstracts of the presentations and a summary of the problem session

Enumerative Combinatorics

Enumerative Combinatorics focusses on the exact and asymptotic counting of combinatorial objects. It is strongly connected to the probabilistic analysis of large combinatorial structures and has fruitful connections to several disciplines, including statistical physics, algebraic combinatorics, graph theory and computer science. This workshop brought together experts from all these various fields, including also computer algebra, with the goal of promoting cooperation and interaction among researchers with largely varying backgrounds

Static Transformation of Power Consumption for Program Tracing and Software Attestation

This thesis presents methods to statically modify programs at compile-time to improve the effectiveness of power consumption based program analyses. Two related applications are considered, and algorithms are introduced for both. The first is power consumption based program tracing, and the second is software attestation with power consumption as a side-effect. We propose a framework for increasing the effectiveness of power-based program tracing techniques. These systems determine the most likely block of source code that produced an observed power trace. Our framework maximizes distinguishability between power traces for different code sections. To this end, we introduce a static transformation to reduce the probability of misclassification by reordering intermediate representation (IR) to find the ordering that produces power traces with the highest distances between them. Experimental results confirm the effectiveness of our technique. We also consider improvements to the algorithm, replacing the naïve, exhaustive permutation algorithm used in the original solution with Monte Carlo permutations. Due to the complexity of the naïve solution, its search space is constrained, making it unlikely to find a good solution when the number of instructions in a program section is too large. Variations on a basic stochastic implementation are described, and their expected results are compared. The Monte Carlo algorithms consistently found better solutions than their exhaustive counterpart while showing improved scalability. We then introduce a related technique to statically transform programs to use power consumption as the side-effect for software attestation. We show how to circumvent the undecidable nature of program execution for this purpose and present a static compiler transformation which implements the algorithm. Our approach is less intrusive than traditional software attestation because the system does not require interruption to compute a cryptographic checksum. It is particularly well suited to real-time systems where consistent timing is more important than speed

The time-course of perceptual decision-making: temporal and spatial dynamics of scalp-recorded oscillatory phase and amplitude

Thesis (Ph.D.) - Indiana University, Psychological & Brain Sciences, 2014In natural conditions the brain has to actively integrate information about the current percept with information about past/present behavioral demands and cognitive states of the observer along with future outcomes related to a decision. Despite of somewhat extensive research, we still know little about the neuro-cognitive mechanisms and temporal dynamics allowing an observer to perceive an object and rapidly make a decision about it. This dissertation is based on previous research suggesting that there must be at least two cognitive processes underlying a task such as perceptual decision-making. An early mechanism related to the perception of information and a later one related to the subsequent decision-making process. Evidence has led to the proposal of the match-and-utilization model, stating that early synchronization in the gamma band is the result of a match between the current percept and memory/attentional processes. In contrast, later synchronization would reflect the utilization/readout of the early matching process; updating or influencing future processes. Evidence for this two-stage process, comes mainly from the classic event-related potential literature and, in lesser degree, from newer measures such as oscillatory amplitude. Moreover, the exploration of multivariate nonlinear techniques derived from the study of synchronization between and within neural systems, has been largely neglected in the literature. Thus, explorations of a more complete electrophysiological picture than the one provided by ERP or ERSP analyses alone, can provide us more information about the relation between neural oscillations and ERP components as electrophysiological markers of cognitive events. This is important because differential roles for frequency, phase, and amplitude as different information coding strategies in neural systems have been theoretically suggested and empirically shown. The present work presents for the first time, concomitant analyses of phase and amplitude dynamics in the context of perceptual decision-making. In this dissertation I present a parametrical task that can effectively separate the visual properties of the stimuli from the decision regarding the task at hand. Results indicate that the experimental design effectively separated stimulus properties from task demands. Additionally, I suggest distinct roles for the temporal dynamics of gamma-band oscillations. Finally, a central role for alpha oscillations is suggested

Studying the folding of peptide dendrimers using molecular simulation methods

Tese de mestrado, Bioquímica, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2009Dendrimers are a family of branched compounds that share a common layout where wedges emerge radially from a core by means of a regular branching pattern. Peptide dendrimers are a specific kind of dendrimers formed by alternating functional amino acids with branching diamino acids. There has been increasing interest in the synthesis of peptide-based dendritic architectures modelling specific aspects of biological function. Some results are already available, demonstrating these molecules ability to act as enzyme models and to mimic natural ligands. Unfortunately, most studies concerning peptide dendrimers lack structural information at the molecular level. The theoretical study published so far, reported peptide dendrimers presenting shapes close to spheres, though experimental studies on the same systems suggest the existence of more disordered states. Herein, we characterize five third-generation peptide dendrimers (B1, B1H, B1HH, B1HHH and C1) through multiple long molecular dynamics simulations (MD), and analyse their conformational details and folding preferences in solution. Special emphasis is placed on the analysis of conformational trends representative of the examined models. The conformational sampling results, obtained through MM/MD simulations, were scrutinized using several approaches. Namely, histogram analysis, phi-psi dihedral distributions, inter-residue distance matrices, shape analysis and principal coordinate analysis. The adequacy of each approach to discern the conformation space of peptide dendrimers is discussed. Using these analysis procedures we were able to observe two distinct types of behaviour (sphere-like and bowl-like structures), both asserting the enormous structural flexibility characterizing these molecules; and the myriad of conformational states available to them. Our conclusions can be interpreted together with the available experimental results, contributing to a synergistic understanding of the structure-function relation in peptide dendrimers, and casting the bases for novel knowledge-based applications.Os dendrímeros são uma família de compostos ramificados que partilham uma arquitectura comum, onde diferentes cadeias emergem radialmente de um mesmo núcleo (ou centro) através de um padrão de ramificação regular. Os dendrímeros peptídicos, são uma classe particular de dendrímeros, constituída por estruturas que incorporam de forma alternada e iterativa resíduos de amino-ácidos funcionais (resíduos de espaçamento) com resíduos de diamino-ácidos ramificados (resíduos de ramificação). Os resíduos de diamino-ácidos ramificados promovem a bifurcação das cadeias peptídicas e a aquisição da estrutura dendrítica. A possibilidade de sintetizar dendrímeros com composições que mimetizem as funções de moléculas biológicas, constitui o aliciante para a investigação neste campo cientifico. Em particular, a síntese planeada e controlada de estruturas dendríticas baseadas nos componentes apresentados pelas moléculas biológicas, como peptidos ou glícidos, constitui um desafio atractivo pelas potenciais aplicações que dai podem emergir. De facto, já foram reportados dendrímeros peptídicos que modelam aspectos específicos de funções biológicas, tais como: modelos enzimáticos para catálise dirigida (“enzimas artificiais”); mimetização de co-factores naturais (de que e exemplo a vitamina B12); transportadores de fármacos, pois quando acopladas aos ligandos adequados estas moléculas tem a capacidade de aderir à membrana celular. É também importante referir que várias destas moléculas têm sido estudadas enquanto modelos de folding das proteínas naturais, pois investigações experimentais indiciam que alguns dendrímeros peptídicos podem apresentar, em solução, uma estrutura compacta semelhante à das proteínas globulares. Contudo, a maioria dos estudos experimentais realizados até à data são omissos no que concerne a informação estrutural, e carecem do enquadramento adequado a nível molecular e atómico. O único estudo teórico publicado sobre dendrímeros peptídicos parece confirmar a ideia de que, em solução estas moléculas apresentam, de facto, formas semelhantes a esferas, isto apesar de existirem evidências experimentais que sugerem a existência de estados conformacionais mais desordenados, nesses mesmos sistemas. Considerando o grande interesse que estas moléculas tem vindo a despertar, a verdade é que pouco se sabe sobre o seu arranjo estrutural tridimensional, e sobre os processos que a ele conduzem (folding). Nesta tese tentamos preencher algumas destas lacunas. Para tal, procedemos à caracterização de cinco dendrímeros peptídicos de terceira geração (que designamos por B1, B1H, B1HH, B1HHH e C1) com diferentes constituintes peptídicos. Os sistemas que escolhemos como objecto de estudo, estão directamente relacionados com a coordenação da aquocobalamina (análogo da vitamina B12) a dendrímeros peptídicos, ainda que apenas três deles tenham sido sintetizados e caracterizados experimentalmente (B1, B1H e C1). Deste modo, pretendemos não só investigar as suas preferências conformacionais, mas também inferir possíveis relações entre a sua estrutura e a capacidade para desempenhar uma função análoga à das moléculas biológicas (transcobalamina). É importante salientar que de entre os dendrímeros que foram sintetizados experimentalmente, e que são também aqui estudados, os que apresentam maior capacidade de coordenação com a aquacobalamina, são os que possuem um menor número de resíduos com potencial de coordenação. Este aparente paradoxo é por si só interessante e pode estar interligada com aspectos mais estruturais. Como temos por objectivo compreender as alterações e a variabilidade subjacentes às estruturas tridimensionais dos diferentes dendrímeros, empregamos metodologias adequadas ao detalhe da escala que pretendemos investigar. Nomeadamente, métodos computacionais de simulação molecular (MM/MD). Optámos portanto por simular cada um destes cinco sistemas através de múltiplas e longas simulações de dinâmica molecular, utilizando a água enquanto solvente explícito. Com efeito, no trabalho que conduziu a esta tese, realizamos simulações que contabilizam aproximadamente 1 μs-1 para cada um dos dendrímeros em estudo. No que respeita a estes sistemas, isto é muito superior ao tempo simulado em estudos anteriores. Nas últimas décadas a investigacao científica tem beneficiado imenso do avanço das técnicas de simulação computacional, que providenciam resultados e formas de escrutinar sistemas, que são de outra forma normalmente inacessíveis. A dinâmica molecular, especificamente, permite “seguir” a evolução temporal dos átomos que constituem um sistema, através da integração das equações de Newton para o movimento de corpos. É inclusive um dos métodos computacionais de eleição para estudar fenómenos biomoleculares. Os resultados obtidos com esta técnica de amostragem conformacional permitiram-nos analisar e identificar de forma adequada, os detalhes estruturais de cada um dos dendrímeros peptídicos. Colocamos especial ênfase nos arranjos estruturais mais estáveis. As conformações tridimensionais obtidas a partir das trajectórias resultantes das simulações, foram agrupadas de forma a obtermos os ensembles conformacionais característicos de cada dendrímero. Sobre estes conjuntos de conformações realizamos várias análises. Começamos por investigar algumas das propriedades que caracterizam estes sistemas, como o raio de giração, o número total de ligações de hidrogénio, a distância máxima entre os dois átomos mais afastados de cada estrutura, a superfície acessível ao solvente, entre outros. O raio de giração revelou ser a propriedade que individualmente, melhor espelha as variações intrínsecas a estes sistemas. Adicionalmente, procedemos também a caracterização da distribuição dos valores de phi-psi característicos dos diedros de cada um dos dendrímeros. Complementamos esta análise com o estudo das matrizes que reflectem as distãncias mínimas entre os resíduos de todas as conformações. Posteriormente aplicamos metodologias de análise conformacional que envolvem a determinação da energia livre, associada a diferentes coordenadas reaccionais (ou de folding) para cada estrutura nos diferentes ensembles, obtendo assim as correspondentes superfícies energéticas (folding landscapes). Utilizamos esta abordagem por forma a obter folding landscapes bi- e tridimensionais. Em especifíco, utilizamos como coordenadas de folding os valores do raio de giração, do root mean square deviation (RMSD), dos componentes principais do tensor do raio de giração diagonalizado, e os valores para a posição relativa das diferentes conformações, num espaço concordante com a matriz de RMSD, utilizando para tal o método de análise das coordenadas principais (PCoorA). Utilizando o tensor do raio de giração, foi possível investigar a forma dos arranjos estruturais de cada dendrímero peptídico, tendo inclusive sido definido um espaço tridimensional baseado nos componentes principais do tensor diagonalizado (espaço de giração). A capacidade de cada uma destas abordagens para discriminar de forma adequada o espaço das conformações dos dendrímeros peptídicos é discutida ao longo da tese. Dos diversos procedimentos de análise conformacional empregues, resulta uma clara indicação de que, em solução, os dendrímeros peptídicos podem apresentar dois comportamentos preferenciais distintos: estruturas compactas que privilegiam as interacções entre os diferentes resíduos, semelhantes a esferas (sphere-like); e estruturas “abertas” com as diferentes ramificações espaçadas, em que as interacções entre resíduos não adjacentes são minimizadas, semelhantes a taças (bowl-like). Ambas estas configurações atómicas consubstanciam a enorme flexibilidade estrutural que parece caracterizar estas moléculas, dando provas da miríade de estados conformacionais que lhes estão acessíveis. Foi ainda possível verificar a existência de evidências que suportam a ideia de que estas moléculas possuem uma grande robustez estrutural. Isto é, pequenas alterações na composição dos resíduos de amino-ácidos que as constituem não parecem desencadear alterações conformacionais significativas nos arranjos estruturais preferenciais. Através da comparação entre o coeficiente de difusao experimental disponível para um dos dendrímeros, e o coeficiente de difusão calculado com base nas trajectórias obtidas por simulação, foi possível verificar que os modelos utilizados, reflectem de forma adequada os sistemas experimentais. Concluiu-se também que o campo de força (force field) GROMOS 53A6 possui a capacidade de transferabilidade apropriada para lidar com estas moléculas. Os pontos fortes e fracos dos nossos modelos são discutidos ao longo da tese. Durante este trabalho foi ainda desenvolvida e implementada uma metodologia que permite o cálculo eficiente do RMSD entre estruturas dendríticas. As conclusões apresentadas nesta tese podem ser interpretadas juntamente com os resultados experimentais disponíveis, de forma a contribuir para uma compreensão sinérgica da relação entre a estrutura e a função dos dendrímeros peptídicos, lançando as fundações para aplicações inovadoras