Multi-Value Numerical Modeling for Special Di erential Problems

2013 - 2014The subject of this thesis is the analysis and development of new numerical methods for Ordinary Di erential Equations (ODEs). This studies are motivated by the fundamental role that ODEs play in applied mathematics and applied sciences in general. In particular, as is well known, ODEs are successfully used to describe phenomena evolving in time, but it is often very di cult or even impossible to nd a solution in closed form, since a general formula for the exact solution has never been found, apart from special cases. The most important cases in the applications are systems of ODEs, whose exact solution is even harder to nd; then the role played by numerical integrators for ODEs is fundamental to many applied scientists. It is probably impossible to count all the scienti c papers that made use of numerical integrators during the last century and this is enough to recognize the importance of them in the progress of modern science. Moreover, in modern research, models keep getting more complicated, in order to catch more and more peculiarities of the physical systems they describe, thus it is crucial to keep improving numerical integrator's e ciency and accuracy. The rst, simpler and most famous numerical integrator was introduced by Euler in 1768 and it is nowadays still used very often in many situations, especially in educational settings because of its immediacy, but also in the practical integration of simple and well-behaved systems of ODEs. Since that time, many mathematicians and applied scientists devoted their time to the research of new and more e cient methods (in terms of accuracy and computational cost). The development of numerical integrators followed both the scienti c interests and the technological progress of the ages during whom they were developed. In XIX century, when most of the calculations were executed by hand or at most with mechanical calculators, Adams and Bashfort introduced the rst linear multistep methods (1855) and the rst Runge- Kutta methods appeared (1895-1905) due to the early works of Carl Runge and Martin Kutta. Both multistep and Runge-Kutta methods generated an incredible amount of research and of great results, providing a great understanding of them and making them very reliable in the numerical integration of a large number of practical problems. It was only with the advent of the rst electronic computers that the computational cost started to be a less crucial problem and the research e orts started to move towards the development of problem-oriented methods. It is probably possible to say that the rst class of problems that needed an ad-hoc numerical treatment was that of sti problems. These problems require highly stable numerical integrators (see Section ??) or, in the worst cases, a reformulation of the problem itself. Crucial contributions to the theory of numerical integrators for ODEs were given in the XX century by J.C. Butcher, who developed a theory of order for Runge-Kutta methods based on rooted trees and introduced the family of General Linear Methods together with K. Burrage, that uni ed all the known families of methods for rst order ODEs under a single formulation. General Linear Methods are multistagemultivalue methods that combine the characteristics of Runge-Kutta and Linear Multistep integrators... [edited by Author]XIII n.s

NASA SERC 1990 Symposium on VLSI Design

This document contains papers presented at the first annual NASA Symposium on VLSI Design. NASA's involvement in this event demonstrates a need for research and development in high performance computing. High performance computing addresses problems faced by the scientific and industrial communities. High performance computing is needed in: (1) real-time manipulation of large data sets; (2) advanced systems control of spacecraft; (3) digital data transmission, error correction, and image compression; and (4) expert system control of spacecraft. Clearly, a valuable technology in meeting these needs is Very Large Scale Integration (VLSI). This conference addresses the following issues in VLSI design: (1) system architectures; (2) electronics; (3) algorithms; and (4) CAD tools

Allgemeine lineare Verfahren für Differential-Algebraische Gleichungen mit Index 2

Viele Prozesse der Physik, Chemie und der Ingenieurwissenschaften können durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden, wobei die mathematische Beschreibung dieser Prozesse oft auch algebraische Gleichungen liefert. Diese Gleichungen sind zum Beispiel durch die Kirchhoffschen Gesetze, bestimmte Erhaltungsgrößen wie Volumen oder Energie und geometrische und kinetische Nebenbedingungen gegeben. Dies führt zu den so genannten Differential-Algebraischen Gleichungen (DAEs). Insbesondere durch die verstärkte Simulation dieser Prozesse entstand großes Interesse an DAEs und deren numerischer Behandlung. Im Vordergrund stehen dabei die Simulationen von so genannten Mehrkörpersystemen, wie sie zum Beispiel in der Fahrzeugtechnik und der Robotik auftreten, und von elektrischen Schaltkreisen bei der Chipentwicklung. Allgemeine lineare Verfahren wurden bereits Mitte der 60ziger Jahre des letzten Jahrhunderts als Verallgemeinerung der klassischen Verfahren, insbesondere der Runge-Kutta Verfahren und der linearen Mehrschrittverfahren, eingeführt. Dieses Konzept ermöglicht zum einen eine einheitliche theoretische Untersuchung der klassischen Verfahren und zum anderen die Herleitung neuer numerischer Methoden. Bis heute werden allgemeine lineare Verfahren auch für steife Differentialgleichungen entwickelt, die auch auf Differential-Algebraische Gleichungen angewendet werden können. In der vorliegenden Arbeit werden zunächst gewisse grundlegende Aussagen über DAEs und allgemeine lineare Verfahren wiederholt. Anschließend wird die formale Anwendung allgemeiner linearer Verfahren auf DAEs diskutiert. Dabei stellt sich heraus, dass der Störungsindex einer impliziten DAE als Maß der numerischen Schwierigkeiten, welche bei der Berechnung einer Näherungslösung auftreten, irreführend sein kann. Tatsächlich sollte der Störungsindex eines entsprechend augmentierten Systems als dieses Maß betrachtet werden. Zudem werden allgemeine lineare Verfahren für Index-2 DAEs in Hessenberg Form ausführlich analysiert. Dabei liegt der Schwerpunkt bei der Beantwortung der klassischen Fragen der Numerischen Analysis an die Stabilität, Konsistenz und Konvergenz des Verfahrens. Des Weiteren wird eine Übertragung der Konvergenzresultate auf spezielle semi-explizite Index-2 DAEs durchgeführt. Abschließend sind einige Aspekte der Implementierung solcher Verfahren beschrieben und numerische Berechnungen an Beispielen präsentiert

Aeronautical engineering: A continuing bibliography with indexes (supplement 237)

This bibliography lists 572 reports, articles, and other documents introduced into the NASA scientific and technical information system in February, 1989. Subject coverage includes: design, construction and testing of aircraft and aircraft engines; aircraft components, equipment and systems; ground support systems; and theoretical and applied aspects of aerodynamics and general fluid dynamics

An intelligent modelling interface for process simulators in process industries

Over the past three decades, modelling packages for chemical processes have become more advanced and widely used. For example, equation-oriented dynamic simulators, such as gPROMS are useful for simulating plantwide processes as well as unit operations, and are widely used by process engineers. Whereas, other types of simulator (e.g. Simulink) are often used by control engineers to solve complex control problems. However, both these types of simulator rely on the user being proficient in modelling and familiar with their syntax beforehand. A useful development would be the integration of some knowledge into the formation of the process models and automatic syntax code generation. This would lead to the design engineers having a library of knowledge to check on first, much as an expert engineer uses their past experiences to help guide them through a design. If this could be incorporated into a modelling interface this would greatly help the design engineer, especially when tackling problems in areas that they have little, or no experience. The thesis addresses this problem and describes the design of an intelligent modelling interface that incorporates a knowledge base using some form of a priori case library and recall facility. The interface also incorporates an automatic input file generation stage. At present, the user can: specify a single unit operation problem to search for, retrieve similar cases from the database, specify their solution in the database based on past cases and experience, and then automatically generate an input file for either gPROMS or Simulink. These features are demonstrated through four case studies

Eine gitterfreie Raum-Zeit-Kollokationsmethode für gekoppelte Probleme auf Gebieten mit komplizierten Rändern

In der vorliegenden Arbeit wird eine neuartige gitterfreie Raum-Zeit-Kollokationsmethode (engl. STMCM) zur Lösung von Systemen partieller und gewöhnlicher Differentialgleichungen durch eine konsistente Diskretisierung in Raum und Zeit als Alternative zu den etablierten netzbasierten Verfahren vorgeschlagen. Die STMCM gehört zur Klasse der tatsächlich gitterfreien Methoden, die nur mit Punktwolken ohne a priori Netzkonnektivität arbeiten und kein Diskretisierungsnetz benötigen. Das Verfahren basiert auf der Interpolating Moving Least Squares Methode, die eine vereinfachte Erfüllung der Randbedingungen durch die von den Kernfunktionen erfüllte Kronecker-Delta-Eigenschaft ermöglicht, was beim größten Teil anderer netzfreier Verfahren nicht der Fall ist. Ein Regularisierungsverfahren zur Bewältigung des beim Aufbau der Kernfunktionen auftretenden Singularitätsproblems, sowie zur Berechnung aller benötigten Ableitungen der Kernfunktionen wird dargelegt. Ziel ist es dabei, eine Methode zu entwickeln, die die Einfachheit der Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen in starker Form mit den Vorteilen der gitterfreien Verfahren, insbesondere mit Blick auf gekoppelte Probleme des Ingenieurwesens mit sich bewegenden Grenzflächen, verknüpft. Die vorgeschlagene Methode wird zunächst zur Lösung linearer und nichtlinearer partieller sowie gewöhnlicher Differentialgleichungen angewendet. Dabei werden deren Konvergenz- und Genauigkeitseigenschaften untersucht. Die implizite Rekonstruktion der Gebiete mit komplizierten Rändern als Abbildungsstrategie zur Punktwolken-Streuung wird durch die Interpolation von Punktwolkendaten in zwei und drei Raumdimensionen demonstriert. Anhand der Modelle zur Simulation von Biofilm- und Tumor-Wachstumsprozessen werden Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Umweltwissenschaften und der Medizintechnik dargestellt.In this thesis an innovative Space-Time Meshfree Collocation Method (STMCM) for solving systems of nonlinear ordinary and partial differential equations by a consistent discretization in both space and time is proposed as an alternative to established mesh-based methods. The STMCM belongs to the class of truly meshfree methods, i.e. the methods which do not have any underlying mesh, but work on a set of nodes only without an a priori node-to-node connectivity. The STMCM is constructed using the Interpolating Moving Least Squares technique, allowing a simplified implementation of boundary conditions due to fulfilment of the Kronecker delta property by the kernel functions, which is not the case for the major part of other meshfree methods. A regularization technique to overcome the singularity-by-construction problem and compute all necessary derivatives of the kernel functions is presented. The goal is to design a method that combines the simplicity and straightforwardness of the strong-form computational techniques with the advantages of meshfree methods over the classical ones, especially for coupled engineering problems involving moving interfaces. The proposed STMCM is applied to linear and nonlinear partial and ordinary differential equations of different types and its accuracy and convergence properties are studied. The power of the technique is demonstrated by implicit reconstruction of domains with complex boundaries via interpolation of point cloud data in two and three space dimensions as a `mapping' strategy for distribution of computational points within such domains. Applications from the fields of environmental and medical engineering are presented by means of a mathematical model for simulating a biofilm growth and a nonlinear model of tumour growth processes