Enumeration of General t-ary Trees and Universal Types

We consider t-ary trees characterized by their numbers of nodes and their total path length. When t=2 these are called binary trees, and in such trees a parent node may have up to t child nodes. We give asymptotic expansions for the total number of trees with nodes and path length p, when n and p are large. We consider several different ranges of n and p. For n→∞ and p=O(n^{3/2}) we recover the Airy distribution for the path length in trees with many nodes, and also obtain higher order asymptotic results. For p→∞ and an appropriate range of n we obtain a limiting Gaussian distribution for the number of nodes in trees with large path lengths. The mean and variance are expressed in terms of the maximal root of the Airy function. Singular perturbation methods, such as asymptotic matching and WKB type expansions, are used throughout, and they are combined with more standard methods of analytic combinatorics, such as generating functions, singularity analysis, saddle point method, etc. The results are applicable to problems in information theory, that involve data compression schemes which parse long sequence into shorter phrases. Numerical studies show the accuracy of the various asymptotic approximations. Key Words: Trees; Universal Types; Asymptotics; Path Length; Singular Perturbation

Enumeration of Binary Trees, Lempel-Ziv’78 Parsings, and Universal Types ∗

Binary unlabeled ordered trees (further called binary trees) were studied at least since Euler, who enumerated them. The number of such trees with n nodes is now known as the Catalan number. Over the years various interesting questions about the statistics of such trees were investigated (e.g., height and path length distributions for a randomly selected tree). Binary trees find an abundance of applications in computer science. However, recently Seroussi posed a new and interesting problem motivated by information theory considerations: how many binary trees of a given path length (sum of depths) are there? This question arose in the study of universal types of sequences. Seroussi declares that two sequences of length p have the same universal type if they generate the same set of phrases in the incremental parsing of the Lempel-Ziv’78 scheme. (He then proves that sequences of the same type converge to the same empirical distribution.) It turns out that the number of distinct types of sequences of length p corresponds to the number of binary (unlabeled and ordered) trees, Tp, of given path length p (and also the number of different Lempel-Ziv’78 parsings of length p sequences). We first show that the number of binary trees with given path length p is asymptotically equal to Tp ∼ 2 2p/(log 2 p). Then we establish various limiting distributions for the number of nodes (number of phrases in the Lempel-Ziv’78 scheme) when a tree is selected randomly among all Tp trees. Throughout, we use methods of analytic algorithmics such as generating functions and complex asymptotics, as well as methods of applied mathematics such as the WKB method and matched asymptotics.

The AdCIM framework : extraction, integration and persistence of the configuration of distributed systems

[Resumen] Este resumen se compone de una introducción, que explica el enfoque y contexto de la Tesis, seguida de una sección sobre su organización en partes y capítulos. Después, sigue una enumeración de las contribuciones recogidas en ella, para finalizar con las conclusiones y trabajo futuro. Introducción Los administradores de sistemas tienen que trabajar con la gran diversidad de hardware y software existente en las organizaciones actuales. Desde el punto de vista del administrador, las infraestructuras homogéneas son mucho más sencillas de administrar y por ello más deseables. Pero, aparte de la dificultad intrínseca de mantener esa homogeneidad a la vez que progresa la tecnología y las consecuencias de estar atado a un proveedor fijo, la propia homogeneidad tiene riesgos; por ejemplo, las instalaciones en monocultivo son más vulnerables contra virus y troyanos, y hacerlas seguras requiere la introducción de diferencias aleatorias en llamadas al sistema que introduzcan diversidad artificial, una medida que puede provocar inestabilidad (ver Birman y Schneider. Esto hace la heterogeneidad en sí casi inevitable, y una característica de los sistemas reales difícil de obviar. Pero de hecho conlleva más complejidad. En muchas instalaciones, la mezcla de Windows y derivados de Unix es usual, ya sea en combinación o divididos claramente en clientes y servidores. Las tareas de administración en ambos sistemas son diferentes debido a las diferencias en ecosistema y modo de conceptualizar los sistemas informáticos acaecidas tras años de divergencia en interfaces, sistemas de configuración, comandos y abstracciones. A lo largo del tiempo ha habido muchos intentos de cerrar esa brecha, y algunos lo hacen emulando o versionando las herramientas Unix, probadas a lo largo de muchos años. Por ejemplo, la solución de Microsoft, Windows Services for Unix permite el uso de NIS, el Network File System (NFS), Perl, y el shell Korn en Windows, pero no los integra realmente en Windows, ya que está más orientado a la migración de aplicaciones. Cygwin soporta más herramientas, como Bash y las Autotools de GNU, pero se centra en la traslación directa a Windows de programas Unix basados en POSIX usando gcc. Outwit es un port muy interesante del conjunto de herramientas Unix que integra los pipelines de Unix en Windows y permite acceder al Registro, los drivers ODBC y al portapapeles desde los shells de Unix, pero los scripts desarrollados para este sistema no son usables directamente en sistemas Unix. Por lo tanto, la separación sigue a pesar de dichos intentos. En esta Tesis presentamos un framework, denominado AdCIM, para la administración de la configuración de sistemas heterogéneos. Como tal, su objetivo es integrar y uniformizar la administración de estos sistemas abstrayendo sus diferencias, pero al mismo tiempo ser flexible y fácil de adaptar para soportar nuevos sistemas rápidamente. Para lograr dichos objetivos la arquitectura de AdCIM sigue el paradigma de orientación a modelo, que propone el diseño de aplicaciones a partir de un modelo inicial, que es transformado en diversos ''artefactos'', como código, documentación, esquemas de base de datos, etc. que formarían la aplicación. En el caso de AdCIM, el modelo es CIM, y las transformaciones se efectúan utilizando el lenguaje declarativo XSLT, que es capaz de expresar transformaciones sobre datos XML. AdCIM realiza todas sus transformaciones con XSLT, excepto la conversión inicial de ficheros de texto plano a XML, hecha con un párser especial de texto a XML. Los programas XSLT, también denominados stylesheets, enlazan y transforman partes específicas del árbol XML de entrada, y soportan ejecución recursiva, formando un modelo de programación declarativo-funcional con gran potencia expresiva. El modelo elegido para representar los dominios de administración cubiertos por el framework es CIM (Common Information Model), un modelo estándar, extensible y orientado a objetos creado por la Distributed Management Task Force (DMTF). Usando esquemas del modelo CIM, los múltiples y distintos formatos de configuración y datos de administración son traducidos por la infraestructura de AdCIM en instancias CIM. Los esquemas CIM también sirven como base para generar formularios web y otros esquemas específicos para validación y persistencia de los datos. El desarrollo de AdCIM como un framework orientado al modelo evolucionó a partir de nuestro trabajo previo, que extraía datos de configuración y los almacenaba en un repositorio LDAP utilizando scripts Perl. En sucesivos trabajos se empezó a trabajar con la orientación a modelo y se demostró la naturaleza adaptativa de este framework, mediante adaptaciones a entornos Grid y a Wireless Mesh Networks. El enfoque e implementación de este framework son novedosos, y usa algunas tecnologías definidas como estándares por organizaciones internacionales como la IETF, la DMTF, y la W3C. Vemos el uso de dichas tecnologías como una ventaja en vez de una limitación en las posibilidades del framework. Su uso añade generalidad y aplicabilidad al framework, sobre todo comparado con soluciones ad-hoc o de propósito muy específico. A pesar de esta flexibilidad, hemos intentado en todo lo posible definir y concretar todos los aspectos de implementación, definir prácticas de uso adecuadas y evaluar el impacto en el rendimiento y escalabilidad del framework de la elección de las distintas tecnologías estándar