Entropy of capacities on lattices and set systems

We propose a definition for the entropy of capacities defined on lattices. Classical capacities are monotone set functions and can be seen as a generalization of probability measures. Capacities on lattices address the general case where the family of subsets is not necessarily the Boolean lattice of all subsets. Our definition encompasses the classical definition of Shannon for probability measures, as well as the entropy of Marichal defined for classical capacities. Some properties and examples are given

Comonotonicity and Choquet integrals of Hermitian operators and their applications.

yesIn a quantum system with d-dimensional Hilbert space, the Q-function of a Hermitian positive semide nite operator , is de ned in terms of the d2 coherent states in this system. The Choquet integral CQ( ) of the Q-function of , is introduced using a ranking of the values of the Q-function, and M obius transforms which remove the overlaps between coherent states. It is a gure of merit of the quantum properties of Hermitian operators, and it provides upper and lower bounds to various physical quantities in terms of the Q-function. Comonotonicity is an important concept in the formalism, which is used to formalize the vague concept of physically similar operators. Comonotonic operators are shown to be bounded, with respect to an order based on Choquet integrals. Applications of the formalism to the study of the ground state of a physical system, are discussed. Bounds for partition functions, are also derived

An axiomatization of entropy of capacities on set systems

International audienceWe present an axiomatization of the entropy of capacities defined on set systems which are not necessarily the whole power set, but satisfy a condition of regularity. This entropy encompasses the definition of Marichal and Roubens for the entropy of capacities. Its axiomatization is in the spirit of the one of Faddeev for the classical Shannon entropy. In addition, we present also an axiomatization of the entropy for capacities proposed by Dukhovn

Lattices and discrete methods in cooperative games and decisions

Questa tesi si pone l'obiettivo di presentare la teoria dei giochi, in particolare di quelli cooperativi, insieme alla teoria delle decisioni, inquadrandole formalmente in termini di matematica discreta. Si tratta di due campi dove l'indagine si origina idealmente da questioni applicative, e dove tuttavia sono sorti e sorgono problemi più tipicamente teorici che hanno interessato e interessano gli ambienti matematico e informatico. Anche se i contributi iniziali sono stati spesso formulati in ambito continuo e utilizzando strumenti tipici di teoria della misura, tuttavia oggi la scelta di modelli e metodi discreti appare la più idonea. L'idea generale è quindi quella di guardare fin da subito al complesso dei modelli e dei risultati che si intendono presentare attraverso la lente della teoria dei reticoli. Ciò consente di avere una visione globale più nitida e di riuscire agilmente ad intrecciare il discorso considerando congiuntamente la teoria dei giochi e quella delle decisioni. Quindi, dopo avere introdotto gli strumenti necessari, si considerano modelli e problemi con il fine preciso di analizzare dapprima risultati storici e solidi, proseguendo poi verso situazioni più recenti, più complesse e nelle quali i risultati raggiunti possono suscitare perplessità. Da ultimo, vengono presentate alcune questioni aperte ed associati spunti per la ricerca