107 research outputs found
\"Aquivalenz und Wahrheit
This text summarizes and expands the content of a general audience talk given
at the University of Mainz. Motivated by recent developments in type theory and
category theory, it presents a history of ideas around the concepts of truth,
proof, identity, and equivalence as well as their relation to human thought. We
describe a few ideas of Aristoteles, Leibniz, Kant and Frege and then pass to
the results of G\"odel and Tarski about incompleteness and the difference
between truth and deducibility. The main focus of this text, however, is the
development of type theory in the work of Per Martin-L\"of and further
developments including homotopy type theory, i.e., the univalent foundations
program. This results in particular in the notion of identity types and gives
mathematics the possibility to handle equivalences and isomorphisms in a
conceptual way.Comment: in German, title change
ZFC vs. NFU
Von Beginn an ist dasjenige Gebiet der mathematischen Grundlagenforschung, das man `Mengenlehre' nennt, heiĂź umfehdet - und zwar nicht bloĂź in `mathematischer', sondern auch in philosophischer Hinsicht.
Formal ist eine (axiomatische) Mengenlehre eine mathematische Theorie wie jede andere, gleichgestellt der Gruppentheorie, der Peano-Arithmetik erster Stufe oder der Theorie der partiellen Ordnungen. De facto ist sie primus inter pares, weil es möglich ist alle anderen mathematischen Theorien innderhalb der Mengenlehre zu `verhandeln'.
Unmengen an verschiedenen Systemen der axiomatischen Mengenlehre gibt es mittlerweile, beinahe jeder groĂźe Logiker des zwanzigsten Jahrhunderts hat ein eigenes. Einige unterscheiden sich nur graduell, andere entstammen grundverschiedenen Denktraditionen - und dennoch beanspruchen alle, den Begriff der `Menge' angemessen zu formalisieren.
Zwei solche Systeme (NFU als Repräsentant einer eher `logisch' orientierten Denktradition und ZFC als Repräsentant einer genuin `mathematischen' Tradition) sollen in dieser Arbeit gegenübergestellt werden. Dabei ist ein erstes Ziel, herauszustellen, welche Sätze in dem einen System beweisbar sind, nicht jedoch im anderen (und umgekehrt). Vor allem in der transfiniten Arithmetik wird sich zeigen, dass die Unterschiede vielfältig sind.
Das zweite (und vorrangige) Ziel besteht darin, aufzuzeigen, welche konkurrierenden Intuitionen zum Begriff `Menge' die beiden Systeme motivieren, und in welchem Verhältnis diese Intuitionen zu deren formalisierten Versionen und zueinander stehen
Grundlagen der Logik und Mathematik: Der Standpunkt Wittgensteins
Es wird gezeigt, dass Wittgenstein in seiner FrĂĽhphilosophie ein nicht-axiomatisches
Beweisverständnis entwickelt, für das sich das Problem der Begründung der Axiome
nicht stellt. Nach Wittgensteins Beweisverständnis besteht der Beweis einer formalen
Eigenschaft einer Formel – z.B. der logischen Wahrheit einer prädikatenlogischen
Formel oder der Gleichheit zweier arithmetischer Ausdrücke – in der Transformation
der Formel in eine andere Notation, an deren Eigenschaften sich entscheiden lässt, ob
die zu beweisende formale Eigenschaft besteht oder nicht besteht. Dieses Verständnis
grenzt Wittgenstein gegenüber einem axiomatischen Beweisverständnis ab. Sein
Beweisverständnis bedingt ein Programm der Grundlegung der Mathematik, das eine
Alternative zu den Ansätzen des Logizismus, Formalismus und Konstruktivismus
darstellt. Wittgensteins Ansatz steht im Widerspruch zu den Ergebnissen der
Metamathematik, da er die Möglichkeit der Formulierung von Entscheidungsverfahren in der Prädikatenlogik und Arithmetik voraussetzt. Um seinem Ansatz gegenüber der
traditionellen Metamathematik Recht zu geben, mĂĽsste gezeigt werden, dass sein
Beweisverständnis im Bereich der Logik und Arithmetik – der traditionellen
Metamathematik zum Trotz – realisierbar ist
Was bedeuten Parakonsistente, Unentscheidbar, Zufällig, Berechenbar und Unvollständige? Eine Rezension von „Godels Weg: Exploits in eine unentscheidbare Welt“ (Godels Way: Exploits into a unecidable world) von Gregory Chaitin, Francisco A Doria, Newton C.A. da Costa 160p (2012)
In "Godel es Way" diskutieren drei namhafte Wissenschaftler Themen wie Unentschlossenheit, Unvollständigkeit, Zufälligkeit, Berechenbarkeit und Parakonsistenz. Ich gehe diese Fragen aus Wittgensteiner Sicht an, dass es zwei grundlegende Fragen gibt, die völlig unterschiedliche Lösungen haben. Es gibt die wissenschaftlichen oder empirischen Fragen, die Fakten über die Welt sind, die beobachtungs- und philosophische Fragen untersuchen müssen, wie Sprache verständlich verwendet werden kann (die bestimmte Fragen in Mathematik und Logik beinhalten), die entschieden werden müssen, indem man sich anschaut,wie wir Wörter in bestimmten Kontexten tatsächlich verwenden. Wenn wir klar werden, welches Sprachspiel wir spielen, werden diese Themen als gewöhnliche wissenschaftliche und mathematische Fragen angesehen, wie alle anderen auch. Wittgensteins Einsichten wurden selten übertroffen und sind heute so treffend wie vor 80 Jahren, als er die Blauen und Braunen Bücher diktierte. Trotz seiner Versäumnisse – wirklich eine Reihe von Notizen statt eines fertigen Buches – ist dies eine einzigartige Quelle für die Arbeit dieser drei berühmten Gelehrten, die seit über einem halben Jahrhundert an den blutenden Rändern von Physik, Mathematik und Philosophie arbeiten. Da Costa und Doria werden von Wolpert zitiert (siehe unten oder meine Artikel über Wolpert und meine Rezension von Yanofskys 'The Outer Limits of Reason'), da sie auf universelle Berechnung schrieben,, und unter seinen vielen Errungenschaften ist Da Costa ein Pionier in Parakonsistenz.
Wer aus der modernen zweisystems-Sichteinen umfassenden, aktuellen Rahmen für menschliches Verhalten wünscht, kann mein Buch "The Logical Structure of Philosophy, Psychology, Mindand Language in Ludwig Wittgenstein and John Searle' 2nd ed (2019) konsultieren. Diejenigen,die sich für mehr meiner Schriften interessieren, können 'Talking Monkeys--Philosophie, Psychologie, Wissenschaft, Religion und Politik auf einem verdammten Planeten --Artikel und Rezensionen 2006-2019 3rd ed (2019) und Suicidal Utopian Delusions in the 21st Century 4th ed (2019) und andere sehen
The Quantum Strategy of Completeness: On the Self-Foundation of Mathematics
Gentzen’s approach by transfinite induction and that of intuitionist Heyting arithmetic to completeness and the self-foundation of mathematics are compared and opposed to the Gödel incompleteness results as to Peano arithmetic. Quantum mechanics involves infinity by Hilbert space, but it is finitist as any experimental science. The absence of hidden variables in it interpretable as its completeness should resurrect Hilbert’s finitism at the cost of relevant modification of the latter already hinted by intuitionism and Gentzen’s approaches for completeness. This paper investigates both conditions and philosophical background necessary for that modification. The main conclusion is that the concept of infinity as underlying contemporary mathematics cannot be reduced to a single Peano arithmetic, but to at least two ones independent of each other. Intuitionism, quantum mechanics, and Gentzen’s approaches to completeness an even Hilbert’s finitism can be unified from that viewpoint. Mathematics may found itself by a way of finitism complemented by choice. The concept of information as the quantity of choices underlies that viewpoint. Quantum mechanics interpretable in terms of information and quantum information is inseparable from mathematics and its foundation
Grundlagen der Logik und Mathematik –\ud Der Standpunkt Wittgensteins
Auf der 2. Tagung fĂĽr Erkenntnislehre der exakten Wissenschaft\ud
in Königsberg 1930 sollten die unterschiedlichen\ud
Ansätze in den Grundlagen der Mathematik dargestellt\ud
werden: Carnap referierte ĂĽber den Logizismus, Heyting\ud
ĂĽber den Intuitionismus, Neumann ĂĽber den Formalismus\ud
(vgl. Hahn et al. 1931). Interessanterweise wurde neben\ud
diesen Ansätzen noch ein vierter Ansatz dargestellt: Der\ud
Standpunkt Wittgensteins, ĂĽber den Friedrich Waismann\ud
vortrug. Waismann tat dies mit der UnterstĂĽtzung Wittgensteins,\ud
was zeigt, dass Wittgenstein keineswegs den Anspruch\ud
ablehnte, eine alternative Position in den Grundlagenfragen\ud
der Mathematik einzunehmen. Das Schicksal,\ud
das Waismanns Versuch erfuhr, Wittgensteins Standpunkt\ud
zu kommunizieren, ist symptomatisch: Waismann gelang\ud
es im Unterschied zu den anderen Referenten nicht, seinen\ud
Vortrag in eine publizierfähige Form zu bringen. Ein\ud
erhaltenes Skript (vgl. Waismann 1982) ist unvollständig\ud
und beschäftigt sich vornehmlich mit Wittgensteins Kritik\ud
am Logizismus; eine eigenständige Motivation für einen\ud
alternativen Standpunkt entfaltet Waismann nicht. In der\ud
anschliessenden Diskussion der Referate wurde Wittgensteins\ud
Standpunkt ĂĽbergangen, da er noch nicht in einer\ud
"spruchreifen Form" (Hahn et al. 1931, S. 141) vorlag. Die\ud
Rezeption von Wittgensteins Standpunkt scheiterte auch\ud
bei gutwilligen und mit der Materie vertrauten Forschern,\ud
da es nicht gelang, diesen als eine konstruktive Alternative\ud
zu identifizieren und verständlich zu machen
A Mathematical Model of Quantum Computer by Both Arithmetic and Set Theory
A practical viewpoint links reality, representation, and language to calculation by the concept of Turing (1936) machine being the mathematical model of our computers. After the Gödel incompleteness theorems (1931) or the insolvability of the so-called halting problem (Turing 1936; Church 1936) as to a classical machine of Turing, one of the simplest hypotheses is completeness to be suggested for two ones. That is consistent with the provability of completeness by means of two independent Peano arithmetics discussed in Section I.
Many modifications of Turing machines cum quantum ones are researched in Section II for the Halting problem and completeness, and the model of two independent Turing machines seems to generalize them.
Then, that pair can be postulated as the formal definition of reality therefore being complete unlike any of them standalone, remaining incomplete without its complementary counterpart. Representation is formal defined as a one-to-one mapping between the two Turing machines, and the set of all those mappings can be considered as “language” therefore including metaphors as mappings different than representation. Section III investigates that formal relation of “reality”, “representation”, and “language” modeled by (at least two) Turing machines. The independence of (two) Turing machines is interpreted by means of game theory and especially of the Nash equilibrium in Section IV.
Choice and information as the quantity of choices are involved. That approach seems to be equivalent to that based on set theory and the concept of actual infinity in mathematics and allowing of practical implementations
Representation and Reality by Language: How to make a home quantum computer?
A set theory model of reality, representation and language based on the relation of completeness and incompleteness is explored. The problem of completeness of mathematics is linked to its counterpart in quantum mechanics. That model includes two Peano arithmetics or Turing machines independent of each other. The complex Hilbert space underlying quantum mechanics as the base of its mathematical formalism is interpreted as a generalization of Peano arithmetic: It is a doubled infinite set of doubled Peano arithmetics having a remarkable symmetry to the axiom of choice. The quantity of information is interpreted as the number of elementary choices (bits). Quantum information is seen as the generalization of information to infinite sets or series. The equivalence of that model to a quantum computer is demonstrated. The condition for the Turing machines to be independent of each other is reduced to the state of Nash equilibrium between them. Two relative models of language as game in the sense of game theory and as ontology of metaphors (all mappings, which are not one-to-one, i.e. not representations of reality in a formal sense) are deduced
Verifikation, Manifestation und Verstehen: Bemerkungen zum Manifestationsargument
Dem "Manifestationsargument" zufolge steht eine realistische Semantik der Wahrheitsbedingungen im Widerspruch zu dem Gedanken, dass das Verstehen von Sätzen eine Fähigkeit ist, die sich im Handeln manifestieren können muss. – Der Aufsatz zeigt, dass sowohl Realisten als auch Anti-Realisten die These aufzugeben haben, dass das Verstehen eines Satzes im Erfassen der jeweiligen Wahrheitsbedingungenbesteht. Die realistische Annahme der Existenz verifikationstranszendenter Wahrheiten steht – unabhängig vom Manifestationsprinzip – im Widerspruch zu einer wahrheitskonditionalen Semantik. Die von heutigen Anti-Realisten vertretenen Theorien des Verstehens sind allerdings einem ähnlichen Einwand ausgesetzt, insofern sie gleichfalls nicht unsere Fähigkeit, unentscheidbare Sätze zu verstehen, erklären können
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