Dynamics of a multipoint variant of Chebyshev-Halley's family

In this paper, a complex dynamical study of a parametric Chebyshev-Halley type family of iterative methods on quadratic polynomial is presented. The stability of the fixed points is analyzed in terms of the parameter of the family. We also calculate the critical points building their corresponding parameter planes which allow us to analyze the qualitative behavior of this family. Moreover, we locate some dynamical planes showing different pathological aspects of this family. (C) 2016 Elsevier Inc. All rights reserved.The authors thank to the anonymous referees for their suggestions to improve the readability of the paper. This research was partially supported by Ministerio de Economia y Competitividad MTM2014-52016-C02-2-P.Campos, B.; Cordero Barbero, A.; Torregrosa Sánchez, JR.; Vindel, P. (2016). Dynamics of a multipoint variant of Chebyshev-Halley's family. Applied Mathematics and Computation. 284:195-208. doi:10.1016/j.amc.2016.03.009S19520828

Orbits of period two in the family of a multipoint variant of Chebyshev-Halley family

[EN] The study of the dynamical behaviour of the operators defined by iterative methods help us to know more deeply the regions where these methods have a good performance. In this paper, we follow the dynamical study of a multipoint variant of the known Chebyshev-Halley's family, showing the existence of attractive periodic orbits of period 2 for some values of the parameter.This research was partially supported by Ministerio de Econom´ı a y Competitividad MTM2014-52016-C02-2-PCampos, B.; Cordero Barbero, A.; Torregrosa Sánchez, JR.; Vindel Cañas, P. (2016). Orbits of period two in the family of a multipoint variant of Chebyshev-Halley family. Numerical Algorithms. 73(1):141-156. https://doi.org/10.1007/s11075-015-0089-0141156731Blanchard, P.: Complex analytic dynamics on the Riemann sphere. Bull. AMS 11(1), 85–141 (1984)Beardon, A.F.: Iteration of Rational Functions, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York (1991)Behl, R., Kanwar, V.: Variants of Chebyshev’s method with optimal order of convergence. Tamsui Oxf. J. Inf. Math. Sci. 29(1), 39–53 (2013)Campos, B., Cordero, A., Magreñan, A., Torregrosa, J.R., Vindel, P.: Study of a bi-parametric family of iterative methods. Abstr. Appl. Anal. 2014. Art. ID 141643, 12 ppCampos, B., Cordero, A., Torregrosa, J.R., Vindel, P.: Bifurcations in the dynamics of a variant of Chebyshev method. In: Proceedings of the 15th International Conference on Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering CMMSE 2015, ISBN 978-84-617-2230-3, pp. 291–299 (2015)Chicharro, F., Cordero, A., Torregrosa, J.R.: Drawing dynamical and parameter planes of iterative families and methods. The Scientific World Journal Volume 2013 Article ID 780153Varona, J.L.: Graphic and numerical comparison between iterative methods. Math. Intelligencer 24, 37–46 (2002)Amat, S., Busquier, S., Plaza, S.: Review of some iterative root-finding methods from a dynamical point of view. Sci. Ser. A: Math. Sci. 10, 3–35 (2004)Cordero, A., García-Maimó, J., Torregrosa, J.R., Vassileva, M.P., Vindel, P.: Chaos in King’s iterative family. Appl. Math. Lett. 26, 842–848 (2013)Cordero, A., Torregrosa, J.P., Vindel, P.: Dynamics of a family of Chebyshev-Halley type method. Appl. Math. Comput. 219, 8568–8583 (2013)Gutiérrez, J.M., Hernández, M.A., Romero, N.: Dynamics of a new family of iterative processes for quadratic polynomials. J. Comput. Appl. Math. 233, 2688–2695 (2010)Neta, B., Chun, C., Scott, M.: Basins of attraction for optimal eighth order methods to find simple roots of nonlinear equation. App. Math. Comput. 227, 567–592 (2014)Scott, M., Neta, B., Chun, C.: Basin attractors for various methods. Appl. Math. Comput. 218, 2584–2599 (2011)Blanchard, P.: The dynamics of Newton’s method. Proc. Symp. Appl. Math. 49, 139–154 (1994)Cordero, A., Torregrosa, J.R.: Variants of Newton’s method using fifth-order quadrature formulas. Appl. Math. Comput. 190, 686–698 (2007

Métodos iterativos para la resolución de problemas aplicados transformados a sistemas no lineales

[ES] La resolución de ecuaciones y sistemas no lineales es un tema de gran interés teórico-práctico, pues muchos modelos matemáticos de la ciencia o de la industria se expresan mediante sistemas no lineales o ecuaciones diferenciales o integrales que, mediante técnicas de discretización, dan lugar a dichos sistemas. Dado que generalmente es difícil, si no imposible, resolver analíticamente las ecuaciones no lineales, la herramienta más extendida son los métodos iterativos, que tratan de obtener aproximaciones cada vez más precisas de las soluciones partiendo de determinadas estimaciones iniciales. Existe una variada literatura sobre los métodos iterativos para resolver ecuaciones y sistemas, que abarca conceptos como, eficiencia, optimalidad, estabilidad, entre otros importantes temas. En este estudio obtenemos nuevos métodos iterativos que mejoran algunos conocidos en términos de orden o eficiencia, es decir que obtienen mejores aproximaciones con menor coste computacional. La convergencia de los métodos iterativos suele estudiarse desde el punto de vista local. Esto significa que se obtienen resultados de convergencia imponiendo condiciones a la ecuación en un entorno de la solución. Obviamente, estos resultados no son aplicables si no la conocemos. Otro punto de vista, que abordamos en este trabajo, es el estudio semilocal que, imponiendo condiciones en un entorno de la estimación inicial, proporciona un entorno de dicho punto que contiene la solución y garantiza la convergencia del método iterativo a la misma. Finalmente, desde un punto de vista global, estudiamos el comportamiento de los métodos iterativos en función de la estimación inicial, mediante el estudio de la dinámica de las funciones racionales asociadas a estos métodos. La presente memoria recoge los resultados de varios artículos de nuestra autoría, en los que se tratan distintos aspectos de la materia, como son, las peculiaridades de la convergencia en el caso de raíces múltiples, la posibilidad de aumentar el orden de un método óptimo de orden cuatro a orden ocho, manteniendo la optimalidad en el caso de raíces múltiples, el estudio de la convergencia semilocal en un método de alto orden, así como el comportamiento dinámico de algunos métodos iterativos.[CA] La resolució d'equacions i sistemes no lineals és un tema de gran interés teoricopràctic, perquè molts models matemàtics de la ciència o de la indústria s'expressen mitjançant sistemes no lineals o equacions diferencials o integrals que, mitjançant tècniques de discretizació, donen lloc a aquests sistemes. Atés que generalment és difícil, si no impossible, resoldre analíticament les equacions no lineals, l'eina més estesa són els mètodes iteratius, que tracten d'obtindre aproximacions cada vegada més precises de les solucions partint de determinades estimacions inicials. Existeix una variada literatura sobre els mètodes iteratius per a resoldre equacions i sistemes, que abasta conceptes com ordre d'aproximació, eficiència, optimalitat, estabilitat, entre altres importants temes. En aquest estudi obtenim nous mètodes iteratius que milloren alguns coneguts en termes d'ordre o eficiència, és a dir que obtenen millors aproximacions amb menor cost computacional. La convergència dels mètodes iteratius sol estudiar-se des del punt de vista local. Això significa que s'obtenen resultats de convergència imposant condicions a l'equació en un entorn de la solució. Òbviament, aquests resultats no són aplicables si no la coneixem. Un altre punt de vista, que abordem en aquest treball, és l'estudi semilocal que, imposant condicions en un entorn de l'estimació inicial, proporciona un entorn d'aquest punt que conté la solució i garanteix la convergència del mètode iteratiu a aquesta. Finalment, des d'un punt de vista global, estudiem el comportament dels mètodes iteratius en funció de l'estimació inicial, mitjançant l'estudi de la dinàmica de les funcions racionals associades a aquests mètodes. La present memòria recull els resultats de diversos articles de la nostra autoria, en els quals es tracten diferents aspectes de la matèria, com són, les peculiaritats de la convergència en el cas d'arrels múltiples, la possibilitat d'augmentar l'ordre d'un mètode òptim d'ordre quatre a ordre huit, mantenint l'optimalitat en el cas d'arrels múltiples, l'estudi de la convergència semilocal en un mètode d'alt ordre, així com el comportament dinàmic d'alguns mètodes iteratius.[EN] The resolution of nonlinear equations and systems is a subject of great theoretical and practical interest, since many mathematical models in science or industry are expressed through nonlinear systems or differential or integral equations that, by means of discretization techniques, give rise to such systems. Since it is generally difficult, if not impossible, to solve nonlinear equations analytically, the most widely used tool is iterative methods, which try to obtain increasingly precise approximations of the solutions based on certain initial estimates. There is a varied literature on iterative methods for solving equations and systems, which covers concepts of order of approximation, efficiency, optimality, stability, among other important topics. In this study we obtain new iterative methods that improve some known ones in terms of order or efficiency, that is, they obtain better approximations with lower computational cost. The convergence of iterative methods is usually studied locally. This means that convergence results are obtained by imposing conditions on the equation in a neighbourhood of the solution. Obviously, these results are not applicable if we do not know it. Another point of view, which we address in this work, is the semilocal study that, by imposing conditions in a neighbourhood of the initial estimation, provides an environment of this point that contains the solution and guarantees the convergence of the iterative method to it. Finally, from a global point of view, we study the behaviour of iterative methods as a function of the initial estimation, by studying the dynamics of the rational functions associated with these methods. This report collects the results of several articles of our authorship, in which different aspects of the matter are dealt with, such as the peculiarities of convergence in the case of multiple roots, the possibility of increasing the order of an optimal method from order four to order eight, maintaining optimality in the case of multiple roots, the study of semilocal convergence in a high-order method, as well as the dynamic behaviour of some iterative methods.Cevallos Alarcón, FA. (2023). Métodos iterativos para la resolución de problemas aplicados transformados a sistemas no lineales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/19349

ANÁLISIS DINÁMICO Y APLICACIONES DE MÉTODOS ITERATIVOS DE RESOLUCIÓN ECUACIONES NO LINEALES

Many problems in science, engineering or economy involve the search of the solution of an equation. Since ancient times, the modelling of nature problems has attracted a lot of interest, in order to predict the behaviour of a system. There are several techniques to find the solution of an equation. We are focusing in the iterative methods. From an iterative scheme we are able to know the solution of a nonlinear function, provided there exist suitable methods. In addition to the well-known Newton's and Steffensen's methods, we are implementing methods with higher order of convergence. The classification of the methods depending on their intrinsic features is giving us the chance to evaluate the goodness or the convenience of an iterative method. As in every engineering or mathematical problem, we will find a tradeoff solution. Another way to classify methods, complementary to the previous one, is the complex dynamics study. The fixed point operator associated to every iterative methods when it is applied over a nonlinear function is the seed for developing tools to characterize every scheme on the complex plane. The graphical representation of the iterative methods dynamics has occupied a broad part of the time of the current research. The dynamical plane is a powerful tool to visualize the stability of a method, the size of their basins of attraction or the suitability of some starting points to initialize the iterations. As well, for uniparametric families, the parameters plane will cooperate in the chose of the right member of the family. Dynamical planes can be interpreted as an approach to fractals. The fractal dimension is being introduced as a way to measure how intricate is the Julia set of an iterative method. Fractals belong to the borderline between the determinism and the theory of chaos. So we are transferring concepts of both issues on the fractal study. As an application of the iterative methods and the complex dynamics, we are showing the preliminary orbit determination of artificial satellites. From the position of a satellite in two different times, it is possible to guess the parameters of the ellipse described by the satellite. For this purpose, we are applying an algorithm that includes a classical resolution method. Our contribution consists in the use of our iterative methods to improve the performance of the system. The possible applications of iterative methods for finding solutions of equations are beyond orbital mechanics. The design of digital filters, the digital image processing or the characterization of radio-frequency links are some of the examples. From the previous concepts, we introduce this Doctoral Thesis for gaining the title of Philosophae Doctor in Mathematics. First chapters contextualize the involved topics, while the following ones present the papers published in international scientific journals as the fruit of the research.Numerosos problemas de la ciencia, la ingeniería o la economía requieren de la búsqueda de soluciones de una ecuación. Desde tiempos remotos se ha tratado de modelizar problemas presentes en la naturaleza con expresiones que, al fin y al cabo, permitan conocer a priori cómo se va a comportar un sistema. Entre las técnicas utilizadas para dicha búsqueda de soluciones encontramos los métodos iterativos. Iterar a partir de una serie de expresiones nos va a permitir conocer la solución de una función no lineal a partir de esquemas adecuados para ello. Además de los conocidos métodos de Newton y Steffensen, se van a implementar métodos con mayor orden de convergencia. Clasificar los métodos iterativos en función de sus características intrínsecas nos va a permitir valorar la bondad o la conveniencia del uso de un método iterativo u otro. Como en todos los problemas de ingeniería y matemáticas, tendremos que obtener una solución de compromiso. Otra de las caracterizaciones existentes, complementaria a la anterior, es el estudio de la dinámica compleja. El operador de punto fijo asociado a cada uno de los métodos iterativos cuando se aplica sobre una función no lineal va a permitir que caractericemos cada uno de los esquemas en el plano complejo. Buena parte del trabajo desarrollado se ha centrado en la representación gráfica de la dinámica de los métodos iterativos. El plano dinámico es una herramienta que nos permite visualizar la estabilidad de un método, el tamaño de sus cuencas de convergencia o la idoneidad de determinados puntos iniciales para comenzar a iterar. Asimismo, para familias de métodos uniparamétricas, el plano de parámetros va a colaborar en la elección del miembro de la familia más adecuado. Interpretando los planos dinámicos como una aproximación a los fractales, presentaremos la dimensión fractal como un factor de medida de lo intrincado que puede resultar el conjunto de Julia asociado a un método iterativo. Los fractales pertenecen a la frontera entre el determinismo y la teoría del caos, de forma que podremos transferir conceptos de ambas disciplinas sobre el estudio fractal. Mostraremos como aplicación de los métodos iterativos y la dinámica compleja la determinación de órbitas preliminares de satélites artificiales. A partir de la posición de un satélite en dos instantes diferentes, es posible determinar los parámetros de la elipse que describe. Para ello, utilizaremos un algoritmo en el que se incluye un método clásico de resolución para, a continuación, mejorar sus prestaciones con nuestras propuestas de métodos iterativos. Basándonos en la búsqueda de soluciones y en los métodos iterativos como técnica de obtención de soluciones, las aplicaciones abarcan campos más allá de la mecánica orbital. El diseño de filtros digitales, el procesado digital de imágenes o la caracterización de enlaces de radiofrecuencia son algunos de los ejemplos de aplicación. A partir de los conceptos anteriores, presentamos esta Tesis Doctoral para la obtención del título de Doctor en Matemáticas, contextualizando la temática en los primeros capítulos para, a continuación, presentar las publicaciones en revistas internacionales como fruto de la investigación.Nombrosos problemes de la ciència, la ingenieria o l'economia requereixen de la cerca de solucions d'una ecuació. Des de temps llunyans s'ha tractat de modelitzar problemes presents a la natura amb expressions que, al cap i a la fi, permeten conèixer a priori el comportament d'un sistema. Entre les tècniques emprades per tal cerca de solucions trobem els mètodes iteratius. Iterar a partir d'una sèrie d'expressions ens permetrà conèixer la solució d'una funció no lineal a partir d'esquemes adequats. A més dels coneguts mètodes de Newton i Steffensen, s'implementaran mètodes amb major ordre de convergència. Classificar els mètodes iteratius en funció de les seues característiques intrínseques ens permetrà avaluar la bondat o la conveniència de l'ús d'un mètode iteratiu o d'un altre. Com a la majoria de problemes d'ingenieria i matemàtiques, haurem de trobar una solució de compromís. Altra de les caracteritzacions existents, complementària a l'anterior, és l'estudi de la dinàmica complexa. L'operador de punt fix associat a cadascun dels mètodes iteratius quan s'aplica sobre una funció no lineal permetrà la caracterització de cada esquema al pla complex. Bona part del treball desenvolupat s'ha centrat en la representació gràfica de la dinàmica dels mètodes iteratius. El pla dinàmic es una eina que ens permet visualitzar l'estabilitat d'un mètode, la mida de les seues conques de convergència o la idoneïtat de determinats punts inicials per a començar a iterar. Així mateix, per a famílies de mètodes uniparamètriques, el pla de paràmetres col·laborarà en l'elecció del membre de la família més adequat. Interpretant els plànols dinàmics com una aproximació als fractals, presentarem la dimensió fractal com un factor per a mesurar quant d'intrincat es troba el conjunt de Julia associat a un mètode iteratiu. Els fractals pertanyen a la frontera entre el determinisme i la teoria del caos, de manera que podrem transferir conceptes d'ambdues disciplines sobre l'estudi fractal. Mostrarem com aplicació dels mètodes iteratius i la dinàmica complexa la determinació d'òrbites preliminars de satèl·lits artificials. A partir de la posició d'un satèl·lit en dos instants diferents, és possible determinar els paràmetres de l'el·lipse que descriu. Per això, utilitzarem un algoritme en el qual s'inclou un mètode clàssic de resolució per, a continuació, millorar les seues prestacions amb les nostres propostes de mètodes iteratius. Basant-nos en la cerca de solucions i en els mètodes iteratius com a tècnica d'obtenció de solucions, les aplicacions abasten camps més enllà de la mecànica orbital. El disseny de filtres digitals, el processament digital d'imatges o la caracterització d'enllaços de radiofrequència son alguns dels exemples d'aplicació. A partir dels conceptes anteriors, presentem aquesta Tesi Doctoral per a l'obtenció del títol de Doctor en Matemàtiques, contextualitzant la temàtica als primers capítols per, a continuació, presentar les publicacions en revistes internacionals com a fruit de la investigació.Chicharro López, FI. (2017). ANÁLISIS DINÁMICO Y APLICACIONES DE MÉTODOS ITERATIVOS DE RESOLUCIÓN ECUACIONES NO LINEALES [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/83582TESI

Commonwealth of Independent States aerospace science and technology, 1992: A bibliography with indexes

This bibliography contains 1237 annotated references to reports and journal articles of Commonwealth of Independent States (CIS) intellectual origin entered into the NASA Scientific and Technical Information System during 1992. Representative subject areas include the following: aeronautics, astronautics, chemistry and materials, engineering, geosciences, life sciences, mathematical and computer sciences, physics, social sciences, and space sciences