New Algorithm for Drawings of 3-Planar Graphs

Graphs arise in a natural way in many applications, together with the need to be drawn. Except for very small instances, drawing a graph by hand becomes a very complex task, which must be performed by automatic tools. The field of graph drawing is concerned with finding algorithms to draw graph in an aesthetically pleasant way, based upon a certain number of aesthetic criteria that define what a good drawing, (synonyms: diagrams, pictures, layouts), of a graph should be. This problem can be found in many such as in the computer networks, data networks, class inter-relationship diagrams in object oriented databases and object oriented programs, visual programming interfaces, database design systems, software engineering…etc. Given a plane graph G, we wish to find a drawing of G in the plane such that the vertices of G are represented as grid points, and the edges are represented as straight-line segments between their endpoints without any edge-intersection. Such drawings are called planar straight-line drawings of G. An additional objective is to minimize the area of the rectangular grid in which G is drawn. In this paper we introduce a new algorithms that finds an embedding of 3-planar graph. Keywords: 3- Planar Graph; Graph Drawing; drawing on grid

Algorithms for drawing planar graphs

Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle onderlinge relaties direct blijken. Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec- trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen genoemd en de verbindingen lijnen. Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be- trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een \mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf, maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het geval is dan wordt de graaf planair genoemd. We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van 223?224 SAMENVATTING planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de volgende: Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven). Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie \mooi" kan worden weergegeven. Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten. Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande verbindingen van een knoop. Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen. De interne gebieden moeten convex getekend worden. Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf. Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen: Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf- gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen. Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen- hangend als na het weglaten van

A Universal Slope Set for 1-Bend Planar Drawings

We describe a set of Delta-1 slopes that are universal for 1-bend planar drawings of planar graphs of maximum degree Delta>=4; this establishes a new upper bound of Delta-1 on the 1-bend planar slope number. By universal we mean that every planar graph of degree Delta has a planar drawing with at most one bend per edge and such that the slopes of the segments forming the edges belong to the given set of slopes. This improves over previous results in two ways: Firstly, the best previously known upper bound for the 1-bend planar slope number was 3/2(Delta-1) (the known lower bound being 3/4(Delta-1)); secondly, all the known algorithms to construct 1-bend planar drawings with O(Delta) slopes use a different set of slopes for each graph and can have bad angular resolution, while our algorithm uses a universal set of slopes, which also guarantees that the minimum angle between any two edges incident to a vertex is pi/(Delta-1)

The {Mondshein} Sequence

Canonical orderings [STOC'88, FOCS'92] have been used as a key tool in graph drawing, graph encoding and visibility representations for the last decades. We study a far-reaching generalization of canonical orderings to non-planar graphs that was published by Lee Mondshein in a PhD-thesis at M.I.T.\ as early as 1971. Mondshein proposed to order the vertices of a graph in a sequence such that, for any $i$, the vertices from $1$ to $i$ induce essentially a $2$-connected graph while the remaining vertices from $i+1$ to $n$ induce a connected graph. Mondshein's sequence generalizes canonical orderings and became later and independently known under the name \emph{non-separating ear decomposition}. Currently, the best known algorithm for computing this sequence achieves a running time of $O(nm)$; the main open problem in Mondshein's and follow-up work is to improve this running time to a subquadratic time. In this paper, we present the first algorithm that computes a Mondshein sequence in time and space $O(m)$, improving the previous best running time by a factor of $n$. In addition, we illustrate the impact of this result by deducing linear-time algorithms for several other problems, for which the previous best running times have been quadratic. In particular, we show how to compute three independent spanning trees in a $3$-connected graph in linear time, improving a result of Cheriyan and Maheshwari [J. Algorithms 9(4)]. Secondly, we improve the preprocessing time for the output-sensitive data structure by Di Battista, Tamassia and Vismara [Algorithmica 23(4)] that reports three internally disjoint paths between any given vertex pair from $O(n^2)$ to $O(m)$. Finally, we show how a very simple linear-time planarity test can be derived once a Mondshein sequence is computed

New Approaches on Octilinear Graph Drawing

Graphenzeichnen ist ein Bereich der Informatik mit langer Tradition. Insbesondere im Bereich des orthogonalen Graphenzeichnens wird seit den 1980er Jahren motiviert durch VLSI-Design (Chip-Design) und Grundrissplanung intensiv geforscht. In dieser Arbeit wird das klassische orthogonale Modell durch neue Elemente, unter anderem aus dem oktilinearen Graphenzeichnen, erweitert. Die ersten Ergebnisse, die wir in dieser Arbeit vorstellen, befassen sich mit oktilinearem Graphenzeichnen. Dieses Modell ist altbekannt und viele Aspekte wurden schon untersucht. Wir entwickeln eine Methode mit der für planare Graphen mit einem beschränkten maximalen Knotengrad (4 und 5) Zeichnungen mit maximal einem Knick pro Kante erstellt werden können. Außerdem zeigen wir, dass Graphen mit maximalem Knotengrad 6 nicht immer mit einem Knick pro Kante gezeichnet werden können. Damit schließen wir die Lücke zwischen bekannten Ergebnissen, die besagen dass Graphen mit maximalem Knotengrad 3 immer ohne Knicke und alle Graphen bis zu einem maximalen Knotengrad von 8 mit höchstens zwei Knicken pro Kante oktilinear gezeichnet werden können. Durch Nutzerstudien konnte gezeigt werden, dass die Lesbarkeit von (Graphen) Zeichnungen durch Knicke auf den Kanten und schlecht identifizierbare Kreuzungen besonders beeinträchtigt wird. An diesem Punkt setzt unser neues Modell, das abgeschrägt orthogonale (engl. slanted orthogonal, oder kurz: slog) Graphenzeichnen an. Im slog Modell ist der kleinste erlaubte Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Kantensegmenten 135°. Das hat zur Folge, dass slog Zeichnungen keine normalen Knicke mehr haben, sondern sogenannte Halb-Knicke. Um Kreuzungen besser erkennbar zu machen sind im slog Modell Kreuzungen ausschließlich zwischen diagonalen Segmenten erlaubt. Wir zeigen, dass eine knick-minimale slog Zeichnung mindestens doppelt so viele Halb-Knicke benötigt, wie eine knick-minimale orthogonale Zeichnung Knicke hat. Für das slog Modell werden in dieser Arbeit Methoden zur Berechnung von knick-minimalen Zeichnungen vorgestellt. Da diese exponentielle Fläche benötigen können, wird außerdem eine Heuristik entwickelt, die nur quadratische Fl ̈ache benötigt, dafür aber mehr Knicke zulässt. Die Ergebnisse einer experimentellen Evaluation des slog Modells werden ebenfalls präsentiert. Im Anschluss erweitern wir das slog Modell zu einer flexibleren Variante die wir sloggy nennen. Das sloggy Modell hat alle Eigenschaften des slog Modells, aber Kreuzungen werden jetzt auch zwischen orthogonalen Segmenten erlaubt. Dafür wird die Anzahl Halb-Knicke beschränkt auf genau zwei Mal die Anzahl Knicke der entsprechenden knick-minimalen orthogonalen Zeichnung. Außerdem wird die Anzahl an Kreuzungen zwischen diagonalen Segmenten maximiert. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung solcher Zeichnungen und zeigen, dass auch hier exponentielle Fläche benötigt werden kann. Das slog und das sloggy Modell sind auf Graphen mit einem maximalen Knotengrad von 4 beschränkt. Deswegen wenden wir uns als nächstes dem Kandinsky Modell zu, einem bekannten Modell mit dem Graphen mit beliebigem Knotengrad gezeichnet werden können. Wir erweitern das bekannte Modell mit Elementen aus dem slog Modell, den Halb-Knicken, um so zuvor verbotene Konfigurationen zeichnen zu können. Mit unserer Erweiterung wollen wir die Gesamtzahl an Knicken und die Größe der Zeichnungen verkleinern. Wir entwickeln eine LP Formulierung, mit der die optimale Zeichnung berechnet werden kann. Da diese sehr lange Zeit zur Berechnung beanspruchen kann, haben wir zusätzliche eine effiziente Heuristik entwickelt. In einer experimentellen Untersuchung vergleichen wir außerdem das neue Modell mit dem klassischen Kandinsky Modell. Im letzten Kapitel vereinen wir dann unsere Modifikation des Kandinsky Modells mit dem slog Modell im sogenannten sloginsky Modell, um Graphen mit beliebigem Knotengrad mit den Vorteilen des slog Modells zeichnen zu können. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung knick-optimaler sloginsky Zeichnungen, aber wir zeigen auch, dass eine solche Zeichnung nicht für jede Eingabe möglich ist. Auch im sloginsky Modell kann eine Zeichnung exponentielle Fläche beanspruchen, was in der experimentellen Evaluation ebenfalls sichtbar wird

Reconstructing the strontium isotopic composition of Neoproterozoic seawater

The Tonian Period (1000 - c.720 Ma) followed a long interval of relative stasis, in terms of climate, carbon isotopes and biological evolution, and led into the Cryogenian Period of environmental extremes and instability. Despite its pivotal situation, the Tonian Period is still relatively understudied, and this is partly due to the lack of robust age constraints in key Proterozoic successions around the world. The fossiliferous Neoproterozoic strata of the North China craton were until recently thought to be of Ediacaran age. However, fossil evidence and new geochronological constraints combine to show that most of the ‘Qingbaikou’ System, which reaches a great thickness in some areas, was deposited between c. 980 and c. 920 Ma. The isotopic signature of these strata confirms their Tonian age, showing typical moderately high 13C values together with low 87Sr/87Sr ratios, <0.7065. Another characteristically Tonian feature is the unusually widespread abundance of early diagenetic ‘molar-tooth’ low-Mg calcite microspar. In this study, I compare MT samples with their surrounding ‘bulk’ matrix in correlative successions on the North China craton in order to 1) demonstrate their propensity to preserve a primary seawater isotopic signature; and 2) reconstruct, together with published data, the strontium (and carbon) isotopic evolution of early Tonian seawater. Second-order fluctuations of less than ~0.001 are superimposed on a general 87Sr/87Sr rise from ~0.7052 to ~0.7063 by c. 920 Ma, accompanied by a profoundly negative carbon isotope excursion. Increased chemical weathering has been linked with both climatic and carbon isotope instability, and this study indicates an earlier beginning to such carbon cycle perturbations, which coincide with early stages of supercontinent rifting, as evidenced by the newly dated Dashigou igneous province of North China. These and other new and published data are used to reconstruct and reinterpret the strontium isotopic evolution of Neoproterozoic seawater