23 research outputs found
On Euler Tours in Streaming Models and some Games on Graphs
In this thesis, we take a look at several graph theoretical problems. We present two streaming algorithms for finding an Euler tour in a graph, prove a tight bound on the capture time in the Bridge-Burning Cops and Robbers Game and solve an open problem for the Extreme Vertex Destruction Model. In Chapter 2, we consider the classical Euler tour problem and take a modern look at this problem in the context of the graph streaming model. Here, RAM is of size O(n polylog(n)), where n is the number of nodes, and the graph is given as a stream of its edges. With this restricted memory space, we give a one-pass algorithm for finding Euler tours in the graph streaming model. In Chapter 3, we regard a lesser-known streaming model, the so-called StrSort model, to tackle a downside of our algorithm mentioned above. The algorithm stores an Euler tour on an output tape in form of a successor function. The order of the edges is given, but the edges are not actually sorted in the order of the Euler tour. Therefore, further processing the tour with another streaming algorithm might become difficult. We give an algorithm for sorting the edges of a graph according to a found Euler tour, that has a preparation step in the graph streaming model and a processing step in the StrSort model. The so-called Bridge-Burning Cops and Robbers Game is the topic of Chapter 4. Here, every time the robber traverses an edge, this edge is deleted afterwards. We study winning strategies of a single cop and make statements on the maximum number of turns of such strategies. In Chapter 5, we study networks formed by selfish agents. When a node is âdestroyedâ, i.e. the adjacent edges are deleted, the network is damaged and some players lose the connection to each other. In the Extreme Vertex Destruction Model, we observe the impact of such a deletion on swap equilibrium graphs and make statements on the maximum amount of damage that can cause here
Modellbildung versus Modellisieren und Scheinmodellierung
Was ist mathematische Modellierung? Diese Frage wird Semester um Semester an vielen UniversitĂ€ten zu Beginn einer Vorlesung, die ,Modellierungâ im Titel trĂ€gt, rhetorisch gestellt. Dabei sind meist Dynamische Systeme zur Analyse realer zeitabhĂ€ngiger Prozesse in den Naturwissenschaften und der Technik (aber nicht ausschlieĂlich) Gegenstand der Untersuchung [...]
Semi-PrÀemptives Transportieren
Das Problem, einen Roboter (oder ein Fahrzeug) so zwischen n Stationen zu steuern, daĂ m Objekte von ihrem Ausgangspunkt zu ihrem Ziel transportiert werden können und dabei die zurĂŒckgelegte Fahrstrecke minimiert wird, bezeichnet man als Pickup--And--Delivery--Problem. Diese Aufgabenstellung ist in der Vergangenheit gut untersucht worden, sogar wenn die Stationen auf eine besondere Weise angeordnet sind, z.B. in einer Reihe oder im Kreis. Ăblicherweise darf der Roboter entweder jede oder keine Station als Umladestation benutzen. Man spricht in diesen FĂ€llen von einem prĂ€emptiven bzw. nicht--prĂ€emptiven Transport. Wir werden diese Konzepte verallgemeinern, indem nur ein Teil der Stationen fĂŒr das Umladen benutzt werden darf. In Anlehnung an die beiden anderen Versionen soll diese Fragestellung semi--prĂ€emptiv heiĂen. Dabei differenzieren wir zwischen einer exogenen und einer endogenen Variante. In der ersten darf der Roboter nur an gekennzeichneten Stationen umladen. In der zweiten teilen wir ihm eine Zahl k mit, und es ist Teil der Aufgabenstellung zu entscheiden, an welchen k Stationen umgeladen wird. Wir zeigen, daĂ sowohl die exogene als auch die endogene Version auf einem Pfad und auf einem Kreis effizient lösbar ist und geben jeweils dynamische Lösungverfahren an. Beide Varianten sind auf BĂ€umen NP--vollstĂ€ndig. FĂŒr den exogenen Fall geben wir einen Approximationsalgorithmus mit einer GĂŒte von 4/3 an. FĂŒr die endogene Aufgabenstellung prĂ€sentieren wir eine (4/3+c)--Approximation fĂŒr beliebiges c > 0. SchlieĂlich nutzen ein bekanntes Resultat, um eine Approximation fĂŒr das exogene und endogene Transportproblem auf metrisch gewichteten Graphen angeben zu können. Aus der angewandten Problemstellung ergibt sich ein graphentheoretisches Teilproblem, das wir nĂ€her untersuchen. In einem gerichteten Graphen G=(V,E^r\dot\cup E^b) mit einer rot/blau--partitionierten Kantenmenge soll zu gegebener Kostenfunktion eine kostenminimale und aufspannende Arboreszenz bestimmt werden, die höchstens d blaue Kanten benutzt. Wir geben ein voll polynomielles Approximationsschema an. Dieses nutzen wir, um das endogene Transportproblem auf BĂ€umen zu approximieren
(Mathematisches) Modellieren als Axiomatisieren â eine ungewohnte Sichtweise?
Hans-JĂŒrgen Bandelt hat in Heft 99 der Mitteilungen der Gesellschaft fĂŒr Didaktik der Mathematik eine Diskussion ĂŒber didaktische Aspekte des Modellierens eröffnet, an die hier unter einem weiteren Gesichtspunkt angeknĂŒpft sei: Seit rund einem Vierteljahrhundert gibt es in der Didaktik der Mathematik zahlreiche BemĂŒhungen und VorschlĂ€ge dahingehend, wie man im Mathematikunterricht anstelle von Aufgaben, die de facto nur Scheinanwendungen zwecks Verpackung vorhandener Formeln oder Verfahren sind, alternativ im Sinne eines âRealitĂ€tsbezugsâ echte Anwendungen behandeln kann. Das fĂŒhrte bekanntlich zum Modellieren als didaktischem Konzept und fand auch bereits Eingang in LehrplĂ€ne, Richtlinien und SchulbĂŒcher
Integration von Messdaten in die Simulation zur multikriteriellen, zeiteffizienten versuchsbasierten Optimierung technischer Systeme = Integration of measurement data in the simulation for the multicriteria time-efficient testbased optimization of technical systems
This draft presents a part of the operation system, which combines simulationmodels and the testbased optimization. Thereby, test data are used to parameterise physical model structures. Afterwards these physical models are used for the optimization of the design parameters. The advantage of this approach is that also parameters, which can only be changed slowly during a test, can be optimized with the help of the simulation models
Ein Vorschlag zur GĂŒte
Replik des Autors auf eine Replik von Rudolf StrĂ€Ăer (Heft 99 der Mitteilungen) auf den Artikel "Die Ideologie der SelbstbeschrĂ€nkung in der Mathematikdidaktik" (Heft 96 der Mitteilungen)
Heuristische Methode fĂŒr die kombinierte Standort- und Tourenplanung fĂŒr die Entwicklung eines Biogaskonzeptes
FĂŒr die folgenden diskutierten Bereiche, d. h. Bioabfall aus Haushalten, Speisereste, Abfall aus der Lebensmittelindustrie sowie KlĂ€rschlamm, werden die Biomasseströme in einer Ăbersicht aufgezeigt. Diese Bilanzierung umfasst sowohl die Produkte als auch die Nebenprodukte, Reststoffe oder AbfĂ€lle mit dem Ziel, diejenigen Biomasseabfallströme im Gesamtzusammenhang zu identifizieren, die aus Sicht des Klimaschutzes und der Schonung fossiler und mineralischer Ressourcen als besonders relevant eingestuft werden können bzw. deren bisherige Nutzung oder Entsorgung noch Optimierungsmöglichkeiten erkennen lassen.
Die Relevanz ergibt sich demnach aus der Kombination von Masseanfall und Grad einer möglichen Optimierung. Ein Optimierungsansatz kann eine Beeinflussung des Biomassestoffstroms sein (Stoffstromlenkung oder zusĂ€tzlicher Nutzungsschritt) oder eine Optimierung auf Prozessebene bedeuten. Die als relevant erkannten Biomasseabfallströme werden einer vertiefenden Analyse unterzogen. Die erkannten OptimierungsansĂ€tze werden als Verwertungsoptionen quantitativ bilanziert und nach den verschiedenen Umweltwirkungskategorien bewertet. MaĂstab ist jeweils der aktuelle oder zukĂŒnftig zu erwartende nicht optimierte Umgang mit BiomasseabfĂ€llen. Die mit der Verwertung bzw. Entsorgung verbundenen Umweltlasten werden beachtet und in die Bilanzierung miteinbezogen, d. h., die Substitution von Energie oder Produkten, die konventionell unter Nutzung von PrimĂ€rrohstoffen erzeugt werden mĂŒssten. Eine Optimierung der Bewirtschaftung von BiomasseabfĂ€llen kann dabei sowohl eine bessere stoffliche als auch verstĂ€rkte energetische Nutzung bedeuten.
Optimal sind dabei Nutzungskaskaden im Sinne einer Kombination von energetischer und vorheriger stofflicher Nutzung oder umgekehrt. Die wertgebenden Eigenschaften der einzelnen Biomassen lassen sich hĂ€ufig nicht nur stofflich oder energetisch, sondern auch als eine Kombination aus beidem nutzen. So wird bspw. der Kohlenstoffgehalt einer Biomasse möglicherweise energetisch am Besten genutzt. Der ebenfalls wertgebende Gehalt an PflanzennĂ€hrstoffen sollte zusĂ€tzlich fĂŒr eine optimierte Bewirtschaftung nicht ungenutzt bleiben
Reconstruction of Weakly Simple Polygons from their Edges
Given n line segments in the plane, do they form the edge set of a weakly simple polygon; that is, can the segment endpoints be perturbed by at most epsilon, for any epsilon > 0, to obtain a simple polygon? While the analogous question for simple polygons can easily be answered in O(n log n) time, we show that it is NP-complete for weakly simple polygons. We give O(n)-time algorithms in two special cases: when all segments are collinear, or the segment endpoints are in general position. These results extend to the variant in which the segments are directed, and the counterclockwise traversal of a polygon should follow the orientation.
We study related problems for the case that the union of the n input segments is connected. (i) If each segment can be subdivided into several segments, find the minimum number of subdivision points to form a weakly simple polygon. (ii) If new line segments can be added, find the minimum total length of new segments that creates a weakly simple polygon. We give worst-case upper and lower bounds for both problems