An inner automorphism is only an inner automorphism, but an inner endomorphism can be something strange

The inner automorphisms of a group G can be characterized within the category of groups without reference to group elements: they are precisely those automorphisms of G that can be extended, in a functorial manner, to all groups H given with homomorphisms G --> H. Unlike the group of inner automorphisms of G itself, the group of such extended systems of automorphisms is always isomorphic to G. A similar characterization holds for inner automorphisms of an associative algebra R over a field K; here the group of functorial systems of automorphisms is isomorphic to the group of units of R modulo units of K. If one substitutes "endomorphism" for "automorphism" in these considerations, then in the group case, the only additional example is the trivial endomorphism; but in the K-algebra case, a construction unfamiliar to ring theorists, but known to functional analysts, also arises. Systems of endomorphisms with the same functoriality property are examined in some other categories; other uses of the phrase "inner endomorphism" in the literature, some overlapping the one introduced here, are noted; the concept of an inner {\em derivation} of an associative or Lie algebra is looked at from the same point of view, and the dual concept of a "co-inner" endomorphism is briefly examined. Several questions are posed.Comment: 20 pages. To appear, Publicacions Mathem\`{a}tiques. The 1-1-ness result in the appendix has been greatly strengthened, an "Overview" has been added at the beginning, and numerous small rewordings have been made throughou

Mathematical Logic and Its Applications 2020

The issue "Mathematical Logic and Its Applications 2020" contains articles related to the following three directions: Descriptive Set Theory (3 articles). Solutions for long-standing problems, including those of A. Tarski and H. Friedman, are presented. Exact combinatorial optimization algorithms, in which the complexity relative to the source data is characterized by a low, or even first degree, polynomial (1 article). III. Applications of mathematical logic and the theory of algorithms (2 articles). The first article deals with the Jacobian and M. Kontsevich’s conjectures, and algorithmic undecidability; for these purposes, non-standard analysis is used. The second article provides a quantitative description of the balance and adaptive resource of a human. Submissions are invited for the next issue "Mathematical Logic and Its Applications 2021

Tree-Structured Problems and Parallel Computation

Turing-Maschinen sind das klassische Beschreibungsmittel für Wortsprachen und werden daher auch benützt, um Komplexitätsklassen zu definieren. Dies geschieht zum Beispiel durch das Einschränken des Platz- oder Zeitaufwandes der Berechnung zur Lösung eines Problems. Für sehr niedrige Komplexität wie etwa sublineare Laufzeit, werden Schaltkreise verwendet. Schaltkreise können auf natürliche Art Komplexitäten wie etwa logarithmische Laufzeit modellieren. Ebenso können sie als eine Art paralleles Rechenmodell gesehen werden. Eine wichtige parallele Komplexitätsklasse ist NC1. Sie wird beschrieben durch Boolesche Schaltkreise logarithmischer Tiefe und beschränktem Eingangsgrad der Gatter. Eine initiale Beobachtung, die die vorliegende Arbeit motiviert, ist, dass viele schwere Probleme in NC1 eine ähnliche Struktur haben und auf ähnliche Art und Weise gelöst werden. Das Auswertungsproblem für Boolesche Formeln ist eines der repräsentativsten Probleme aus dieser Klasse: Gegeben ist hier eine aussagenlogische Formel samt Belegung für die Variablen; gefragt ist, ob sie zu wahr oder zu falsch auswertet. Dieses Problem wird in NC1 gelöst durch den Algorithmus von Buss. Auf ähnliche Art können arithmetische Formeln in #NC1 ausgewertet oder das Wortproblem für Visibly-Pushdown-Sprachen gelöst werden. Zu besagter Klasse an Problemen gehört auch Courcelles Theorem, welches Berechnungen in Baumautomaten involviert. Zu bemerken ist, dass alle angesprochenen Probleme gemeinsam haben, dass sie aus Instanzen bestehen, die baumartig sind. Formeln sind Bäume, Visibly-Pushdown-Sprachen enthalten als Wörter kodierte Bäume und Courcelles Theorem betrachtet Graphen mit beschränkter Baumweite, d.h. Graphen, die sich als Baum darstellen lassen. Insbesondere Letzteres ist ein Schema, das häufiger auftritt. Zum Beispiel gibt es NP-vollständige Graphprobleme wie das Finden von Hamilton-Kreisen, welches unter beschränkter Baumweite in P fällt. Neuere Analysen konnten diese Schranke weiter zu SAC1 verbessern, was eine parallele Komplexitätsklasse ist. Die angesprochenen Probleme kommen aus unterschiedlichen Bereichen und haben individuelle Lösungen. Hauptthese dieser Arbeit ist, dass sich diese Vielfalt vereinheitlichen lässt. Es wird ein generisches Lösungskonzept vorgestellt, welches darauf beruht, dass sich die Probleme auf ein Termevaluierungsproblem reduzieren lassen. Kernstück ist daher ein Termevaluierungsalgorithmus, der unabhängig von der Algebra, über welche der Term evaluiert werden soll, ist. Resultat ist, dass eine Vielzahl, darunter die oben angesprochenen Probleme, sich auf analoge Art lösen lassen, und dass sich ebenso leicht neue Resultate zeigen lassen. Diese Menge an Resultaten hätte sich ohne den vereinheitlichten Lösungsansatz nicht innerhalb des Rahmens einer Arbeit wie der vorliegenden zeigen lassen. Der entwickelte Lösungsansatz führt stets zu Schaltkreisfamilien polylogarithmischer Tiefe. Es wird jedoch auch die Frage behandelt, wie mächtig Schaltkreisfamilien konstanter Tiefe noch bezüglich Termevaluierung sind. Die Klasse AC0 ist hierfür ein natürlicher Kandidat; sie entspricht der Menge der Sprachen, die durch Logik erster Ordung beschreibbar sind. Um dieses Problem anzugehen, wird zunächst das Termevaluierungsproblem über endlichen Algebren betrachtet. Dieses wiederum lässt sich in das Wortproblem von Visibly-Pushdown-Sprachen einbetten. Daher handelt dieser Teil der Arbeit vornehmlich von der Beschreibbarkeit von Visibly-Pushdown-Sprachen in Logik erster Ordnung. Hierbei treten ungelöste Probleme zu Tage, welche ein Indiz dafür sind, wie schlecht die Komplexität konstanter Tiefe bisher noch verstanden ist, und das, trotz des Resultats von Furst, Saxe und Sipser, bzw. Håstads. Die bis jetzt beschrieben Inhalte sind Teil einer kontinuierlichen Entwicklung. Es gibt jedoch ein Thema in dieser Arbeit, das orthogonal dazu ist: Automaten und im speziellen Cost-Register-Automaten. Zum einen sind, wie oben angedeutet, Automaten Beispiele für Anwendungen des hier entwickelten generischen Lösungsansatzes. Zum anderen können sie selbst zur Beschreibung von Termevaluierungsproblemen dienen; so können Visibly-Pushdown-Automaten Termevaluierung über endlichen Algebren ausführen. Um über endliche Algebren hinauszugehen, benötigen die Automaten mehr Speicher. Visibly-Pushdown-Automaten haben einen Keller, der genau dafür geeignet ist, die Baumstruktur einer Eingabeformel zu verifizieren. Für nichtendliche Algebren eignet sich ein Modell, welches hier vorgestellt werden soll. Es kombiniert Visibly-Pushdown-Automaten mit Cost-Register-Automaten. Ein Cost-Register-Automat ist ein endlicher Automat, welcher mit zusätzlichen Registern ausgestattet ist. Die Register können Werte einer Algebra speichern und werden in jedem Schritt in Abhängigkeit des Eingabezeichens und des Zustandes aktualisiert. Dieser Einwegdatenfluss von Zuständen zu Registern sorgt dafür, dass dieses Modell nicht nur entscheidbar bleibt, sondern, in Abhängigkeit der Algebra, auch niedrige Komplexität hat. Das neue Modell der Cost-Register-Visibly-Pushdown-Automaten kann nun Terme evaluieren. Es werden grundlegende Eigenschaften gezeigt, einschließlich Komplexitätsaussagen

Motivic Poisson summation

We develop a "motivic integration" version of the Poisson summation formula for function fields, with values in the Grothendieck ring of definable exponential sums. We also study division algebras over the function field, and obtain relations among the motivic Fourier transforms of a test function at different completions. We use these to prove, in a special case, a motivic version of a theorem of Deligne-Kazhdan-Vigneras.Comment: 46p

Constructible motivic functions and motivic integration

We introduce a direct image formalism for constructible motivic functions. One deduces a very general version of motivic integration for which a change of variables theorem is proved. These constructions are generalized to the relative framework, in which we develop a relative version of motivic integration. These results have been announced in math.AG/0403349 and math.AG/0403350. Main results and statements unchanged. Many minor slips corrected and some details added.Comment: Final versio

Logic and Automata

Mathematical logic and automata theory are two scientific disciplines with a fundamentally close relationship. The authors of Logic and Automata take the occasion of the sixtieth birthday of Wolfgang Thomas to present a tour d'horizon of automata theory and logic. The twenty papers in this volume cover many different facets of logic and automata theory, emphasizing the connections to other disciplines such as games, algorithms, and semigroup theory, as well as discussing current challenges in the field

Proceedings of the 1st International Conference on Algebras, Graphs and Ordered Sets (ALGOS 2020)

International audienceOriginating in arithmetics and logic, the theory of ordered sets is now a field of combinatorics that is intimately linked to graph theory, universal algebra and multiple-valued logic, and that has a wide range of classical applications such as formal calculus, classification, decision aid and social choice.This international conference “Algebras, graphs and ordered set” (ALGOS) brings together specialists in the theory of graphs, relational structures and ordered sets, topics that are omnipresent in artificial intelligence and in knowledge discovery, and with concrete applications in biomedical sciences, security, social networks and e-learning systems. One of the goals of this event is to provide a common ground for mathematicians and computer scientists to meet, to present their latest results, and to discuss original applications in related scientific fields. On this basis, we hope for fruitful exchanges that can motivate multidisciplinary projects.The first edition of ALgebras, Graphs and Ordered Sets (ALGOS 2020) has a particular motivation, namely, an opportunity to honour Maurice Pouzet on his 75th birthday! For this reason, we have particularly welcomed submissions in areas related to Maurice’s many scientific interests:• Lattices and ordered sets• Combinatorics and graph theory• Set theory and theory of relations• Universal algebra and multiple valued logic• Applications: formal calculus, knowledge discovery, biomedical sciences, decision aid and social choice, security, social networks, web semantics..