Combinatoire Elliptique et Marches dans des Cônes

J'expose dans ce document de synthèse mes travaux postérieurs au doctorat.Deux grands thèmes prédominent dans ces travaux. Le premier concerne les processus aléatoires (à la fois marches aléatoires et mouvement Brownien) dans des cônes, sous des aspects différents et complémentaires. Les processus dans des cônes forment en effet une classe singulière d'objets, de par leur large applicabilité en théorie des probabilités (marches aléatoires non collisionnantes, marches aléatoires dans des chambres de Weyl, valeurs propres de matrices aléatoires, processus de Galton-Watson multitype, etc.) et en dehors (combinatoire, théorie des représentations, finance, biologie des populations). On retrouvera d'ailleurs ce caractère transverse dans les méthodes utilisées. Le deuxième grand thème est issu de la mécanique statistique 2-dimensionnelle, et concerne des modèles intégrables (modèles de dimères, modèle d'Ising ou encore arbres et forêts couvrants). Ils appartiennent à la classe des modèles dits exactement solubles, ouvrant ainsi la voie à des formules exactes remarquables. Les fonctions spéciales --- en particulier les fonctions elliptiques --- joueront tout au long du manuscrit un rôle de premier plan.Le Chapitre 1 est préliminaire aux Chapitres 2-7. Nous y présentons les modèles combinatoire et probabiliste des marches à petits pas dans un quart de plan, et rappelons certaines des propriétés clé des fonctions elliptiques.Dans le Chapitre 2 intitulé "Fonctions elliptiques et expressions explicites", nous formulons notre apport au modèle combinatoire des marches dans le quart de plan par le biais de la théorie des fonctions elliptiques. Nous obtenons une formule unifiée (c'est-à-dire, pour tous les ensembles de sauts) pour la série génératrice de comptage. Appliquée au modèle de Gessel, elle fournit la première preuve humaine de la conjecture de Gessel.Dans le Chapitre 3 nous nous intéressons au problème de la nature des séries génératrices de comptage: peut-on classifier les modèles selon la classe de leur série génératrice, au regard des catégories algébriques, D-finies, non D-finies, et dans ce dernier cas éventuellement différentiellement algébriques ?Le Chapitre 4 se propose d'étudier deux extensions naturelles du modèle des marches à petits pas dans le quart de plan: les sauts d'amplitude arbitrairement grande et les marches spatialement inhomogènes. Le Chapitre 5 porte sur les temps de sortie de cônes de processus aléatoires (marches aléatoires et mouvement Brownien). Nous les aborderons de multiples façons, par des approches analytique et probabiliste; nous ferons aussi un détour par l'établissement d'estimées fines dans la théorie des fluctuations de marches aléatoires en dimension 1.C'est le concept des fonctions discrètes harmoniques qui est abordé dans le Chapitre 6. Nous obtenons à la fois des résultats quantitatifs (unicité de la fonction harmonique si le drift est nul, à titre d'exemple) et qualitatifs (expressions explicites). Par ailleurs notre méthode permet de mettre en exergue des liens entre la série génératrice des fonctions harmoniques, certaines représentations conformes et la notion d'invariants de Tutte.Le Chapitre 7 est indépendant des Chapitres 2-6, à cela près qu'on y utilise tout autant les fonctions elliptiques. Nous introduisons une famille à un paramètre (dépendant du module elliptique) de Laplaciens massiques Z-invariants définis sur les graphes isoradiaux. Nous démontrons une formule explicite pour leur inverse, la fonction de Green massique, qui a la propriété remarquable de ne dépendre que de la géométrie locale du graphe. Nous expliquons les conséquences de ce résultat pour le modèle de mécanique statistique des forêts couvrantes enracinées, en particulier la preuve d'une transition de phase d'ordre 2 avec le modèle des arbres couvrants critiques sur les graphes isoradiaux.Nous commençons chaque chapitre par un encadré bleu présentant les publications qu'il résume, et parsemons le document d'encadrés verts, pour autant de projets futurs

Modèles asymptotiques et simulation numérique pour la diffraction d'ondes par des petites hétérogénéités

This work is dedicated to the study of the diffraction of acoustic waves by a set of small inclusions, as well as to the development of numerical methods for the simulation of such phenomenons. The main novelty of this work is that we deal with time-domain waves.The first part of this manuscript deals with the asymptotic analysis of the diffraction problem, which is carried out by matched asymptotics, the small parameter being the characteristic size of the defects ε. This furnishes an asymptotic expansion of the acoustic field as a perturbation of the defect-free problem. We prove a consistency result between the total field and its ε-asymptotic expansion.In the second part, using the results of the asymptotic analysis, we introduce two approximate models for the diffraction problem. These models are well-posed and their solution are precise approximations of the total acoustic field. One of the main features of these approximate models is that they both lie on a wave equation in the surrounding medium (without defects), coupled to auxiliary source terms which account for the presence of the inclusions. It is then possible to discretize these approximate models using a finite element method, leading to a numerical method which performs as fast as in the defect-free case, since the underlying wave operator is independent of the defects. We present several numerical results which validate both approximate models as well as some insights about numerical error analysis.Cette thèse est consacrée à l'étude du problème de la diffraction d'une onde acoustique par un ensemble de petites hétérogénéités pénétrables ainsi qu'au développement de méthodes de simulation numérique dédiées à la résolution efficace de ce type de problèmes. La principale nouveauté de ces travaux provient du fait que nous traitons ce problème dans le domaine temporel.La première partie de ce manuscrit est consacrée à l'analyse asymptotique du problème de diffraction, menée à bien grâce à la méthode des développements asymptotiques raccordés, le petit paramètre étant la taille caractéristique des défauts ε. Ceci nous permet d'obtenir un développement du champ acoustique comme perturbation du problème sans défauts. Nous prouvons un résultat de consistance entre le champ exact et son développement asymptotique en ε.Dans la seconde partie, en s'appuyant sur les résultats de l'analyse asymptotique, nous proposons deux modèles approchés pour le problème de diffraction. Ces deux modèles sont bien-posés et leur solution sont chacune des approximations précises du champ total. La principale caractéristique de ces modèles approchés est qu'ils s'appuient tous deux sur une équation d'onde dans le milieu ambiant (sans défauts), couplée à des termes sources auxiliaires permettant de rendre compte de la présence des défauts. Il est ainsi envisageable, pour traiter ces problèmes approchés, d'utiliser une méthode de discrétisation par éléments finis présentant des performances de temps de calcul similaires au cas de la propagation d'une onde dans l'espace libre, puisque l'opérateur des ondes sous-jacent s'appuie sur une géométrie indépendante des petits défauts. Nous présentons un certain nombre de résultats numériques permettant de valider les deux modèles proposés ainsi qu'une analyse d'erreur numérique

Noncommutative symbolic computation : analysis of search trees constants

L'étude de certaines variables aléatoires, comme l'arité de la racine d'un arbre hyperquatemaire de points, ou des paramètres additifs sur ces mêmes arbres, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices s. Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous troquons l'utilisation des multi-indices contre un codage par des mots, et nous appuyons alors sur des résultats importants dans le domaine de la combinatoire des mots, comme l'existence d'une base pour les algèbres de mélange, que nous appliquons à des fonctions spéciales, les polylogarithmes - qui vérifient une relation de mélange pour le produit classique shuffle - et à nos suites spéciales de SHM - qui vérifient une relation de mélange pour un autre produit, le stuffle -. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infmi) vers la même limite, nommé polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir, par des techniques "à la Hopf" un théorème "à l'Abel", faisant apparaître comme limite commune la série génératrice des polyzêtas convergents. Ce théorème nous permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes, autrement dit les constantes intervenant dans le développement asymptotique de ces sommes dans l'échelle de Bertrand, et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer ce développement. Cet algorithme est comparé à deux autres approches : la première fondée sur le développement singulier de la série génératrice des SHM (qui est en fait une fonction polylogarithmique) au voisinage de z=1 ; la seconde construite sur l'isomorphisme entre l'algèbre des SHM et l'algèbre de mélange pour le produit stuffle, qui permet de ramener des problèmes sur ces sommes à des problèmes sur les mots. Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement.After having recalled sorne important results about combinatoric on words, as the existence of a basis for shuftle algebras, constituted by Lyndon words, we apply them to special functions, the polylogarithms Lilz) and to special series, multiple harmonic sums Hln), indexed by a multi-index ~. ln the good cases (i.e. convergent cases) both objects converge to the same limit, called polyzêta. For the divergent cases, the use of noncommutative generating series enables us to establish, by techniques "à la Hopf', a theorem "à l'Abel", which gives rise to the generating series of convergent polyzêtas. This theorem enables us to give an explicit form for generalized Euler constants associated to divergent harmonic SUffiS, and so to get a very efficient algorithm to compute the asymptotic expansion of any multiple harmonic sum (either convergent or divergent) in the neighbourhood of infmity. This algorithm is compared with other approaches : the flfSt one built on the singular expansion around 1 of the (commutative) generating series of multiple harmonie sums {H~(n), n~O}, the other one built on Euler-MacLaurin summation formula and Radford theorem. Finally, we give applications of harmonic sums in the field of multidimensional data structures, point quadtrees, for which our symbolic approach gives rise to exact computations, which can then be easily asymptotically evaluated

Calcul symbolique non commutatif (analyse des constantes d'arbre de fouille)

L'étude de certaines variables aléatoires, comme l'arité de la racine d'un arbre hyperquatemaire de points, ou des paramètres additifs sur ces mêmes arbres, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices s. Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous troquons l'utilisation des multi-indices contre un codage par des mots, et nous appuyons alors sur des résultats importants dans le domaine de la combinatoire des mots, comme l'existence d'une base pour les algèbres de mélange, que nous appliquons à des fonctions spéciales, les polylogarithmes - qui vérifient une relation de mélange pour le produit classique shuffle - et à nos suites spéciales de SHM - qui vérifient une relation de mélange pour un autre produit, le stuffle -. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infmi) vers la même limite, nommé polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir, par des techniques "à la Hopf" un théorème "à l'Abel", faisant apparaître comme limite commune la série génératrice des polyzêtas convergents. Ce théorème nous permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes, autrement dit les constantes intervenant dans le développement asymptotique de ces sommes dans l'échelle de Bertrand, et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer ce développement. Cet algorithme est comparé à deux autres approches : la première fondée sur le développement singulier de la série génératrice des SHM (qui est en fait une fonction polylogarithmique) au voisinage de z=1 ; la seconde construite sur l'isomorphisme entre l'algèbre des SHM et l'algèbre de mélange pour le produit stuffle, qui permet de ramener des problèmes sur ces sommes à des problèmes sur les mots. Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement.After having recalled sorne important results about combinatoric on words, as the existence of a basis for shuftle algebras, constituted by Lyndon words, we apply them to special functions, the polylogarithms Lilz) and to special series, multiple harmonic sums Hln), indexed by a multi-index ~. ln the good cases (i.e. convergent cases) both objects converge to the same limit, called polyzêta. For the divergent cases, the use of noncommutative generating series enables us to establish, by techniques "à la Hopf', a theorem "à l'Abel", which gives rise to the generating series of convergent polyzêtas. This theorem enables us to give an explicit form for generalized Euler constants associated to divergent harmonic SUffiS, and so to get a very efficient algorithm to compute the asymptotic expansion of any multiple harmonic sum (either convergent or divergent) in the neighbourhood of infmity. This algorithm is compared with other approaches : the flfSt one built on the singular expansion around 1 of the (commutative) generating series of multiple harmonie sums {H~(n), n~O}, the other one built on Euler-MacLaurin summation formula and Radford theorem. Finally, we give applications of harmonic sums in the field of multidimensional data structures, point quadtrees, for which our symbolic approach gives rise to exact computations, which can then be easily asymptotically evaluated.LILLE1-Bib. Electronique (590099901) / SudocSudocFranceF

Variance for the Number of Maxima in Hypercubes and Generalized Euler’s γ constants

Abstract. In this work, we obtain some results à l’Abel dealing with noncommutative generating series of polylogarithms and multiple harmonic sums, by using techniques la Hopf. In particular, this enables to explicit generalized Euler constants associated to divergent polyzêtas. As application, we present a combinatorial approach of the variance for the number of maxima in hypercubes. This leads to an explicit expression, in terms of convergent polyzêtas, of the dominant term in the asymptotic expansion of this variance. Moreover, we get an algorithm to compute this expansion, and show that all coefficients occuring belong to the Q-algebra generated convergent polyzêtas and by Euler’s γ constant. Dans ce travail, nous obtenons des résultats à l’Abel concernant les séries génératrices non commutatives de polylogarithmes et sommes harmoniques multiples, en utilisant des techniques à la Hopf. En particulier, ceci nous permet d’expliciter les constantes d’Euler généralisées associées à des polyzêtas divergents. Comme application, nous présentons une approche combinatoire de la variance du nombre de maxima dans un hypercube. Celle-ci amène à une expression explicite, en termes de polyzêtas, du terme dominant du développement asymptotique de cette variance. De plus, nous obtenons un algorithme pour calculer ce développement, et montrons que tous les coefficients intervenant appartiennent la Q-algèbre engendré par les polyzêtas convergents et par la constante d’Euler γ. 1