New Approximability Results for Two-Dimensional Bin Packing

We study the two-dimensional bin packing problem: Given a list of n rectangles the objective is to find a feasible, i.e. axis-parallel and non-overlapping, packing of all rectangles into the minimum number of unit sized squares, also called bins. Our problem consists of two versions; in the first version it is not allowed to rotate the rectangles while in the other it is allowed to rotate the rectangles by 90∘, i.e. to exchange the widths and the heights. Two-dimensional bin packing is a generalization of its one-dimensional counterpart and is therefore strongly NP-hard. Furthermore Bansal et al. showed that even an APTAS is ruled out for this problem, unless P=NP. This lower bound of asymptotic approximability was improved by Chlebik and Chlebikova to values 1+1/3792 and 1+1/2196 for the version with and without rotations, respectively. On the positive side there is an asymptotic 1.69.. approximation by Caprara without rotations and an asymptotic 1.52... approximation by Bansal et al.for both versions. We give a new asymptotic upper bound for both versions of our problem: For any fixed ε and any instance that fits optimally into OPT bins, our algorithm computes a packing into (3/2+ε)⋅OPT+69 bins in the version without rotations and (3/2+ε)⋅OPT+39 bins in the version with rotations. The algorithm has polynomial running time in the input length. In our new technique we consider an optimal packing of the rectangles into the bins. We cut a small vertical or horizontal strip out of each bin and move the intersecting rectangles into additional bins. This enables us to either round the widths of all wide rectangles, or the heights of all long rectangles in this bin. After this step we round the other unrounded side of these rectangles and we achieve a solution with a simple structure and only few types of rectangles. Our algorithm initially rounds the instance and computes a solution that nearly matches the modified optimal solution

Algorithmen für Packprobleme

Packing problems belong to the most frequently studied problems in combinatorial optimization. Mainly, the task is to pack a set of small objects into a large container. These kinds of problems, though easy to state, are usually hard to solve. An additional challenge arises, if the set of objects is not completely known beforehand, meaning that an object has to be packed before the next one becomes available. These problems are called online problems. If the set of objects is completely known, they are called offline problems. In this work, we study two online and one offline packing problem. We present algorithms that either compute an optimal or a provably good solution: Maintaining Arrays of Contiguous Objects. The problem of maintaining a set of contiguous objects (blocks) inside an array is closely related to storage allocation. Blocks are inserted into the array, stay there for some (unknown) duration, and are then removed from the array. After inserting a block, the next block becomes available. Blocks can be moved inside the array to create free space for further insertions. Our goals are to minimize the time until the last block is removed from the array (the makespan) and the costs for the block moves. We present inapproximability results, an algorithm that achieves an optimal makespan, an algorithm that uses only O(1) block moves per insertion and deletion, and provide computational experiments. Online Square Packing. In the classical online strip packing problem, one has to find a non-overlapping placement for a set of objects (squares in our setting) inside a semi-infinite strip, minimizing the height of the occupied area. We study this problem under two additional constraints: Each square has to be packed on top of another square or on the bottom of the strip. Moreover, there has to be a collision-free path from the top of the strip to the square's final position. We present two algorithms that achieve asymptotic competitive factors of 3.5 and 2.6154, respectively. Point Sets with Minimum Average Distance. A grid point is a point in the plane with integer coordinates. We present an algorithm that selects a set of grid points (town) such that the average L1 distance between all pairs of points is minimized. Moreover, we consider the problem of choosing point sets (cities) inside a given square such that-again-the interior distances are minimized. We present a 5.3827-approximation algorithm for this problem.Packprobleme gehören zu den am häufigsten untersuchten Problemen in der kombinatorischen Optimierung. Grundsätzlich besteht die Aufgabe darin, eine Menge von kleinen Objekten in einen größeren Container zu packen. Probleme dieser Art können meistens nur mit hohem Aufwand gelöst werden. Zusätzliche Schwierigkeiten treten auf, wenn die Menge der zu packenden Objekte zu Beginn nicht vollständig bekannt ist, d.h. dass das nächste Objekt erst verfügbar wird, wenn das vorherige gepackt ist. Solche Probleme werden online Probleme genannt. Wenn alle Objekte bekannt sind, spricht man von einem offline Problem. In dieser Arbeit stellen wir zwei online Packprobleme und ein offline Packproblem vor und entwickeln Algorithmen, die die Probleme entweder optimal oder aber mit einer beweisbaren Güte lösen: Verwaltung von kontinuierlichen Objekten. Das Problem eine Menge von kontinuierlichen Objekten (Blöcke) in einem Array möglichst gut zu verwalten, ist eng verwandt mit Problemen der Speicherverwaltung. Blöcke werden in einen kontinuierlichen Bereich des Arrays eingefügt und nach einer (unbekannten) Dauer wieder entfernt. Dabei ist immer nur der nächste einzufügende Block bekannt. Um Freiraum für weitere Blöcke zu schaffen, dürfen Blöcke innerhalb des Arrays verschoben werden. Ziel ist es, die Zeit bis der letzte Block entfernt wird (Makespan) und die Kosten für die Verschiebe-Operationen zu minimieren. Wir geben eine komplexitätstheoretische Einordnung dieses Problems, stellen einen Algorithmus vor, der einen optimalen Makespan bestimmt, einen der O(1) Verschiebe-Operationen benötigt und evaluieren verschiedene Algorithmen experimentell. Online-Strip-Packing. Im klassischen Online-Strip-Packing-Problem wird eine Menge von Objekten (hier: Quadrate) in einen Streifen (unendlicher Höhe) platziert, so dass die Höhe der benutzten Fläche möglichst gering ist. Wir betrachten einen Spezialfall, bei dem zwei zusätzliche Bedingungen gelten: Quadrate müssen auf anderen Quadraten oder auf dem Boden des Streifens platziert werden und die endgültige Position muss auf einem kollisionfreien Weg erreichbar sein. Es werden zwei Algorithmen mit Güten von 3,5 bzw. 2,6154 vorgestellt. Punktmengen mit minimalem Durchschnittsabstand. Ein Gitterpunkt ist ein Punkt in der Ebene mit ganzzahligen Koordinaten. Wir stellen einen Algorithmus vor, der eine Anzahl von Punkten aus der Menge aller Gitterpunkte auswählt, so dass deren durchschnittlicher L1-Abstand minimal ist. Außerdem betrachten wir das Problem, mehrere Punktmengen mit minimalem Durchschnittsabstand innerhalb eines gegebenen Quadrates auszuwählen. Wir stellen einen 5,3827-Approximationsalgorithmus für dieses Problem vor

Approximative Algorithmen für geometrische Packungsprobleme

In this thesis we present approximation algorithms for two-dimensional, geometric packing problems. We have given a set of rectangles that have to be placed in one or several predetermined target regions. Such packing problems can be found in several branches of industry, for example when placing logic elements on a chip, or when cutting stock. We consider three problems in detail. First, the so-called two-dimensional strip packing problem consists of a set of rectangles and a strip of width 1 and infinite height. The objective is to find an axis-parallel and non-overlapping arrangement of the rectangles in this strip in order to minimize the total packing height. Furthermore, it is not allowed to rotate the rectangles. For any eps>0, we present an approximation algorithm with an absolute approximation ratio of 5/3+\eps for this problem. The second problem that we study is the two-dimensional bin packing problem. For this problem a set of rectangles is given as input again. The objective is to find an axis-parallel and non-overlapping packing of all rectangles into the minimum number of unit-sized squares, which are also called bins. We consider two versions of this problem. In the first version, we are allowed to rotate the rectangles by 90°, i.e. to exchange the widths and the heights of the rectangles. In the second version it is not allowed to rotate the rectangles at all. For both versions, our result is an approximation algorithm with an asymptotic approximation ratio of 3/2+eps for an arbitrary value eps>0. For the third problem, we have given a set of rectangles of heights 1 and arbitrary widths and a strip of a given integral height and infinite width. The objective is to find an axis-parallel and non-overlapping packing of the rectangles into the strip so that the maximum packing width is minimized. In this setting, it is not allowed to rotate the rectangles. This problem is also known as scheduling problem, with machines representing the strip and jobs representing the rectangles. The definition is as follows: Given a set of jobs with certain processing times and a set of identical machines. The objective is to schedule the jobs on the machines in order to minimize the makespan, i.e. the total length of the schedule. We consider a version of this problem in which the first jobs are already assigned to machines and starting times. We give an approximation algorithm with an absolute approximation ratio of 3/2 for this problem.In dieser Arbeit stellen wir approximative Algorithmen für zwei-dimensionale, geometrische Packungsprobleme vor. Hierbei haben wir eine Menge von Rechtecken gegeben, die in einem oder mehreren bestimmten Zielbereichen angeordnet werden sollen. Solche Packungsprobleme finden in mehreren industriellen Bereichen Anwendung, so zum Beispiel bei der Anordnung von Schaltelementen auf einem Computerchip oder bei Zuschnittproblemen. Wir betrachten drei Probleme im Detail. Das sogenannte zwei-dimensionale Strip Packing Problem hat als Eingabe eine Menge von Rechtecken und einen Streifen der Breite 1 und unendlicher Höhe. Das Ziel ist es eine Anordnung der Rechtecke in diesem Streifen zu finden, so dass die Packungshöhe minimiert wird. Dabei müssen die Rechtecke achsenparallel angeordnet werden und dürfen sich nicht überschneiden. Auch eine Rotation der Rechtecke ist nicht erlaubt. Wir präsentieren für dieses Problem einen approximativen Algorithmus mit einer absoluten Güte von 5/3+eps, für ein beliebiges eps>0. Das zweite Problem, das wir untersuchen, ist das zwei-dimensionale Bin Packing Problem. Bei diesem Problem haben wir ebenfalls eine Menge von Rechtecken gegeben. Das Ziel ist es alle Rechtecke in die kleinstmögliche Anzahl von Quadraten, auch Bins genannt, mit einheitlicher Seitenlänge zu packen. Auch hier ist gefordert, dass die Rechtecke sich nicht überschneiden und achsenparallel angeordnet werden. Wir betrachten hier zwei Varianten des Problems. In der ersten Variante sind Rotationen um 90° erlaubt, d.h. wir können die Breite mit der Höhe eines Rechteckes vertauschen. Bei der anderen Variante sind Rotationen der Rechtecke nicht erlaubt. Für beide Varianten dieses Problems geben wir einen approximativen Algorithmus an mit einer asymptotische Güte von 3/2+eps, wobei eps>0 eine beliebige Zahl ist. Bei dem dritten Problem ist eine Menge von Rechtecken mit einheitlicher Höhe und beliebiger Breite und ein Streifen einer gegebenen ganzzahligen Höhe und unendlicher Breite gegeben. Das Ziel ist es, eine achsenparallele, sich nicht überschneidende Packung der Rechtecke zu finden, so dass die maximale Packungsbreite minimiert wird. Eine Rotation der Rechtecke ist bei diesem Problem nicht erlaubt. Dieses Problem ist auch als Scheduling Problem bekannt, wobei der Streifen von Maschinen repräsentiert wird und die Rechtecke von Aufträgen. Die Problemdefinition ist wie folgt: Gegeben ist eine Menge von Aufträgen, die eine bestimmte Ausführungszeit haben und eine Menge von identischen Maschinen. Das Ziel ist es, die Aufträge auf die Maschinen zu verteilen, so dass die gesamte Ausführungszeit minimiert wird. Wir betrachten eine Variante dieses Problems, bei dem die ersten Aufträge bereits auf bestimmten Maschinen zu bestimmten Zeiten vorplatziert sind. Wir geben für dieses Problem einen approximativen Algorithmus mit einer absoluten Güte von 3/2 an

UNOmaha Problem of the Week (2021-2022 Edition)

The University of Omaha math department\u27s Problem of the Week was taken over in Fall 2019 from faculty by the authors. The structure: each semester (Fall and Spring), three problems are given per week for twelve weeks, with each problem worth ten points - mimicking the structure of arguably the most well-regarded university math competition around, the Putnam Competition, with prizes awarded to top-scorers at semester\u27s end. The weekly competition was halted midway through Spring 2020 due to COVID-19, but relaunched again in Fall 2021, with massive changes. Now there are three difficulty tiers to POW problems, roughly corresponding to easy/medium/hard difficulties, with each tier getting twelve problems per semester, and three problems (one of each tier) per week posted online and around campus. The tiers are named after the EPH classification of conic sections (which is connected to many other classifications in math), and in the present compilation they abide by the following color-coding: Cyan, Green, and Magenta. In practice, when creating the problem sets, we begin with a large enough pool of problem drafts and separate out the ones which are most obviously elliptic or hyperbolic, and then the remaining ones fall into parabolic. The tiers don\u27t necessarily reflect workload, though, only prerequisite mathematical background. Ideally, the solutions to elliptic problems, and any parts of solutions to parabolic and hyperbolic problems not covered in standard undergraduate courses, are meant to test participants\u27 creativity. Beware, though, many solutions also include additional commentary which varies wildly in the reader\u27s assumed mathematical maturity

Exact Approaches for Higher-Dimensional Orthogonal Packing and Related Problems

NP-hard problems of higher-dimensional orthogonal packing are considered. We look closer at their logical structure and show that they can be decomposed into problems of a smaller dimension with a special contiguous structure. This decomposition influences the modeling of the packing process, which results in three new solution approaches. Keeping this decomposition in mind, we model the smaller-dimensional problems in a single position-indexed formulation with non-overlapping inequalities serving as binding constraints. Thus, we come up with a new integer linear programming model, which we subject to polyhedral analysis. Furthermore, we establish general non-overlapping and density inequalities and prove under appropriate assumptions their facet-defining property for the convex hull of the integer solutions. Based on the proposed model and the strong inequalities, we develop a new branch-and-cut algorithm. Being a relaxation of the higher-dimensional problem, each of the smaller-dimensional problems is also relevant for different areas, e.g. for scheduling. To tackle any of these smaller-dimensional problems, we use a Gilmore-Gomory model, which is a Dantzig-Wolfe decomposition of the position-indexed formulation. In order to obtain a contiguous structure for the optimal solution, its basis matrix must have a consecutive 1's property. For construction of such matrices, we develop new branch-and-price algorithms which are distinguished by various strategies for the enumeration of partial solutions. We also prove some characteristics of partial solutions, which tighten the slave problem of column generation. For a nonlinear modeling of the higher-dimensional packing problems, we investigate state-of-the-art constraint programming approaches, modify them, and propose new dichotomy and intersection branching strategies. To tighten the constraint propagation, we introduce new pruning rules. For that, we apply 1D relaxation with intervals and forbidden pairs, an advanced bar relaxation, 2D slice relaxation, and 1D slice-bar relaxation with forbidden pairs. The new rules are based on the relaxation by the smaller-dimensional problems which, in turn, are replaced by a linear programming relaxation of the Gilmore-Gomory model. We conclude with a discussion of implementation issues and numerical studies of all proposed approaches.Es werden NP-schwere höherdimensionale orthogonale Packungsprobleme betrachtet. Wir untersuchen ihre logische Struktur genauer und zeigen, dass sie sich in Probleme kleinerer Dimension mit einer speziellen Nachbarschaftsstruktur zerlegen lassen. Dies beeinflusst die Modellierung des Packungsprozesses, die ihreseits zu drei neuen Lösungsansätzen führt. Unter Beachtung dieser Zerlegung modellieren wir die Probleme kleinerer Dimension in einer einzigen positionsindizierten Formulierung mit Nichtüberlappungsungleichungen, die als Bindungsbedingungen dienen. Damit entwickeln wir ein neues Modell der ganzzahligen linearen Optimierung und unterziehen dies einer Polyederanalyse. Weiterhin geben wir allgemeine Nichtüberlappungs- und Dichtheitsungleichungen an und beweisen unter geeigneten Annahmen ihre facettendefinierende Eigenschaft für die konvexe Hülle der ganzzahligen Lösungen. Basierend auf dem vorgeschlagenen Modell und den starken Ungleichungen entwickeln wir einen neuen Branch-and-Cut-Algorithmus. Jedes Problem kleinerer Dimension ist eine Relaxation des höherdimensionalen Problems. Darüber hinaus besitzt es Anwendungen in verschiedenen Bereichen, wie zum Beispiel im Scheduling. Für die Behandlung der Probleme kleinerer Dimension setzen wir das Gilmore-Gomory-Modell ein, das eine Dantzig-Wolfe-Dekomposition der positionsindizierten Formulierung ist. Um eine Nachbarschaftsstruktur zu erhalten, muss die Basismatrix der optimalen Lösung die consecutive-1’s-Eigenschaft erfüllen. Für die Konstruktion solcher Matrizen entwickeln wir neue Branch-and-Price-Algorithmen, die sich durch Strategien zur Enumeration von partiellen Lösungen unterscheiden. Wir beweisen auch einige Charakteristiken von partiellen Lösungen, die das Hilfsproblem der Spaltengenerierung verschärfen. Für die nichtlineare Modellierung der höherdimensionalen Packungsprobleme untersuchen wir moderne Ansätze des Constraint Programming, modifizieren diese und schlagen neue Dichotomie- und Überschneidungsstrategien für die Verzweigung vor. Für die Verstärkung der Constraint Propagation stellen wir neue Ablehnungskriterien vor. Wir nutzen dabei 1D Relaxationen mit Intervallen und verbotenen Paaren, erweiterte Streifen-Relaxation, 2D Scheiben-Relaxation und 1D Scheiben-Streifen-Relaxation mit verbotenen Paaren. Alle vorgestellten Kriterien basieren auf Relaxationen durch Probleme kleinerer Dimension, die wir weiter durch die LP-Relaxation des Gilmore-Gomory-Modells abschwächen. Wir schließen mit Umsetzungsfragen und numerischen Experimenten aller vorgeschlagenen Ansätze

LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023, Complete Volume

LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023, Complete Volum

The engineering design integration (EDIN) system

A digital computer program complex for the evaluation of aerospace vehicle preliminary designs is described. The system consists of a Univac 1100 series computer and peripherals using the Exec 8 operating system, a set of demand access terminals of the alphanumeric and graphics types, and a library of independent computer programs. Modification of the partial run streams, data base maintenance and construction, and control of program sequencing are provided by a data manipulation program called the DLG processor. The executive control of library program execution is performed by the Univac Exec 8 operating system through a user established run stream. A combination of demand and batch operations is employed in the evaluation of preliminary designs. Applications accomplished with the EDIN system are described

A gallery for mathematics

Thesis (M. Arch.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Architecture, 2005.Includes bibliographical references (p. 68).The Gallery for Mathematics seeks to interpret and communicate the character and culture of mathematics through the lens of architectural tectonic. The form and program of the Gallery are driven by three goals for the architectural experience and mathematical journey: [movement], [interaction], and [solitude]. By redesigning the traditional museum experience, the Gallery aims not to simply inform its visitors, but instead to incite their curiosity, producing spaces of inquiry rather than spaces of information. Sited on top of the parking garage for Boston's Museum of Science, the Gallery and its garden also serve to reconnect the Boston and Cambridge park systems on opposite banks of the Charles River, embedding theby Molly S. Forr.M.Arch