388 research outputs found

    LIPIcs, Volume 251, ITCS 2023, Complete Volume

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    LIPIcs, Volume 251, ITCS 2023, Complete Volum

    Variational Analysis of Kurdyka-{\L}ojasiewicz Property, Exponent and Modulus

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    The Kurdyka-{\L}ojasiewicz (K{\L}) property, exponent and modulus have played a very important role in the study of global convergence and rate of convergence for optimal algorithms. In this paper, at a stationary point of a locally lower semicontinuous function, we obtain complete characterizations of the K{\L} property and the K{\L} modulus via the outer limiting subdifferential of an auxilliary function and a newly-introduced subderivative function respectively. In particular, for a class of prox-regular, twice epi-differentiable and subdifferentially continuous functions, we show that the K{\L} property and the K{\L} modulus can be described by its Moreau envelopes and a quadratic growth condition. We apply the obtained results to establish the K{\L} property with exponent 12\frac12 and to provide calculation of the modulus for a smooth function, the pointwise maximum of finitely many smooth functions and regularized functions respectively. These functions often appear in the modelling of structured optimization problems.Comment: 28 page

    Data-driven exact model order reduction for computational multiscale methods to predict high-cycle fatigue-damage in short-fiber reinforced plastics

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    Motiviert durch die Entwicklung energieeffizienterer Maschinen und Transportmittel hat der Leichtbau in den letzten Jahren enorm an Wichtigkeit gewonnen. Eine wichtige Klasse der Leichtbaumaterialien sind die faserverstärkten Kunststoffe. In der vorliegenden Arbeit liegt der Fokus auf der Entwicklung und Bereitstellung von Materialmodellen zur Vorhersage des Ermüdungsverhaltens kurzglasfaserverstärkter Thermoplaste. Diese Materialien unterscheiden sich dabei durch ihre Aufschmelzbarkeit und ihrer damit einhergehenden besseren Recyclebarkeit von thermosetbasierten Materialien. Außerdem erlauben die Kurzglasfasern im Gegensatz zu Langfasern eine einfache und zeiteffiziente Herstellung komplexer Komponenten. Ermüdung ist ein wichtiger Versagensmechanismus in solchen Komponenten, insbesondere für Bauteile z.B. in Fahrzeugen, die vibrationsartigen Belastungen ausgesetzt sind. Durch die inherente Anisotropie des Materials sind die experimentelle Charakterisierung und Vorhersage dieses Versagensmechanismus jedoch äußerst zeitintensiv und stellen somit eine wesentliche Herausforderung im Entwicklungsprozess und für die breitere Anwendung solcher Bauteile dar. Daher ist die Entwicklung komplementärer simulativer Methoden von großem Interesse. Im Rahmen dieser Arbeit werden Methoden zur Vorhersage der Ermüdungsschädigung kurzglasfaserverstärkter Werkstoffe im Rahmen einer Multiskalenmethode entwickelt. Die in der Arbeit betrachteten Multiskalenmodelle bieten die Möglichkeit, allein anhand der experimentellen Charakterisierungen der Materialparameter der Konstituenten, d.h. Faser und Matrix, komplexe anisotrope Effekte des Verbundmaterials vorherzusagen. Der experimentelle Aufwand kann dadurch enorm reduziert werden. Dazu werden zunächst Materialmodelle für die Konstituenten des Komposits entwickelt. Mithilfe FFT-basierter rechnergestützter Homogenisierung wird daraus das Materialverhalten des Komposits für verschiedene Mikrostrukturen und Lastfälle vorhergesagt. Die vorberechneten Lastfälle auf Mikrostrukturebene werden mit datengetriebenen Methoden auf die Makroskala übertragen. Das ermöglicht eine effiziente Berechnung von Bauteilen in wenigen Stunden, wohingegen eine entsprechende Berechnung mit geometrischer Auflösung aller einzelnen Fasern der Mikrostruktur auf heutigen Computern viele Jahre dauern würden. Für die Matrix werden unterschiedliche Schädigungsmodelle untersucht. Ihre Vor- und Nachteile werden analysiert. Die Mikrostruktursimulationen geben einen Einblick in den Einfluss verschiedener statistischer Parameter wie Faserlängen und Faservolumengehalt auf das Kompositverhalten. Ein neues Modellordnungsreduktionsverfahren wird entwickelt und zur Simulation des Ermüdungsschädigungsverhaltens auf Bauteilebene angewandt. Weiter werden Modellerweiterungen zur Berücksichtigung des R-Wert-Verhältnisses und viskoelastischer Effekte in der Evolution der Ermüdungsschädigung entwickelt und mit experimentellen Ergebnissen validiert. Das entstandene Simulationsframework erlaubt nach Vorrechnungen auf einer geringen Menge von Mikrostrukturen und Lastfällen eine effiziente Makrosimulation eines Bauteils vorzunehmen. Dabei können Effekte wie Viskoelastizität und R-Wert-Abhängigkeit je nach gewünschter Modellierungstiefe berücksichtigt oder vernachlässigt werden, um immer das effizientste Modell, das alle relevanten Effekte abbildet, nutzen zu können

    Inexact Proximal Newton Methods for Finite Strain Plasticity

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    Fast boundary element methods for the simulation of wave phenomena

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    This thesis is concerned with the efficient implementation of boundary element methods (BEM) for their application in wave problems. BEM present a particularly useful tool, since they reduce the dimension of the problems by one, resulting in much fewer unknowns. However, this comes at the cost of dense system matrices, whose entries require the integration of singular kernel functions over pairs of boundary elements. Because calculating these four-dimensional integrals by cubature rules is expensive, a novel approach based on singularity cancellation and analytical integration is proposed. In this way, the dimension of the integrals is reduced and closed formulae are obtained for the most challenging cases. This allows for the accurate calculation of the matrix entries while requiring less computational work compared with conventional numerical integration. Furthermore, a new algorithm based on hierarchical low-rank approximation is presented, which compresses the dense matrices and improves the complexity of the method. The idea is to collect the matrices corresponding to different time steps in a third-order tensor and to approximate individual sub-blocks by a combination of analytic and algebraic low-rank techniques. By exploiting the low-rank structure in several ways, the method scales almost linearly in the number of spatial degrees of freedom and number of time steps. The superior performance of the new method is demonstrated in numerical examples.Diese Arbeit befasst sich mit der effizienten Implementierung von Randelementmethoden (REM) für ihre Anwendung auf Wellenprobleme. REM stellen ein besonders nützliches Werkzeug dar, da sie die Dimension der Probleme um eins reduzieren, was zu weit weniger Unbekannten führt. Allerdings ist dies mit vollbesetzten Matrizen verbunden, deren Einträge die Integration singulärer Kernfunktionen über Paare von Randelementen erfordern. Da die Berechnung dieser vierdimensionalen Integrale durch Kubaturformeln aufwendig ist, wird ein neuer Ansatz basierend auf Regularisierung und analytischer Integration verfolgt. Auf diese Weise reduziert sich die Dimension der Integrale und es ergeben sich geschlossene Formeln für die schwierigsten Fälle. Dies ermöglicht die genaue Berechnung der Matrixeinträge mit geringerem Rechenaufwand als konventionelle numerische Integration. Außerdem wird ein neuer Algorithmus beruhend auf hierarchischer Niedrigrangapproximation präsentiert, der die Matrizen komprimiert und die Komplexität der Methode verbessert. Die Idee ist, die Matrizen der verschiedenen Zeitpunkte in einem Tensor dritter Ordnung zu sammeln und einzelne Teilblöcke durch eine Kombination von analytischen und algebraischen Niedrigrangverfahren zu approximieren. Durch Ausnutzung der Niedrigrangstruktur skaliert die Methode fast linear mit der Anzahl der räumlichen Freiheitsgrade und der Anzahl der Zeitschritte. Die überlegene Leistung der neuen Methode wird anhand numerischer Beispiele aufgezeigt

    Deep material networks for efficient scale-bridging in thermomechanical simulations of solids

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    We investigate deep material networks (DMN). We lay the mathematical foundation of DMNs and present a novel DMN formulation, which is characterized by a reduced number of degrees of freedom. We present a efficient solution technique for nonlinear DMNs to accelerate complex two-scale simulations with minimal computational effort. A new interpolation technique is presented enabling the consideration of fluctuating microstructure characteristics in macroscopic simulations

    LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volume

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    LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volum

    Numerical splitting methods for nonsmooth convex optimization problems

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    In this thesis, we develop and investigate numerical methods for solving nonsmooth convex optimization problems in real Hilbert spaces. We construct algorithms, such that they handle the terms in the objective function and constraints of the minimization problems separately, which makes these methods simpler to compute. In the first part of the thesis, we extend the well known AMA method from Tseng to the Proximal AMA algorithm by introducing variable metrics in the subproblems of the primal-dual algorithm. For a special choice of metrics, the subproblems become proximal steps. Thus, for objectives in a lot of important applications, such as signal and image processing, machine learning or statistics, the iteration process consists of expressions in closed form that are easy to calculate. In the further course of the thesis, we intensify the investigation on this algorithm by considering and studying a dynamical system. Through explicit time discretization of this system, we obtain Proximal AMA. We show the existence and uniqueness of strong global solutions of the dynamical system and prove that its trajectories converge to the primal-dual solution of the considered optimization problem. In the last part of this thesis, we minimize a sum of finitely many nonsmooth convex functions (each can be composed by a linear operator) over a nonempty, closed and convex set by smoothing these functions. We consider a stochastic algorithm in which we take gradient steps of the smoothed functions (which are proximal steps if we smooth by Moreau envelope), and use a mirror map to 'mirror'' the iterates onto the feasible set. In applications, we compare them to similar methods and discuss the advantages and practical usability of these new algorithms

    Electronic Structure Methods for Large Molecular Systems and Materials in Strong Magnetic Fields

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    The high-rank polynomial scaling of modern electronic structure methods can present significant limitations on the size of molecular systems that can be accurately studied. This issue is further exasperated when using non-perturbative approaches for studying systems within arbitrary strength magnetic fields due to the requirements for complex algebra and reduced permutational symmetry. One such attempt at overcoming this issue is the concept of fragmentation, which has shown promise in recent years for accurately determining the electronic structure of systems that can be sensibly fragmented into smaller subunits. The main aim in this work is to combine the concepts of one such method, the embedding fragment method (EFM), with recent advances in non-perturbative treatment of external fields, enabling the study of increasingly large or complex systems. The implementation of this approach is presented for systems in strong magnetic fields. The method is applied to determine energetic, structural and magnetic response properties of systems beyond the scope of more conventional methods. The EFM is shown to provide an accurate electronic structure approximation when studying systems within extremely strong magnetic fields, with errors generally 70000 Tesla. Its application to large water clusters is presented showing how external magnetic fields strengthen intermolecular interactions, as has previously been demonstrated through experiment, but that the origin of this strengthening is not as straightforward as the altering of the hydrogen bonding present at zero field, a rational often considered alongside experimental results. Also demonstrated is how this approach can be used to accurately model solvation effects when calculating magnetic properties of solute molecules. In this work the calculation of nuclear magnetic resonance chemical shifts is considered, using the EFM and comparing to both gas phase calculations and calculations including solvent effects using the polarisable continuum method. To aid in the interpretation of results, two additional tool sets have been development. The first is a suite of tools to analyse the complex current vector field induced by exposing a molecule to an external field. The second is a new molecular viewer software package, improving the ability to analyse the effects of external magnetic fields on molecular systems

    Statistical properties of approximate geometric quantiles in infinite-dimensional Banach spaces

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    Geometric quantiles are location parameters which extend classical univariate quantiles to normed spaces (possibly infinite-dimensional) and which include the geometric median as a special case. The infinite-dimensional setting is highly relevant in the modeling and analysis of functional data, as well as for kernel methods. We begin by providing new results on the existence and uniqueness of geometric quantiles. Estimation is then performed with an approximate M-estimator and we investigate its large-sample properties in infinite dimension. When the population quantile is not uniquely defined, we leverage the theory of variational convergence to obtain asymptotic statements on subsequences in the weak topology. When there is a unique population quantile, we show that the estimator is consistent in the norm topology for a wide range of Banach spaces including every separable uniformly convex space. In separable Hilbert spaces, we establish weak Bahadur-Kiefer representations of the estimator, from which n\sqrt n-asymptotic normality follows.Comment: v
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